平衡中的臨界問(wèn)題

平衡中的臨界問(wèn)題【專題概述】1?臨界狀態(tài)：物體由某種物理狀態(tài)變化為另一種物理狀態(tài)時(shí)，中間發(fā)生質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)，通常稱之為臨界狀態(tài)。2?臨界問(wèn)題：涉及臨界狀態(tài)的問(wèn)題叫做臨界問(wèn)題。解決臨界問(wèn)題的根本思路〔1〕認(rèn)真審題，仔細(xì)分析研究對(duì)象所經(jīng)歷的變化的物理過(guò)程，找出臨界狀態(tài)?！?〕尋找變化過(guò)程中相應(yīng)物理量的變化規(guī)律，找出臨界條件?！?〕以臨界條件為突破口，列臨界方程，求解問(wèn)題〔1〕相互接觸的兩個(gè)物體將要脫離的臨界條件是：相互作用的彈力為零?！?〕繩子松弛的臨界條件是：繩中拉力為零〔3〕存在靜摩擦的連接系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)外力大于最大靜摩擦力時(shí)，物體間不一定有相對(duì)滑動(dòng)，相對(duì)滑動(dòng)與相對(duì)靜止的臨界條件是：靜摩擦力達(dá)最大值臨界現(xiàn)象是量變質(zhì)變規(guī)律在物理學(xué)上的生動(dòng)表達(dá)。即在一定的條件下，當(dāng)物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)從一種形式或性質(zhì)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式或性質(zhì)時(shí)，往往存在著一種狀態(tài)向另一種狀態(tài)過(guò)渡的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)常稱為臨界點(diǎn)，這種現(xiàn)象也就稱為臨界現(xiàn)象?如:靜力學(xué)中的臨界平衡；機(jī)車運(yùn)動(dòng)中的臨界速度;振動(dòng)中的臨界脫離；碰撞中的能量臨界、速度臨界及位移臨界；電磁感應(yīng)中動(dòng)態(tài)問(wèn)題的臨界速度或加速度；光學(xué)中的臨界角；光電效應(yīng)中的極限頻率；帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的邊界臨界；電路中電學(xué)量的臨界轉(zhuǎn)折等.解決臨界問(wèn)題，一般有兩種方法，第一是以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問(wèn)題的一般規(guī)律和一般解的形式，然后再分析、討論臨界特殊規(guī)律和特殊解；第二是直接分析、討論臨界狀態(tài)，找出臨界條件，從而通過(guò)臨界條件求出臨界值?！镜淅v】典例1：傾角為0=37°的斜面與水平面保持靜止，斜面上有一重為G的物體A,物體A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)卩。現(xiàn)給A施加一水平力F,如下圖。設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等〔sin37°,cos37°〕，如果物體A能在斜面上靜止，水平推力F與G的比值不可能是〔〕

2C.l典例2：如下圖，物體A的質(zhì)量為2kg，兩輕繩AB和AC(LAB=2Lac)的一端連接在豎直ABAC墻上，另一端系在物體A上.現(xiàn)在物體A上施加一個(gè)與水平方向成60°角的拉力F,要使兩繩都能伸直，試求拉力F大小的取值范圍.(g取10m/sE典例3：—個(gè)質(zhì)量為1kg的物體放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做勻速運(yùn)動(dòng)，這個(gè)最小拉力為6N，g=10m/s2，那么以下關(guān)于物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)卩，最小拉力與水平方向的夾角e,正確的選項(xiàng)是〔〕u=—,e=0B.u二—，tane=—444343H卩二一，tane=：D.u二二，tane=-典例4：拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(如圖)?設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m,拖桿質(zhì)量可以忽略;拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)」；，重力加速度為g,某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為"?假設(shè)拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小.設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開(kāi)場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為」?存在一臨界角匚，假設(shè)，那么不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開(kāi)場(chǎng)運(yùn)動(dòng)?求這一臨界角的正切.典例5：如下圖，質(zhì)量為m的物體，放在一固定斜面上，當(dāng)斜面傾角為時(shí)恰能沿斜面勻速下滑.對(duì)物體施加一大小為F的水平向右恒力,物體可沿斜面勻速向上滑行.設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，當(dāng)斜面傾角增大并超過(guò)某一臨界角時(shí),不管水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行,試求：物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；這一臨界角的大小.典例6如下圖，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小環(huán)套在一水平放置的粗糙長(zhǎng)桿上,兩根長(zhǎng)度均為l的輕繩一端系在小環(huán)上，另一端系在質(zhì)量為M的木塊上，兩個(gè)小環(huán)之間的距離也為l,小環(huán)保持靜止.試求：小環(huán)對(duì)桿的壓力；小環(huán)與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)"至少為多大【總結(jié)提升】所謂極值問(wèn)題，一般而言，就是在一定條件下求最正確結(jié)果所需滿足的極值條件^求解極值問(wèn)題的方法從大的角度可分為物理方法和數(shù)學(xué)方法。物理方法包括〔1〕利用臨界條件求極值；〔2〕利用問(wèn)題的邊界條件求極值；〔3〕利用矢量圖求極值。數(shù)學(xué)方法包括〔1〕用三角函數(shù)關(guān)系求極值；〔2〕用二次方程的判別式求極值；〔3〕用不等式的性質(zhì)求極值。一般而言，用物理方法求極值直觀、形象，對(duì)構(gòu)建模型及動(dòng)態(tài)分析等方面的能力要求較高，而用數(shù)學(xué)方法求極值思路嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高?假設(shè)將二者予以融合，那么將相得亦彰，對(duì)增強(qiáng)解題能力大有裨益。在中學(xué)物理問(wèn)題中，有一類問(wèn)題具有這樣的特點(diǎn)，如果從題中給出的條件出發(fā)，需經(jīng)過(guò)較復(fù)雜的計(jì)算才能得到結(jié)果的一般形式，并且條件似乎缺乏，使得結(jié)果難以確定但假設(shè)我

們采用極限思維的方法，將其變化過(guò)程引向極端的情況，就能把比擬隱蔽的條件或臨界現(xiàn)象暴露出來(lái)，從而有助于結(jié)論的迅速取得。對(duì)于不確定的臨界狀況、可以采用假設(shè)的方法來(lái)處理運(yùn)用假設(shè)法解題的根本步驟是：明確研究對(duì)象；畫受力圖；假設(shè)可發(fā)生的臨界現(xiàn)象；列出滿足所發(fā)生的臨界現(xiàn)象的平衡方程求解.【專練提升】1、如下圖，木塊A放在水平桌面上，木塊左端用輕繩與輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的左端固定，用一輕繩跨過(guò)光滑定滑輪，一端連接木塊右端，另一端連接一砝碼盤（裝有砝碼），輕繩和彈簧都與水平桌面平行，當(dāng)砝碼和砝碼盤的總質(zhì)量為0.5kg時(shí)，整個(gè)裝置靜止，彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，彈力大小為3N，假設(shè)輕輕取走盤中的局部砝碼，使砝碼和砝碼盤的總質(zhì)量減小到0.1kg，取g=10m/s2，此時(shí)裝置將會(huì)出現(xiàn)的情況是（）A.彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度減小B.桌面對(duì)木塊的摩擦力大小不變；?...C.木塊向右移動(dòng)2、（多項(xiàng)選擇）如圖，一光滑的輕滑輪用細(xì)繩00’懸掛于0點(diǎn)；另一細(xì)繩跨過(guò)滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b.外力F向右上方拉b，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).假設(shè)F方向不變，大小在一定范圍內(nèi)變化，物塊b仍始終保持靜止，那么（）繩00’的張力也在一定范圍內(nèi)變化；亠物塊b所受到的支持力也在一定范圍內(nèi)變化連接a和b的繩的張力也在一定范圍內(nèi)變化川7]衛(wèi)物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內(nèi)變化3、質(zhì)量為m=0.8kg的砝碼懸掛在輕繩PA和PB的結(jié)點(diǎn)上并處于靜止?fàn)顟B(tài)，PA與豎直方向的夾角37°，PB沿水平方向，質(zhì)量為M=10kg的木塊與PB相連，靜止于傾角為37°的斜面上，如下圖.（取g=10m/s2，sin37°=0.6）求：（2）木塊所受斜面的摩擦力和彈力大小.（1）輕繩PB拉力的大小;

（2）木塊所受斜面的摩擦力和彈力大小.如以下圖所示，一個(gè)半球形的碗放在桌面上，碗口水平，0點(diǎn)為其球心，碗的內(nèi)外表及碗口是光滑的一根細(xì)線跨在碗口上，線的兩端分別系有質(zhì)量為IQ］和m2的小球，當(dāng)它們處于平衡狀態(tài)時(shí)，質(zhì)量為m1的小球與O點(diǎn)的連線與水平線的夾角為a=60°，兩小球的質(zhì)量比&為（）A.D.A.D.5?某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)驗(yàn)證平行四邊形定那么的實(shí)驗(yàn)，裝置如以下圖所示.系著小物體m「m2的細(xì)線繞過(guò)光滑小滑輪與系著小物體m3的細(xì)線連接在0點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)平衡時(shí)繞過(guò)滑輪的兩細(xì)線與豎直方向夾角分別為37°和53°，那么三個(gè)小物體的質(zhì)量之比mi：m2：m3為(sin37°=0.6,sin53°=0.8)()□A.3：4：5B.4：3：5C.□A.3：4：5B.4：3：5C.4：5：3D.3：5：46.有三個(gè)質(zhì)量相等、半徑為r的圓柱體,同置于一圓柱體不致分開(kāi)，那么圓弧曲面的半徑R最大是多少?塊光滑圓弧曲面上，為了使下面兩平衡中的臨界問(wèn)題答案【典例精講】典例1思路點(diǎn)撥：假設(shè)物體剛好不下滑，此時(shí)靜摩擦力沿斜面向上，到達(dá)最大值，根據(jù)平衡條件和摩擦力公式求出F與G的比值最小值；同理，物體剛好不上滑時(shí)求出F與G的比值最大值，得到F與G的比值范圍?！敬鸢浮緼；【解析】設(shè)物體剛好不T涓時(shí)RF,作出力圖如圖，則由平衡條件得：F.cos9-F^N,=GEin0,N=Fisin9-hGco￡0,得：孔兀設(shè)犧體剛奸不上滑時(shí)戸嘉則:F.coe^=P-Nj+5siji^jK_=F.：mi.r-"FCm：得：GW,21-即汀酣飛G所臥不可能的足施故選乩33典例2【答案】3NWFW3N【解析】當(dāng)M繩上的張力凡二0時(shí)，拉力F有最小值F,此時(shí)物體丿的受力惜況如圖田所示，很協(xié)平衡條件可得翻,，血◎F解得F='-N.I『卩為朋繩上的張力尺二0時(shí)：拉力F有最女值F,此阿物體衛(wèi)的旻力情況如圖乙所示，根據(jù)平衡殺件故廳的取值范圍為卑22庖卑邑N

典例3【答案】B?！窘馕觥坷π毕蛏媳葦M省力，設(shè)夾角為e；此時(shí)，對(duì)物體受力分析，受拉力、重力、支持力和摩擦力，根據(jù)平衡條件，有:(?J*水千3冋：Feos6-M-N=C-豎豈方叵］:ng-Fsinfl聯(lián)口解得：產(chǎn)石而匚云麗二+丹+6)〔茸中sinCl=〔茸中sinCl=sin(a-0;=1li力取最出值,即:U疋尬解得:U-^0.75?此盯9^37°故-anB疋尬解得:U-^0.75?此盯9^37°4故選陜典例4【答案】⑴f：八⑵"心二；【解析】⑴拖把頭受到重力、支持力、推力和摩擦力處于平衡，設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為F的力典例典例5【答案】⑴⑵■11,1推拖把-將推扼把的力沿畦和水平方向分解.搜平謝條件有黑直方向上：Wv和十瞬=A木平方向上；用辭=f(2：;式中K和f分別為地?fù)Q對(duì)齬的王壓力和期幼?按摩犧定律肖f=聲?(2)假設(shè)不管沿拖桿方向用多大的力不能使拖把從靜止開(kāi)場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有這時(shí)⑴式仍滿足?聯(lián)立⑴⑸式得■-；；⑹現(xiàn)考察使上式成立的?：角的取值范圍.注意到上式右邊總是大于零，且當(dāng)F無(wú)限大時(shí)極限為零，有,、：、心?\rr.jj'-1■ll：7使上式成立的-角滿足■''■'■，|,這里是題中所定義的臨界角，即當(dāng)"時(shí)，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動(dòng)拖把.臨界角的正切為⑺‘心'八【解析】⑴：物體m勻速下滑時(shí)應(yīng)有：“吵篩:対=何吋祈汽十算得出“=址曲(P=孚；⑵:設(shè)斜面的傾角為n-，財(cái)物體受力分析，由勻速運(yùn)動(dòng)的條件應(yīng)有jFrx/^rt=川.瀘imxT?F卄①F\=m^.osaIFsina@耳=wF：、③聯(lián)立①②③可得F=mgsma+fimgco^a

eosap由葉訃討論如T:當(dāng)S代網(wǎng)皿=0時(shí)，F(xiàn).3G,即無(wú)論用多丈的力都不能使物體沿斜面上滑』可計(jì)算得出臨界角—(-IJI典例6【答案】⑴m%：(2)丁一二.【解析】因?yàn)樽饔迷贛的兩根輕繩長(zhǎng)度均為1,且兩個(gè)小環(huán)之間的距離也為1,兩個(gè)小環(huán)的質(zhì)量均為m,故兩個(gè)小環(huán)對(duì)桿的壓力大小相等，設(shè)每個(gè)小環(huán)對(duì)桿的壓力大小為廠，⑴整偉法分析有:兩個(gè)4郵對(duì)桿的壓力之禾瞎干兩環(huán)2木塊的重力之和.即2￡、=(2U+2t?i)<?即瓦V=￡呵+“旳由牛頓第三定律得:小環(huán)對(duì)桿的壓尢I心-]M+”灼⑵設(shè)每根繩子上的拉力為尺咼究M得刃同血】：=岐粘界狀態(tài)，此時(shí)<]環(huán)受到的靜摩扌就達(dá)到最丈值，則有:匝巧計(jì)茸得出:動(dòng)摩扌綢數(shù)ff至少為"，?/':,!i：M2?h【專練提升】1【答案】B【解析】開(kāi)始時(shí)「木塊丸受到向左的彈力3口縄的拉力等于皓碼和確瑪益的重力廳即故木塊A還受到向左的2N的靜摩擄力’說(shuō)明最犬辭摩揀力犬于2g當(dāng)袪碼和袪碼盤的總質(zhì)量減小到0.1kg,木塊受到向右的2N的詡摩換力，仍熱靜止2【答案】BD【解析】由于物塊目靜止，連接且和b的繩的張力以及繩00,的帳力不變，A、C■錯(cuò)；對(duì)糊塊b受力分析可知』重力和縄子扌立力不喪』則當(dāng)F方向不喪亍大小在一定范圍內(nèi)變化』水平方向的靜摩揀力和豎直方向的支持力也在一定范圍內(nèi)變化，故選E、D3【答案】(1)6N(2)64.8N76.4N【解析】(1)對(duì)點(diǎn)P受力分析如下圖根據(jù)共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件得：F—Fsin37°=0BAFcos37°—mg=0A嗎sin3廠(L8X10XCL6聯(lián)立解得：F=—=UN=6NB故輕繩PB拉力的大小為6N(2)對(duì)木塊受力分析如下圖.葉由共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件得：Ln375+3,cqs375—F=0F.+Fiis-in37°—Mg-co&37°=Q聯(lián)立解得；P：=M§sin37°+F：±"ST={1QX10^0,5+5XQ,S)N=^4,8NF=Mgccs37°-F!：Ein37°=(10X10X0,8-5X0.o^=7^,4H故木塊所受豁面的摩揀力和弾力大小分別為M.8耳和忑4W4【答案】A

【解析】由Fn與Ft水平方向合力為零可知，F(xiàn)n=Ft；豎直方向有2FtC0S30°=mig，又FT=m2g,從而2m2gx￥=m]g,解得話=￥5【答案】B【解析】對(duì)結(jié)點(diǎn)0受力分析，0點(diǎn)受到三根繩子的鏈力如下圉所示■由干物體譏:、且的細(xì)線繞過(guò)光滑小滑輪勞系看小物體血泊細(xì)線連接，