專題16 四邊形（教師版）

知識(shí)點(diǎn)01：多邊形內(nèi)角與外角【高頻考點(diǎn)精講】1、多邊形內(nèi)角和等于（n﹣2）?180°，其中n≥3且n為整數(shù)。推導(dǎo)方法：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，引出（n﹣3）條對(duì)角線，將n邊形分割為（n﹣2）個(gè)三角形，則（n﹣2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和就是n邊形的內(nèi)角和。（2）思想方法：將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形。2、多邊形外角和等于360°。（1）多邊形的外角：每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角。（2）推導(dǎo)方法：多邊形外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°。（3）思想方法：鄰補(bǔ)角概念以及多邊形內(nèi)角和定理。知識(shí)點(diǎn)02：平行四邊形的性質(zhì)與判定【高頻考點(diǎn)精講】1、平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對(duì)邊相等。（2）平行四邊形的對(duì)角相等。（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。（4）平行四邊形的面積①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的乘積。②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等。平行四邊形的判定（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。知識(shí)點(diǎn)03：菱形的性質(zhì)與判定【高頻考點(diǎn)精講】1、菱形的性質(zhì)（1）菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。（2）菱形的四條邊都相等。（3）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。（4）菱形的面積計(jì)算①利用平行四邊形的面積公式。②菱形面積＝ab（a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）2、菱形的判定（1）四條邊都相等的四邊形是菱形。（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。（3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（4）對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形。知識(shí)點(diǎn)04：矩形的性質(zhì)與判定【高頻考點(diǎn)精講】1、矩形的性質(zhì)（1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)。（2）矩形的四個(gè)角都是直角。（3）矩形的鄰邊垂直。（4）矩形的對(duì)角線相等。2、矩形的判定（1）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（2）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（3）有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形；（4）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。知識(shí)點(diǎn)05：正方形的性質(zhì)與判定【高頻考點(diǎn)精講】1、正方形的性質(zhì)（1）正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。（2）正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。（3）正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。2、正方形的判定（1）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。（2）鄰邊相等且有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形。（3）有一組鄰邊相等的矩形是正方形

。（4）有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形。（5）對(duì)角線相等的菱形是正方形。（6）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.51一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?蘭州）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，以B為圓心，BF長(zhǎng)為半徑的圓弧過(guò)AD與CE的交點(diǎn)G，連接BG．若AB＝4，CE＝10，則AG＝（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，在Rt△BCE中，點(diǎn)F為斜邊CE的中點(diǎn)，∴，∴BG＝BF＝5，在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，由勾股定理得：．故選：C．2．（2分）（2023?蘭州）如圖1是我國(guó)古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之中，如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角∠1＝（）A．45° B．60° C．110° D．135°解：∵正八邊形的外角和為360°，∴每一個(gè)外角為360°÷8＝45°．故選：A．3．（2分）（2023?臺(tái)州）如圖，⊙O的圓心O與正方形的中心重合，已知⊙O的半徑和正方形的邊長(zhǎng)都為4，則圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值為（）A． B．2 C． D．解：如圖，點(diǎn)B為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D為正方形上一點(diǎn)，連接BD，OC，OA，AB，由三角形三邊關(guān)系可得，OB﹣OD＜BD，OB是圓的半徑，為定值，當(dāng)點(diǎn)D在A時(shí)，取得最大值，∴當(dāng)O、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離有最小值，最小值為OB﹣OA，由題意可得，AC＝4，OB＝4，∵點(diǎn)O為正方形的中心，∴OA⊥OC，OA＝OC，∴△AOC為等腰直角三角形，∴OA＝＝＝，∴圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值為OB﹣OA＝4﹣．故選：D．4．（2分）（2023?丹東）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接EF，若，則矩形ABCD的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．解：∵四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，且AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠ABD＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝OC＝AC，∴AC＝2AB，∵AE⊥BD于點(diǎn)E，∴E為OB的中點(diǎn)，∵F是OC的中點(diǎn)，EF＝2，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∴AD＝BC＝4，∵BC＝＝＝AB，∴AB＝4，∴AB＝CD＝4，∴AD+BC+AB+CD＝4+4+4+4＝8+8，∴矩形ABCD的周長(zhǎng)是8+8，故選：D．5．（2分）（2023?攀枝花）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PF⊥AD于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PC，當(dāng)PE：PF＝1：2時(shí)，則PC＝（）A． B．2 C． D．解：連接AP，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠ADB＝45°，∵PF⊥AD，PE⊥AB，∠BAD＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴PE＝AF，∠PFD＝90°，∴△PFD是等腰直角三角形，∴PF＝DF，∵PE：PF＝1：2，∴AF：DF＝1：2，∴AF＝1，DF＝2＝PF，∴AP＝＝＝，∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝PC＝，故選：C．6．（2分）（2023?青島）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)M，G為BC上一點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)．若BG＝3，CG＝1，則線段MN的長(zhǎng)度為（）A． B． C．2 D．解：連接DG，EF，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴四邊形AEFD是矩形，∴M是ED的中點(diǎn)，在正方形ABCD中，BG＝3，CG＝1，∴BC＝DC＝4，在Rt△DGC中，由勾股定理得，DG＝＝＝，在三角形EDG中，M是ED的中點(diǎn)，N是EG的中點(diǎn)，∴MN是三角形EDG的中位線，∴MN＝DG＝．故選：B．7．（2分）（2023?呼和浩特）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．解：由題意，連接BM，記BD與MN交于點(diǎn)O．∵線段MN垂直平分BD，∴BO＝DO，BM＝DM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠MDO＝∠NBO．又∠DOM＝∠BON，∴△DMO≌△BNO（ASA）．∴DM＝BN＝BM＝2．在Rt△BAM中，∴AB＝＝．∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2．故選：A．8．（2分）（2023?安徽）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，EF⊥AB于點(diǎn)F，連接DE并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)M，交邊AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若AF＝2，F(xiàn)B＝1，則MG＝（）A．2 B． C．+1 D．解：∵四邊形ABCD是正方形，AF＝2，F(xiàn)B＝1，∴CD＝AD＝AB＝BC＝3，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，DC∥AB，AD∥BC，∴AC＝＝3，∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴＝，∴EF＝2，∴AE＝＝2，∴CE＝AC﹣AE＝，∵AD∥CM，∴△ADE∽△CME，∴＝，∴＝＝2，∴CM＝＝BM，在△CDM和△BGM中，，∴△CDM≌△BGM（SAS），∴CD＝BG＝3，∴MG＝＝＝．故選：B．9．（2分）（2023?西藏）如圖，矩形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，AD＝3，AB＝4，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，EG⊥AC于點(diǎn)G，則EH+EG的值是（）A．2.4 B．2.5 C．3 D．4解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，∴OD＝OC，∵AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，∴BD＝＝5，過(guò)C作CF⊥BD于F，∴S△DCB＝CF?BD＝BC?CD，∴CF＝＝，連接OE，∵S△COD＝S△DOE+S△COE，∴，∴EH+EG＝CF＝＝2.4，故選：A．10．（2分）（2023?綿陽(yáng)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，且BG＝3GC，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，且交AG于點(diǎn)F，則tan∠EDF的值為（）A． B． C． D．解：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AGB，∵BG＝3CG，∴BG＝3，∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，∴AG＝，∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△GAB，∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，∴4：5＝AE：3＝DE：4，∴AE＝，DE＝，又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝90°，又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝，∴EF＝AF﹣AE＝，∴tan∠EDF＝，故選：A．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?濟(jì)寧）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則這個(gè)多邊形是五邊形．解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為n，則（n﹣2）?180°＝540°，解得：n＝5，即此多邊形為五邊形，故答案為：五．12．（2分）（2023?甘孜州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形AOBC的頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，），∴OA＝＝2，∵四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB＝AC＝2，OB∥AC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，）．故答案為：（3，）．13．（2分）（2023?長(zhǎng)春）如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，折痕為AF，則∠AFB'的大小為45度．解：∵五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B＝∠BAE＝108°，由圖形的折疊可知，∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，∠BAF＝∠FAB'＝∠BAM＝27°，∠AFB'＝∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣108°﹣27°＝45°．故答案為：45．14．（2分）（2023?淮安）如圖，3個(gè)大小完全相同的正六邊形無(wú)縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)得到△ABC，則tan∠ACB的值是．解：以BH，HG，GD為邊，作正六邊形BHGDFE，，連接BD，DE，AD，如圖：由正六邊形性質(zhì)可知∠HBC＝60°，∠HBE＝120°，∴∠HBC+∠HBE＝180°，∴C，B，E共線；由正六邊形性質(zhì)可得∠KDG＝120°＝∠AKD，AK＝DK，∴∠ADK＝30°，∴∠ADG＝∠KDG﹣∠ADK＝90°，同理∠EDG＝∠FDG﹣∠FDE＝120°﹣30°＝90°，∴∠ADG+∠EDG＝180°，∴A，D，E共線；∵∠BDE＝∠EDG﹣∠BDG＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝∠DBH＝60°，∴∠DEB＝90°，即∠AEC＝90°，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為m，則BD＝2BE＝2m＝BC，∴DE＝BE＝m＝AD，CE＝BC+BE＝3m，∴AE＝2m，∴tan∠ACB＝＝＝；故答案為：．15．（2分）（2023?丹東）如圖，在正方形ABCD中，AB＝12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點(diǎn)G，若BE＝CF＝5，則BG的長(zhǎng)為．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABG＝90°，∴∠BAE+∠ABG＝90°，∴∠BGE＝90°，∴∠BGE＝∠C，又∵∠EBG＝∠FBC，∴△EBG∽△FBC，∴，∵BC＝AB＝12，CF＝BE＝5，∴BF＝，∴，∴．故答案為：．16．（2分）（2023?棗莊）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝7，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，若△CEF的周長(zhǎng)為32，則OF的長(zhǎng)為．解：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴∠BCD＝90°，O是中點(diǎn)，∵F為DE的中點(diǎn)，∴CF＝EF＝DF，∵△CEF的周長(zhǎng)為32，CE＝7，∴CF+EF＝25，即DE＝25，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理可得CD＝24＝BC，∴BE＝24﹣7＝17，根據(jù)三角形的中位線可得OF＝BE＝．故答案為：．17．（2分）（2023?湘潭）七巧板是我國(guó)民間廣為流傳的一種益智玩具．某同學(xué)用邊長(zhǎng)為4dm的正方形紙板制作了一副七巧板（見圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為2dm2．解：如圖所示，依題意，OD＝AD＝2，OE＝OD＝，∴圖中陰影部分的面積為OE2＝（）2＝2（dm2），故答案為：2．18．（2分）（2023?廣西）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，則MN的最大值為．解：如圖所示，連接AE，∵M(jìn)，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，∴MN是△AEF的中位線，∴，∵四邊形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴，∴當(dāng)BE最大時(shí)，AE最大，此時(shí)MN最大，∵點(diǎn)E是BC上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，BE最大，即BC的長(zhǎng)度，∴此時(shí)，∴，∴MN的最大值為．故答案為：．19．（2分）（2023?牡丹江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，將菱形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后，得到菱形AB1C1D1，則點(diǎn)C1的坐標(biāo)是（1﹣，3）或（1+，﹣3）．解：如圖所示：∵菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，∴AD＝AB＝BC＝CD＝2，AB邊的高是，∴點(diǎn)C1的縱坐標(biāo)為±3，橫坐標(biāo)為1±，∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（1﹣，3）或（1+，﹣3），故答案為：（1﹣，3）或（1+，﹣3）．20．（2分）（2023?德州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)G在BC上，且BG＝3，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，交AG于點(diǎn)F，則EG的長(zhǎng)為．解：∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠AED＝∠BFA＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD且∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠BAF+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△AFB和△DEA中，，∴△AFB≌△DEA（AAS），∴AE＝BF，在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝3，根據(jù)勾股定理得，AG＝5，∵S△ABG＝AB?BG＝AG?BF，∴3×4＝5BF，∴BF＝，由勾股定理得：AF＝＝＝，∴EF＝AF﹣AE＝﹣＝，∵BG＝3，BF＝，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)G＝＝＝，∴EG＝EF+FG＝+＝．故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：FA＝BD；（2）連接BF，若AB＝AC，求證：四邊形ADBF是矩形．（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，又∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，又∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴AF＝BD；（2）證明：∵AF＝BD，AF∥BD，∴四邊形ADBF是平行四邊形，∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四邊形ADBF是矩形．22．（6分）（2023?蘭州）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，CD∥OE，直線CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD，AD于點(diǎn)F，G，連接DE．（1）判斷四邊形OCDE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)CD＝4時(shí)，求EG的長(zhǎng)．解：（1）四邊形OCDE是菱形，理由如下：∵CD∥OE，∴∠FDC＝∠FOE，∵CE是線段OD的垂直平分線，∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO，在△FDC和△FOE中，，∴△FDC≌△FOE（ASA），∴CD＝OE，又ED＝OE，CD＝CO，∴ED＝OE＝CD＝CO，∴四邊形OCDE是菱形．（2）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO，∵CE是線段OD的垂直平分線，∴CD＝CO，∴CD＝CO＝DO，∴△ODC為等邊三角形，∴DO＝CD＝4，∠ODC＝60°，∴，在Rt△CDF中，CD＝4，DF＝2，由勾股定理得：，由（1）可知：四邊形OCDE是菱形，∴，∵∠GDF＝∠CDA﹣∠ODC＝30°，∴，∴，∴．23．（8分）（2023?云南）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE＝AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于，求平行線AB與DC間的距離．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，∵AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，∴，，∴∠DAE＝∠BCF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BCF＝∠AEB，∴AE∥FC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE＝AF，∴四邊形AECF是菱形；（2）解：連接AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，∵△ABE的面積等于，∴，∴AB＝4，即AB＝AE＝EB＝4，由（1）知四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠AEB是△AEC的一個(gè)外角，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AC⊥AB，由勾股定理得，即平行線AB與DC間的距離是．24．（8分）（2023?溫州）如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EF交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連結(jié)AF交EH于點(diǎn)G，GE＝GH．（1）求證：BE＝CF；（2）當(dāng)＝，AD＝4時(shí)，求EF的長(zhǎng)．（1）證明：∵FH⊥EF，∴∠HFE＝90°，∵GE＝GH，∴，∴∠E＝∠GFE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴BF＝CE，∴BF﹣BC＝CE﹣BC，即BE＝CF；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC⊥BC，即DC⊥EF，AB＝CD，BC＝AD＝4，∵FH⊥EF，∴CD∥FH，∴△ECD∽△EFH，∴，∴，∵，∴，設(shè)BE＝CF＝x，∴EC＝x+4，EF＝2x+4，∴，解得x＝1，∴EF＝6．25．（8分）（2023?衡陽(yáng)）[問(wèn)題探究]（1）如圖1，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．在線段AO上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接PD、PB．①求證：PD＝PB；②將線段DP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；③探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．[遷移探究]（2）如圖2，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他條件不變．試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°．∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP，∴PD＝PB；②解：∠DPQ的大小不發(fā)生變化，∠DPQ＝90°；理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，∴四邊形AMPN是矩形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°．.∵PD＝PQ，PM＝PN，∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），∴∠DPN＝∠QPM，∴∠QPN+∠QPM＝90°．∴∠QPN+∠DPN＝90°，即∠DPQ＝90°；③解：AQ＝OP；理由：作PE⊥AO交AB于點(diǎn)E，作EF⊥OB于點(diǎn)F，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，∴∠AEP＝45°，四邊形OPEF是矩形，∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，∴PA＝PE，∵PD＝PB，PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PM⊥AE于點(diǎn)M，則QM＝BM，AM＝EM，∴AQ＝BE，∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，∴BE＝EF，∴AQ＝OP；（2）解：AQ＝CP；理由：四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∴△ABC是等邊三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC＝60°，PD＝PB，∵PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PE∥BC交AB于點(diǎn)E，EG∥AC交BC于點(diǎn)G，如圖，則四邊形PEGC是平行四邊形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等邊三角形，∴BE＝EG＝PC，作PM⊥AB于點(diǎn)M，則QM＝MB，AM＝EM，∴QA＝BE，∴AQ＝CP．26．（8分）（2023?阜新）如圖，在正方形ABCD中，線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CE處，旋轉(zhuǎn)角為α，點(diǎn)F在直線DE上，且AD＝AF，連接BF．（1）如圖1，當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，①求∠BAF的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆谇笞C：EF＝BF．（2）如圖2，取線段EF的中點(diǎn)G，連接AG，已知AB＝2，請(qǐng)直接寫出在線段CE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（0°＜α＜360°）△ADG面積的最大值．（1）解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA．∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝90°，由題意得CD＝CE，∠DCE＝α：∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣α）＝90°﹣α．∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD＝α，∴∠FAD＝180°﹣∠ADF﹣∠AFD＝180°﹣α，∴∠BAF＝∠FAD﹣∠BAD＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α；②連接BE．∵∠DCE＝α，∴∠BCE﹣90°﹣α＝∠BAF，∵CD＝CE＝AD＝AF＝BC，∴△BCE≌△BAF（SAS），∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE．∵∠ABC＝90°，∴∠EBF＝90°∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF＝BF；（2）解：過(guò)點(diǎn)G作AD的垂線，交直線AD于點(diǎn)H，連接AC，BD相交于點(diǎn)，O，連接OG，由（1）得△EBF是等腰直角三角形，又點(diǎn)G為斜邊EF的中點(diǎn)，∴BG⊥EF，即∠BGD＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OD．∴OB＝OD＝OG，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的一段弧上，當(dāng)點(diǎn)H、O、G在同一直線上時(shí)，GH有最大值，則△ADG面積的最大值，∴GH＝AB+OG＝AB+BD＝×2+×2＝1+．∴△ADG面積的最大值為AD×GH＝1+．27．（8分）（2023?徐州）如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)