四川省遂寧市射洪中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一學(xué)月考試（3月）數(shù)學(xué)試題

射洪中學(xué)高2022級(jí)強(qiáng)基班高二（下）第一學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上.2.選擇題用2B鉛筆在對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑答案.主觀(guān)題用0.5毫米黑色簽字筆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.第I卷（選擇題）一.單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分）1.已知，則的值為（）A.－2a B.2aC.a D.【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義變形即可求解.【詳解】.故選：B．2.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿(mǎn)足關(guān)系式，則的值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)后，代入，求出答案.【詳解】由進(jìn)行求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，可得：，解得：.故選：A.3.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)得到，取解得答案.【詳解】，則，取，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.4.函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為2，則的最小值是A.10 B.9 C.8 D.【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，再利用基本不等式求最值.【詳解】，由題意可知，，，當(dāng)，且，解得：，所以的最小值是9.故選：B5.函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除B，利用函數(shù)值正負(fù)可排除A，再根據(jù)單調(diào)性排除D，得解.【詳解】令，，因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，排除B，又當(dāng)時(shí)，恒成立，排除A，當(dāng)時(shí)，，，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞減，故D不正確.故選：C.6.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，且對(duì)任意的滿(mǎn)足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)建，根據(jù)題意分析可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式.【詳解】構(gòu)建，則，因?yàn)?，則，即，可知上單調(diào)遞減，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)構(gòu)建，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解不等式.7.若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，記，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象為直線(xiàn)，且，得到函數(shù)為過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)函數(shù)圖象，通過(guò)原函數(shù)的單調(diào)性得到，，再去絕對(duì)值分別求得，再比較大小.【詳解】因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的圖象為直線(xiàn)，且，所以函數(shù)為過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，設(shè)，所以由導(dǎo)函數(shù)圖象可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，又由，得，則，，所以，，所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化求解的能力，屬于中檔題.8.已知函數(shù)，若，則的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可得到其最大值，從而得到結(jié)果.【詳解】由，得，即.因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：C二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.（每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分）.9.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用基本函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解即可.【詳解】選項(xiàng)A，，故A正確；選項(xiàng)B，，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，故C正確；選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.若函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則a的可能取值為（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】AB【解析】【分析】求導(dǎo)得，由題可知，在，上恒成立；然后分三類(lèi)：，和進(jìn)行討論，其中前兩種情形均不符合題意，第三種情形可以根據(jù)選項(xiàng)直接代入的值進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樵?，上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在，上恒成立，當(dāng)時(shí)，有在，上恒成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，不可能滿(mǎn)足在，上恒成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若，則在，上恒成立；若，則，△，滿(mǎn)足在，上恒成立．綜上所述，可以取到1和2．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，還涉及二次函數(shù)的性質(zhì)和分類(lèi)討論的思想，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．11.已知函數(shù)，則（）A.在上的極大值和最大值相等B.直線(xiàn)和函數(shù)的圖象相切C.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則D.【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A：利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；選項(xiàng)B：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解判斷；選項(xiàng)C：結(jié)合選項(xiàng)A，由求解判斷；選項(xiàng)D：根據(jù)求解判斷.【詳解】選項(xiàng)A：，令，得或，故在，上單調(diào)遞增：令，得，故在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，的極大值為，又，所以在上的最大值為，所以A錯(cuò)誤．選項(xiàng)B：易知直線(xiàn)的斜率為－3，設(shè)直線(xiàn)和函數(shù)的圖象相切的切點(diǎn)為，則，即，解得，故，故切點(diǎn)為，顯然切點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足，故B正確．選項(xiàng)C：結(jié)合選項(xiàng)A知：若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故，故C正確．選項(xiàng)D：易知，所以，故D正確．故選：BCD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平均變化率公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可求解.【詳解】在區(qū)間上的平均變化率為.故答案：.13.已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】經(jīng)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化可知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).，故只需研究函數(shù)的圖象即可求得參數(shù)范圍.【詳解】由求導(dǎo)，，由可得：，因不滿(mǎn)足此式，故可得：，則函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).由求導(dǎo)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在和上減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故時(shí)，取得極小值.且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)從0的左邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)從0的右邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故可作出函數(shù)的圖象如圖.由圖可知：函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于.故答案為：.14.已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，且與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則__________.【答案】3【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線(xiàn)方程，即可得到，從而得解.【詳解】由已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線(xiàn)的方程為，即，又直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線(xiàn)的方程為，即，所以，所以，即，所以.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.函數(shù)在處有極值10，求的值．【答案】．【解析】【分析】先根據(jù)極值定義列方程組解得的值，再代入驗(yàn)證即得結(jié)果.【詳解】，依題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以在處取得極值；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在無(wú)極值．所以．【點(diǎn)睛】本題考查極值定義以及根據(jù)極值求參數(shù)，考查基本分析求解判斷能力，屬基礎(chǔ)題.16.求函數(shù)在區(qū)間[0,]上最值【答案】當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為0.【解析】【分析】本題首先對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再解，分別得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，再結(jié)合單調(diào)性得到當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為0.【詳解】因?yàn)?，所以令得，所函?shù)的增區(qū)間為令得，所函數(shù)的減區(qū)間為由，，，得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為0.17.討論函數(shù)的單調(diào)性【答案】在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)后令，進(jìn)一步對(duì)求導(dǎo)結(jié)合發(fā)現(xiàn)單調(diào)遞減，且注意到，由此即可得解.【詳解】，令，則，從而即單調(diào)遞減，注意到，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.18.已知函數(shù)，若，的最小值為，求的最大值及此時(shí)的值【答案】；【解析】【分析】求導(dǎo)得，令得到，令，則，故在上至多有1個(gè)解，設(shè)這個(gè)解為，即，進(jìn)而得，再令，接著求導(dǎo)研究最值即可.【詳解】由求導(dǎo)得：，令，可得，令，則，則在區(qū)間上遞增，故在上至多有1個(gè)解，設(shè)這個(gè)解為，（）即，則當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增.故.令，則，因，則由可得，由可得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的最大值是，即的最大值是0，此時(shí)，代入，可得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題，考查運(yùn)算求解，化歸轉(zhuǎn)化，邏輯推理等能力，屬于難題.本題解題關(guān)鍵在于注意到方程至多1個(gè)解，且設(shè)該解是，即，進(jìn)而代換得，再研究函數(shù)的單調(diào)性求最值即得.19.已知函數(shù)，若時(shí)，恒有，求的取值范圍【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，對(duì)它求導(dǎo)后令，繼續(xù)對(duì)求導(dǎo)后令，可以發(fā)現(xiàn)有，時(shí)有，所以我們可以分別以0，1為分界