2021-2022學(xué)年北京東城區(qū)初三第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

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2021-2022學(xué)年北京東城區(qū)初三第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷及答

案

一、選擇題（每題2分，共16分）

1.一元二次方程2/+x—5=°的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.2,1,5B.2,1,—5C.2,0,—5D.2,0,

5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，

以及常數(shù)項(xiàng)即可.

【詳解】解：?.?一元二次方程2x2+x-5=0,

???二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是2、1、-5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0

（a#0）.

2.下列四個(gè)圖形中，為中心對稱圖形的是（）

碘&mi

【答案】B

【解析】

【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那

么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心.

【詳解】解：選項(xiàng)B能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重

合，所以是中心對稱圖形；

選項(xiàng)A、C、D不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，

所以不是中心對稱圖形；

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心對稱圖形定義，關(guān)鍵是找出對稱中心.

3.將拋物線y=x2向上平移3個(gè)單位長度得到的拋物線是（）

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A.N=x-+3B,少=刀2-3c,尸(9+32口.

y=(X-3)2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.

【詳解】解：將拋物線y=x2向上平移3個(gè)單位長度得到的拋物線是＞+3

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，理解平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(2,3)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,2)1).(-

2,—3)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)“關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)”即可求得.

【詳解】解：點(diǎn)A(2,3)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(一2,一3)

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握''關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐

標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵.

5.用配方法解方程x2+4x=l,變形后結(jié)果正確的是()

A.(x+2)2=5B.(x+2/=2C.(X-2)2=5D.(X-2)2

=2

【答案】A

【解析】

【分析】方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可，進(jìn)而即求得答案.

【詳解】解:x2+4x=l

+4x+4=1+4

即(X+2)2=5

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

6.中國象棋文化歷史久遠(yuǎn).在圖中所示的部分棋盤中，寓”的位置在“.....”(圖中虛

線)的下方，“焉”移動一次能夠到達(dá)的所有位置已用標(biāo)記，則“焉”隨機(jī)移動一

次，到達(dá)的位置在“，.…”上方的概率是()

2

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A.8B.6c.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】用“一-"（圖中虛線）的上方的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)除以所有黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求得答案.

【詳解】解：觀察“焉”移動一次能夠到達(dá)的所有位置，即用標(biāo)記的有8處，

位于“一-”（圖中虛線）的上方的有2處，

2_]_

所以“焉”隨機(jī)移動一次，到達(dá)的位置在“一一”上方的概率是§4,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法與運(yùn)用，一般方法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事

件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=〃.

7.如圖，PA,PB是。0的切線，A,B是切點(diǎn)，點(diǎn)C為00上一點(diǎn)，若NACB=70°,則NP

的度數(shù)為（）

A.70°B.50°C.20°D.40°

【答案】D

【解析】

【分析】首先連接0A,0B,由PA,PB為。。的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)，即可得

Z0AP=Z0BP=90o,又由圓周角定理，可求得/A0B的度數(shù)，繼而可求得答案.

【詳解】解：連接0A,0B,

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VPA,PB為。。的切線，

.，?Z0AP=Z0BP=90°,

VZACB=70°,

AZA0B=2ZP=140°,

；./P=360°-Z0AP-Z0BP-ZA0B=40°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)與圓周角定理，注意掌握輔助線的作法和數(shù)形結(jié)合思想的

應(yīng)用.

8.如圖，線段AB=5,動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB運(yùn)動至點(diǎn)

B,以點(diǎn)A為圓心，線段AP長為半徑作圓.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t,點(diǎn)P,B之間的距離為

y,OA的面積為S,則y與t,S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

\AJpB

A正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系D.正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別列出y與t,S與t的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得40=,，PB=AB-AP=5-t,

即尸5T（0Q5）,是一次函數(shù)；

OA的面積為S=^XZP2=R2,即S=.2（OVY5）,是二次函數(shù)

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了列函數(shù)表達(dá)式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的識別，根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)

式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題2分，共16分）

9.拋物線歹=一3（》—1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

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【答案】（1,2）

【解析】

【分析】直接根據(jù)頂點(diǎn)公式的特點(diǎn)求頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得答案.

【詳解】???y二-3（"-1）2+2是拋物線的頂點(diǎn)式，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）.

故答案為：（1,2）

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸及最值的方法.解題的關(guān)鍵是熟知

頂點(diǎn)式的特點(diǎn).

10.若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有一個(gè)根為1,則m的值為.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程x2-2x+m=0的一個(gè)根是1,將x=l代入可以得到m的值，本題

得以解決.

【詳解】解：I?關(guān)于x的方程x2-2x+m=0的一個(gè)根是1,

l_2+m=0,

解得m=l,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條

件.

11.寫出一個(gè)開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0,2）的拋物線的解析式

【答案】卜=*+2（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)題意，寫出一個(gè)°>°，c=2的解析式即可

【詳解】解：根據(jù)題意，">°，c=2

故y=f+2符合題意

故答案為：V=/+2（答案不唯一）

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)各系數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

12.社團(tuán)課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”：在一個(gè)不透明的盒子里，裝有20個(gè)除顏色不

同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏

色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程.整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與

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“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象，如圖所示，經(jīng)分析可以推斷“摸出黑球”的概率約為

摸出黑球”的頻率

1.0-

0.8-

0.6-

0.4-

0.2-??????????

__________1111111111A.

O50100I5O2OO250300350400450500摸球的總次數(shù)

【答案】02

【解析】

【分析】根據(jù)“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象，即可得出“摸出黑

球”的概率.

【詳解】解：由圖可知，摸出黑球的概率約為0.2,

故答案為：0.2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查用頻率估計(jì)概率，需要注意的是試驗(yàn)次數(shù)要足夠大，次數(shù)太少時(shí)不

能估計(jì)概率.

13.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長征

路”主題教育活動.據(jù)了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為10萬人，5月份的參觀人數(shù)

增加到12.1萬人.設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長率為x,則可列方程為.

【答案］I。。+x)~=12.1

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得4月份的參觀人數(shù)為l°(x+D人，則5月份的人數(shù)為+

根據(jù)5月份的參觀人數(shù)增加到12.1萬人，列一元二次方程即可.

【詳解】根據(jù)題意設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長率為x,則可列方程為1°(1+幻2=12」

故答案為：1°Q+4=12」

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)增長率問題列一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

14.如圖，將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AADE,若NDAE=110°,NB=40°,則NC的度

數(shù)為________.

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【解析】

【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得NO5,再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：；將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AADE,ZDAE=110°

：.ABAC=^DAE=\\Q°

Z5=40°

ZC=180°-Z5-ABAC=180o-40°-110°=30°.

故答案是：30°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

是解答本題的關(guān)鍵.

15.斛是中國古代的一種量器.據(jù)《漢書?律歷志》記載：“斛底，方而圜(hudn)其外，

旁有鹿(tiao)焉”.意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)同心

圓”.如圖所示，

問題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸(即2.5尺)，“虎旁”為兩寸五分(即兩

同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺)，則此斛底面的正方形的邊長為尺.

【答案】O

【解析】

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【分析】如圖，根據(jù)四邊形CDEF為正方形，可得ND=90°,CD=DE,從而得到CE是直徑,

ZECD=45°,然后利用勾股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖，

?.?四邊形CDEF為正方形，

.\ZD=90°,CD=DE,

，CE是直徑，ZECD=45°,

根據(jù)題意得：AB=2.5,CE=2.5-0.25x2=2,

???CE2=CD2+DE2=2CD2f

CD=41,

即此斛底面的正方形的邊長為后尺.

故答案為：五

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形，勾股定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E,F分別是邊DC,CB上的動點(diǎn)，且始終滿足DE

=CF,AE,DF交于點(diǎn)P,則NAPD的度數(shù)為；連接CP,線段CP長的最小值為

【答案】①.90°②.V5-1

【解析】

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【分析】利用“邊角邊”證明4ADE和4DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得NDAE

=NCDF,然后求出NAPD=90°,從而得出點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，連接AD

的中點(diǎn)和C的連線交弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長度最小，然后根據(jù)勾股定理求得QC,即可求得

CP的長.

【詳解】解：???四邊形ABCD是正方形，

AD=CD,ZADE=ZBCD=90°,

AD=CD

<NADE=ABCD=90°

￡)￡=CF

在AADE和ADCF中，1，

/.△ADE^ADCF(SAS)

；./DAE=/CDF,

VZCDF+ZADF=ZADC=90°,

；./ADF+/DAE=90°,

AZAPD=90°,

由于點(diǎn)P在運(yùn)動中保持NAPD=90°,

點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，

取AD的中點(diǎn)Q,連接QC,此時(shí)CP的長度最小,

貝ijDQ=2AD=2X2=l,

在RtACQD中，根據(jù)勾股定理得，CQ="A+QD-=VF+F=亞,

所以，CP=C0-QP=^-l.

故答案為：9°；

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定,

能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

三、解答題(共68分，17-22題，每題5分，23-26題，每題6分，27-28題，每題7

分)

17.解方程：Jt2-2x-8=0.

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【答案】芭"一2'/=4.

【解析】

【分析】利用配方法變形為(X—1)2-9=°,再根據(jù)平方差公式變形為(x+2)(x-4)=°

即可求解.

【詳解】??,/一2》一8=°,

.?.(X—-9=0

(x-1+3)(x-l-3)=0

/.(x+2)(x-4)=0

則x+2=0或x-4=0,

解得西=一2,W=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的

幾種方法.

18.如圖，AB為。0的弦，0C_LAB于點(diǎn)M,交。0于點(diǎn)C.若。0的半徑為10,0M：MC=

3：2,求AB的長.

【解析】

【分析】連接0A,根據(jù)。。的半徑為10,0M：MC=3：2可求出0M的長，由勾股定理求出

AM的長，再由垂徑定理求出AB的長即可.

【詳解】解：如圖,連接OA.

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VOM：MC=3：2,OC=10,

33

—OC=—xio

0M=55=6.

VOC±AB,

.\Z0MA=90o,AB=2AM.

在RtZXAOM中，A0=10,0M=6,

2222

.AM=^O-OM=y/10-6=8.

AAB=2AM=16.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理的推論是解題的關(guān)鍵.

19.下面是小明設(shè)計(jì)的“作圓的內(nèi)接等腰直角三角形”的尺規(guī)作圖過程.

已知:?0.

求作：。。的內(nèi)接等腰直角三角形ABC.

作法：如圖,

①作直徑AB；

②分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于2的長為半徑作弧，兩弧交于M點(diǎn):

③作直線M0交。0于點(diǎn)C,D；

④連接AC,BC.

所以AABC就是所求的等腰直角三角形.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，解決下面的問題：

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接MA,MB.

VMA=MB,OA=OB,

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，M0是AB的垂直平分線.

.".AC=.

；AB是直徑,

AZACB=（）（填寫推理依據(jù)）.

...△ABC是等腰直角三角形.

【答案】（1）見解析；（2）BC,90°,直徑所對的圓周角是直角

【解析】

【分析】（D過點(diǎn)0任作直線交圓于AB兩點(diǎn)，再作AB的垂直平分線OM,直線MO交。。于

點(diǎn)C,D；連結(jié)AC、BC即可;

（2）根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)得出AC=BC,根據(jù)圓周角定理得出NACB=90°即

可.

【詳解】（1）①作直徑AB；

-AB

②分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于2的長為半徑作弧，兩弧交于M點(diǎn)；

③作直線MO交于點(diǎn)C,D；

④連接AC,BC.

所以4ABC就是所求的等腰直角三角形.

\D

（2）證明：連接MA,MB.

VMA=MB,OA=OB,

；.MO是AB的垂直平分線.

.\AC=BC.

；AB是直徑,

...NACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）.

/.△ABC是等腰直角三角形.

故答案為：BC,90°,直徑所對的圓周角是直角.

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圓內(nèi)接等腰直角三角形，圓周角定理，線段垂直平分線判定與性

質(zhì)，掌握尺規(guī)作圓內(nèi)接等腰直角三角形，圓周角定理，線段垂直平分線判定與性質(zhì)是解題

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關(guān)鍵.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+2x+c的部分圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,一

3),B(l,0).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y<0時(shí)，x的取值范圍.

【解析】

Jc=-3

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，將坐標(biāo)代入解析式得出1"+2+。=°解方

程組即可：

(2)先求拋物線與x軸的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求方程/+2%-3=°的解，再根據(jù)函數(shù)yvo,函

數(shù)圖像位于x軸下方，在兩根之間即可.

【詳解】解：(1)拋物線丁="r+2”+。經(jīng)過點(diǎn)人(0,-3),B(l,0)代入坐標(biāo)得：

c=-3

a+2+c=0

c=-3

<

解得M=1,

所求拋物線的解析式是V=X2+2X-3.

(2)當(dāng)y=0時(shí)，x2+2x-3=0,

因式分解得：(”+3)(x-1)=0,

???x+3=0,x—1=0，

.石=-3,x=\

??2，

當(dāng)yVO時(shí)，函數(shù)圖像在x軸下方,

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，y<0時(shí)，x的取值范圍為

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，利用圖像法解不等式，解一元二次方程，

方程組，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，利用圖像法解不等式，解一元二次方程，方程

組是解題關(guān)鍵.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，^OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為0(0,0),A(5,0),B

(4,-3),將aOAB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△0A'B',點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為A'.

(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形AOA'B',并寫出點(diǎn)A'的坐標(biāo)；

【答案】(1)見解析，⑷的坐標(biāo)為(°，-5)；(2)麗一5”

【解析】

【分析】(1)將點(diǎn)A、B分別繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到其對應(yīng)點(diǎn)，再與點(diǎn)0首尾順次連

接即可；

(2)根據(jù)弧長公式求解即可.

【詳解】解：(1)如圖,△OA'B'即為所求.

14

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點(diǎn)/'的坐標(biāo)為（°，-5）

（2）由題意可求0B=5

.90萬x55

I-=----=—n

BB'1802

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖一旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及弧長公式.

22.2021年6月170,神舟十二號成功發(fā)射，標(biāo)志著我國載人航天踏上新征程.某學(xué)校舉

辦航天知識講座，需要兩名引導(dǎo)員，決定從A,B,C,D四名志愿者中，通過抽簽的方式確

定兩人.抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同且不透明卡片的正面，把

四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名字，再從剩余

的三張卡片中隨機(jī)抽取第二張，記下名字.

（1）“A志愿者被選中”是事件（填“隨機(jī)”或“不可能”或“必然”）；

（2）用畫樹狀圖或列表的方法求出A,B兩名志愿者同時(shí)被選中的概率.

2

【答案】（1）隨機(jī)；（2）見解析6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)隨機(jī)事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可：

（2）畫樹狀圖，得出所有等可能結(jié)果數(shù)，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，繼而利用概率公

式求解即可.

【詳解】（1）根據(jù)隨機(jī)事件的概念，A志愿者被選中是隨機(jī)事件上，

故答案為：隨機(jī).

15

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由上述樹狀圖可知：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，并且每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相

同.其中A,B兩名志愿者同時(shí)被選中的有2種.

2_=1_

.?.P（A,B兩名志愿者同時(shí)被選中）=126

【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有

可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的

知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.已知關(guān)于x的一元二次方程/一伏+4）》+4左=0.

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程有一個(gè)根小于2,求左的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）%<2.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得△=（k-4）2e0,由此可證出方程總

有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出xi=4,X2=k,根據(jù)方程有一根小于2,即

可得出k的取值范圍.

2

【詳解】⑴Vx-（k+4）x+4k=0）

...△=[-/+4）]2-4x4%=r-8無+16=e-4>20,

.?.方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（?）??x?—（k+4）x+4k-0

（）（）

?.?x-4x-k=0，

解得：玉=4,吃=%，

???該方程有一個(gè)根小于2,

后<2.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二

次方程表示出方程的兩個(gè)根，熟練掌握當(dāng)△》（）時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵.

24.為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個(gè)矩形小花

園ABCD,小花園一邊靠墻，另三邊用總長40nl的柵欄圍住，如下圖所示.若設(shè)矩形小花園

AB邊的長為Xm,面積為ym2.

（1）求N與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，小花園的面積最大？最大面積是多少？

16

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2

【答案】(1)(1)y=-2^+40x,(7.5<x<20),⑵當(dāng)x為l°m時(shí)，小花園的面

積最大，最大面積是200m2

【解析】

【分析】(1)首先根據(jù)矩形的性質(zhì)，由花園的AB邊長為xm,可得BC=(40-2x)(n,然后根

據(jù)矩形面積即可求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，又由墻長25m,即可求得自變量的x的范

圍；

(2)用配方法求最大值解答問題.

【詳解】解：(1)???四邊形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,

*/AB=xm,

ABC=(40-2x)m,

?,?花園的面積為：y=ABeBC=x*(40-2x)=-2x2+40x,

V40-2x^25,x+x<40,

/.x^7.5,x<20,

???7.5Wx<20,

；?y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為:y=-2x2+40x(7.5Wx<20)；

(2)?.?歹二一2(工一10)~+200,(7.5<x<20)

當(dāng)X=10時(shí)，Xnax=200

答：當(dāng)x為10m時(shí)，小花園的面積最大，最大面積是200m2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，列

出函數(shù)解析式.

25.如圖，AC是。0的弦，過點(diǎn)0作OPJ_0C交AC于點(diǎn)P,在0P的延長線上取點(diǎn)B,使得

BA=BP.

(1)求證：AB是。。的切線；

(2)若00的半徑為4,PC=2正，求線段AB的長.

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【答案】（1）見解析；⑵”=3.

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/BPA=NBAP、ZOAC=ZOCA.再運(yùn)用等量代

換說明/OAB=90°,即可證明結(jié)論；

（2）先由勾股定理可得0P=2,設(shè)AB=x,則0B=x+2.在RtZ\AOB中運(yùn)用勾股定理列方程

解答即可.

【詳解】解：（1）證明：；BA=BP,

AZBPA=ZBAP.

VOA=OC,

.,.ZOAC=ZOCA.

VOP±OC,

NC0P=90°.

.?.Z0PC+Z0CP=90o.

VZAPB=ZOPC,

/.ZBAP+Z0AC=90°.即N0AB=90°,

/.OA±AB.

VOA為半徑，

；.AB為。0的切線；

（2）在RtZ\OPC中，0C=4,PC=2J^,

.?.OP=JPC2-"2=2.

設(shè)AB=x,則OB=x+2.

在RtZkAOB中，/+42=（》+2）2,

x—3,即AB=3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)、圓的切線證明、勾股定理等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性

質(zhì)、定理成為解答本題的關(guān)鍵.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1,m）和（2,n）在拋物線、=一/+云上.

（1）若m=0,求該拋物線的對稱軸；

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（2）若mn<0,設(shè)拋物線的對稱軸為直線x=f,

①直接寫出’的取值范圍；

3

②已知點(diǎn)（-1,y】），（2,y2）,（3,y3）在該拋物線上.比較力，丫2,丫3的大小，并說

明理由.

11,

X=__</<1

【答案】⑴2；⑵①2:②必<凹<%,見解析

【解析】

【分析】（1）把點(diǎn)（1,m）,m=0,代入拋物線、=-/+云，利用待定系數(shù)法求解解析

式，再利用公式求解拋物線的對稱軸方程；

b1,

,x----T~j—r=-b-1

（2）①先判斷加，〃異號，求解拋物線y=的對稱軸為：2（-1）29

拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：根據(jù)點(diǎn)（1,m）和（2,n）在拋物線

2

y=-x+bx±t則加可得1<6<2,從而可得答案；②設(shè)點(diǎn)（一1,yi）關(guān)于拋

物線的對稱軸’的對稱點(diǎn)為（/'%），再判斷2<工。<3.結(jié)合拋物線開口向下，當(dāng)

x>'時(shí)，y隨x的增大而減小，從而可得答案.

【詳解】解：⑴???點(diǎn)（1,m）在拋物線^=一*2+云上，m=0,

???-1+6=0?

???b=\?

_2

所以拋物線為：〉二-廠+員

11

X=-----------=——

該拋物線的對稱軸為2x（-1）2

（2）①<°，則〃〃異號，

b_1,

2x---T-j—r—b―/,

而拋物線y=—-+云的對稱軸為：2（-i）2

令N=0,jjjij-x2+bx=0,

解得：玉=0,》2=瓦

所以拋物線與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（°，°）

???點(diǎn)（1,m）和（2,n）在拋物線y=-x2+隊(duì)上，

19

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\m>0,M<0,

\1<6<2,

11,,1,

v\-v—bv1,—</<1.

22即2

②%<必<%.理由如下:

由題意可知，拋物線過原點(diǎn).

設(shè)拋物線與x軸另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X’.

?拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1,m）,（2,n）,mn<0

.,.l<x<2.

—</<l

Z.2

設(shè)點(diǎn)（一1,yi）關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為（“。'凹）.

?.?點(diǎn)（-1,yj）在拋物線上，

...點(diǎn)（X。,％）也在拋物線上.

由工0-￡=/一（一1）得X。=2f+l.

11

一<I

2,

.\l<2t<2.

A2<2t+l<3.

.2<x0<3

由題意可知，拋物線開口向下.

???當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小.

33

—z、/<—</<3

:點(diǎn)（2,y2）,（X。*）,（3,y3）在拋物線上，且2,

二乃<必<為

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的對稱軸方程，拋物

線的對稱性與增減性，掌握“利用拋物線的增減性判斷二次函數(shù)值的大小”是解本題的關(guān)

鍵.

27.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,BP,CP,將線段AP繞點(diǎn)

A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到NP',連接PP，BP

（I）用等式表示與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；

20

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（2）當(dāng)NBPC=120°時(shí)，

①直接寫出/尸石尸的度數(shù)為；

②若M為BC的中點(diǎn)，連接PM,請用等式表示PM與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）80’=。，理由見解析；（2）①60°；②PM=2，見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB=AC,NBAC=60°,再由由旋轉(zhuǎn)可知：

AP-AP',NP4P'=60°從而得到NB4P'=NC4P,可證得A/BP尸，即可求

解；

（2）①由NBPC=120°,可得NPBC+/PCB=60°.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得NBAC

=60°,從而得到/ABC+NACB=120°,進(jìn)而得到/ABP+NACP=60°.再由

“BP3"CP,可得NABP'=ZACP,即可求解；

②延長PM到N,使得NM=PM,連接BN.可先證得△PCMgANBM.從而得到CP=BN,ZPCM

=/NBM.進(jìn)而得到8N=8P'.根據(jù)①可得NP8P=60。，可證得APNB知PPB,從

而得到PN=PP.再由AP/P'為等邊三角形，可得P'P=AP.從而得到PN=/尸

,即可求解.

【詳解】解：（1）BP=CP.理由如下：

在等邊三角形ABC中，AB=AC,NBAC=60°,

由旋轉(zhuǎn)可知：4P=”'，=60。

Z.PAP'-NBAP=ABAC-NBAP

即NBAP=NCAP

在△Z5P和aACP中

'AB=AC

<NBAP'=ZCAP

AP'=AP

???18P包⑷CPSAS?

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???BP=CP?

(2)?VZBPC=120°,

.,.ZPBC+ZPCB=60°.

?.,在等邊三角形ABC中，ZBAC=60",

；./ABC+/ACB=120°,

AZABP+ZACP=60°.

?；"BP%ACP.

???NABP'=NACP，

.,.ZABP+ZABPZ=60°.

即/P8P=60°.

-AP

②PM=2.理由如下：

如圖，延長PM到N,使得NM=PM,連接BN.

為BC的中點(diǎn),

BM=CM.

^△PCM和△NBM中

PM=NM

<NPMC=ZNMB

CM=BM

.,.△PCM^ANBM(SAS).

ACP=BN,/PCM=/NBM.

???BN=BP'?

VZBPC=120°,

.e.ZPBC+ZPCB=60°.

.\ZPBC+ZNBM=60°.

即NNBP=60°.

22

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VZABC+ZACB=120°,

，NABP+NACP=60°.

.?.NABP+NABP'=60°.

即NP8P=60°.

:/P'BP=2NBP.

在APNE和APPS中

BN=BP'

</NBP=4P'BP

BP=BP

：.△PNBAPP'B（SAS）.

:.PN=PP'.

.；AP=AP；ZPAP'=60°

：.APAP'為等邊三角形，

P'P=AP.

??P?N=AP，

-AP

；.PM=2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋

轉(zhuǎn)，熟練掌握等邊三角形判定和性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)定理，圖形的旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

28.在平面直角坐標(biāo)系X。中，。。的半徑為1,對于直線1和線段AB,給出如下定義：

若將線段AB關(guān)于直線1對稱，可以得到。。的弦A'B'（A',B'分別為A,B的對應(yīng)點(diǎn)），則

稱線段AB是。0的關(guān)于直線1對稱的“關(guān)聯(lián)線段”.例如：在圖1中，線段是。0的關(guān)

于直線1對稱的“關(guān)聯(lián)線段”.

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①在線段4線4層，453中，。。的關(guān)于直線y=x+2對稱的“關(guān)聯(lián)線段”是.

②若線段4線432,4名中，存在。o的關(guān)于直線y=-x+m對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，則用

y--—x+b(h>0

(2)已知直線3交x軸于點(diǎn)C,