安徽省部分省示范高中高三開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

安徽省部分省示范中學(xué)2024屆高三開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷選擇題（共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，若，則實數(shù)的值為（）A. B.2 C.1 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，因為，可得，解得.故選：A.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四像限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)，由幾何意義得復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限.【詳解】，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限.故選：D．3.已知直線與曲線在點處的切線垂直，則直線的斜率為（）A.1 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】可得，得到，進而求得直線斜率，得到答案.【詳解】由函數(shù)，可得，則，所以直線的斜率為.故選：C．4.已知正項數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法探討數(shù)列的特性即可得解.【詳解】依題意，，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，因此，所以.故選：B5.已知拋物線的準(zhǔn)線為，點在拋物線上，且線段的中點為，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，求得拋物線的方程為，再利用點差法，即可求解.【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線為，可得，可得，所以，設(shè)，可得，且，兩式相減，可得，可得，所以直線的方程為，即.故選：A．6.近期，哈爾濱這座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多萬人次，神秘的鄂倫春族再次走進世人的眼簾，這些英雄的后代講述著英雄的故事，讓哈爾濱大放異彩．現(xiàn)安排6名鄂倫春小伙去三個不同的景點宣傳鄂倫春族的民俗文化，每個景點至少安排1人，則不同的安排方法種數(shù)是（）A.240 B.420 C.540 D.900【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分為三個景點安排的人數(shù)之比為或或，結(jié)合排列、組合數(shù)的計算公式，即可求解.【詳解】若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法；若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法；若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法，故不同的安排方法種數(shù)是．故選：C．7.如圖，為圓錐底面圓的一條直徑，點為線段的中點，現(xiàn)沿將圓錐的側(cè)面展開，所得的平面圖形中為直角三角形，若，則圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，由，求得，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式和圓的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，作出展開圖，可得為銳角，故，由，可得，即為等邊三角形，所以，則圓錐的側(cè)面積為，底面積，所以圓錐的表面積為.故選：B．8.“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式，其定義如下：設(shè)，則兩點間的曼哈頓距離，已知，點在圓上運動，若點滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得圓心，半徑，設(shè)，則，可得點的軌跡為正方形，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，由圓，可得，則圓心，半徑，設(shè)，則，可得點的軌跡為如下所示的正方形，其中，則，則，所以的最大值為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.直線為圖象的一條對稱軸B.點為圖象的一個對稱中心C.將的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于軸對稱D.在上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】由正弦函數(shù)的對稱軸，對稱中心，平移，單調(diào)性性質(zhì)逐一判斷選項即可.【詳解】A：，故A正確；B：，故B錯誤；C：將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，得到，偶函數(shù)，故C正確；D：因為，所以，則函數(shù)在上先增后減，故D錯誤．故選：AC．10.已知棱長為2的正方體中，動點在棱上，記平面截正方體所得的截面圖形為，則（）A.平面平面B.不存在點，使得直線平面C.最小值為D.的周長隨著線段長度的增大而增大【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)幾何體特征判斷A選項,根據(jù)線面平行的判定定理判斷B選項,結(jié)合距離和最小判斷C選項,根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷D選項.【詳解】由于正方體的對角面相互垂直，故正確；當(dāng)點與重合時，直線平面，故錯誤；將四邊形翻折至與四邊形共面，則，故C正確；當(dāng)時，為，且的周長為．當(dāng)時，為四邊形，且四邊形的周長為．當(dāng)時，如圖，過點作，易得，所以為四邊形，設(shè)，四邊形的周長為，則，所以，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，所以的周長隨著線段長度的增大而增大，故D正確．故選:ACD．11.已知函數(shù)的定義域均為，其中的圖象關(guān)于點中心對稱，的圖象關(guān)于直線對稱，，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，所以，可判定A錯誤；再由函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，得到，可判定B正確；結(jié)合，結(jié)合周期性，可判定C錯誤；求得，進而可判定D正確.【詳解】由題意知，所以，所以，所以A錯誤；又由，因為關(guān)于點中心對稱，所以，所以，又因為，所以，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，所以，所以B正確；由，所以C錯誤；因為，所以，所以，所以D正確.故選：BD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，則__________．【答案】【解析】【分析】列舉法表示M，由交集的定義求.【詳解】因為，又，所以．故答案為：13.在中，，且，則的面積為__________；若，則__________．【答案】①.4②.##【解析】【分析】利用正弦定理可得，進而可得，代入面積公式即可得的面積；根據(jù)題意可得，利用余弦定理可得，進而可得.【詳解】設(shè)角所對邊分別為，因為，由正弦定理可得，又因為，則，所以的面積；當(dāng)時，則，即，由余弦定理可得，即，所以．故答案為：4；.14.已知橢圓的左?右焦點分別為，過的直線與交于兩點，若，且，則的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】作，分別求得，，，在直角中，利用勾股定理，列出關(guān)于離心率的方程，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，作，垂足為，因為，所以，點為的中點，所以，因為，所以，所以，所以，所以，在直角中，由勾股定理可得，整理得到，即，因為，解得.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.2023年12月28日，小米汽車舉行了技術(shù)發(fā)布會，首款產(chǎn)品SU7揭開神秘面紗，引起了廣大車迷愛好者的熱議，為了了解車迷們對該款汽車的購買意愿與性別是否具有相關(guān)性，某車迷協(xié)會隨機抽取了200名車迷朋友進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示．性別購車意愿合計愿意購置該款汽車不愿購置該款汽車男性10020120女性503080合計15050200（1）請根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析車迷們對該款汽車的購買意愿與性別是否有關(guān)；（2）用頻率估計概率，隨機抽取兩名車迷作深度訪談，記其中愿意購置該款汽車的人數(shù)為，求的分布列與期望．參考公式：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）認(rèn)為車迷們對該款汽車的購買意愿與性別有關(guān)．（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．【解析】【分析】(1)由題中公式計算，得出結(jié)果；(2)由題意得到二項分布，求出相應(yīng)的概率，列出分布列，用公式求出數(shù)學(xué)期望即可.【小問1詳解】零假設(shè)為：車迷們對該款汽車的購買意愿與性別無關(guān)．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為車迷們對該款汽車的購買意愿與性別有關(guān)．【小問2詳解】由題意得，隨機抽取到1名愿意購置該款汽車的車迷的概率為，故，所以，，故的分布列為012（或）16.如圖，在正四棱錐中，，點是的中點，點在棱上（異于端點）．（1）若點是棱的中點，求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求線段的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直證明面面垂直，先證明平面，即可得出平面平面.（2）分別以為軸?軸?軸正方向建系，設(shè)，則進而表示出，求出平面的一個法向量為，再利用二面角的余弦值為求出，最后得出結(jié)果.【小問1詳解】由題意得，正四棱錐所有棱長均為，因為是的中點，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面．【小問2詳解】如圖，連接，易知兩兩垂直，分別以為軸?軸?軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以．設(shè)，則，所以，所以．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為．易知平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，即，解得或（不合題意，舍去），此時．17.已知雙曲線的左?右焦點分別為，點在上，且的面積為．（1）求雙曲線的方程；（2）記點在軸上的射影為點，過點的直線與交于兩點．探究：是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2），定值．【解析】【分析】（1）根據(jù)的面積為，表示為，結(jié)合雙曲線方程，即可得到答案；（2）首先設(shè)直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，并用坐標(biāo)表示和，并利用韋達定理表示，即可化簡求解.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得，，解得，故雙曲線的方程為．【小問2詳解】由題意得，，當(dāng)直線的斜率為零時，則．當(dāng)直線的斜率不為零時，設(shè)直線的方程為，點，聯(lián)立，整理得，則，解得且，所以，所以．綜上，，為定值．18.已知函數(shù)，其中．（1）若，討論在上的單調(diào)性；（2）若存在正數(shù)，使得，且時，，求的取值范圍．【答案】18.答案見解析.19.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，討論的正負及與1和4的大小關(guān)系判斷單調(diào)性；（2）先轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)得，求導(dǎo)分類討論判斷單調(diào)性，當(dāng)分離參數(shù)求得范圍.【小問1詳解】由題意得，．若，則，此時在上單調(diào)遞增；若，則，此時在上單調(diào)遞增；若，則，此時在上單調(diào)遞減；若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】由題意得，，使得函數(shù)在上單調(diào)遞減，．令，問題即轉(zhuǎn)化為：．①當(dāng)時，，且單調(diào)遞增，易知，不合題意，舍去．②當(dāng)時，因為，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．即，使得．令，故，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性及恒成立問題，注意第二問雙變量k,x的處理，先看做x的恒成立問題，再對k有解.19.基本不等式可以推廣到一般的情形：對于個正數(shù)，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．若無窮正項數(shù)列同時滿足下列兩個性質(zhì)：①；②為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若，求數(shù)列的最小項；（2）若，記，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說明理由；（3）若，求證：數(shù)列具有性質(zhì)．【答案】（1）最小項為（2）數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析．（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用，結(jié)合三個數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均求解；（