專題17 圓（教師版）

知識點01：垂徑定理及其應(yīng)用【高頻考點精講】1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。2、垂徑定理的推論（1）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（3）平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。3、垂徑定理的應(yīng)用：垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。知識點02：圓周角定理【高頻考點精講】1、圓周角定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。注意：圓周角必須同時滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩條邊都與圓相交。2、圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。推論：半圓（或直徑）所對圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。3、解題技巧：解決圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角。知識點03：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【高頻考點精講】1、圓內(nèi)接四邊形的對角互補。2、圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。知識點04：三角形的外接圓與外心【高頻考點精講】1、外接圓定義：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓。2、外心定義：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點。3、注意事項（1）銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部。（2）找三角形的外心，就是找三角形三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個。知識點05：切線的性質(zhì)【高頻考點精講】1、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。2、經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。3、經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。4、切線性質(zhì)的運用：由切線長定理可知，如果出現(xiàn)圓的切線，可以連接過切點的半徑，得出垂直關(guān)系。知識點06：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心【高頻考點精講】內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。2、內(nèi)心定義：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點。3、任何三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形。4、三角形內(nèi)心的性質(zhì)（1）三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。（2）三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分內(nèi)角。知識點07：弧長及扇形面積計算【高頻考點精講】1、弧長計算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）2、扇形面積計算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形。（3）扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則①S扇形＝πR2②S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）（4）求陰影面積解題技巧：將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積。常用方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法。知識點08：圓錐的計算【高頻考點精講】1、圓錐頂點和底面圓周上任意一點的連線叫做圓錐的母線。頂點與底面圓心的連線叫圓錐的高。2、圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長。3、圓錐的側(cè)面積：S側(cè)＝?2πr?l＝πrl．4、圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl5、圓錐的體積＝×底面積×高6、注意事項（1）圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等。（2）圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等。檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.50一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?湖州）如圖，點A，B，C在⊙O上，連結(jié)AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．80° B．90° C．100° D．110°解：∵∠BAC＝50°，∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝100°．故選：C．2．（2分）（2023?錦州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，連接OA，OC．若⊙O的半徑為3，則扇形AOC（陰影部分）的面積為（）A．π B．π C．π D．2π解：∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，∴扇形AOC的面積為，故選：D．3．（2分）（2023?赤峰）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝105°，連接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．則∠CBD的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝105°，∴∠A＝75°，∴∠BOD＝2∠A＝150°，∵∠BOC＝2∠COD，∴∠BOD＝3∠COD＝150°，∴∠COD＝50°，∴∠CBD＝∠COD＝25°，故選：A．4．（2分）（2023?廣西）如圖，點A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．則∠AOB的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，∴∠AOB＝80°．故選：D．5．（2分）（2023?重慶）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°解：連接OC，∵直線CD與⊙O相切于點C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故選：B．6．（2分）（2023?山西）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC，BD為對角線，BD經(jīng)過圓心O．若∠BAC＝40°，則∠DBC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°解：∵BD經(jīng)過圓心O，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，故選：B．7．（2分）（2023?濱州）如圖，某玩具品牌的標志由半徑為1cm的三個等圓構(gòu)成，且三個等圓⊙O1，⊙O2，⊙O3相互經(jīng)過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（）A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2解：如圖，連接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，則△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是邊長為1的正三角形，所以，S陰影部分＝3＝3×＝（cm2），故選：C．8．（2分）（2023?山西）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點為A，曲線終點為B，過點A，B的兩條切線相交于點C，列車在從A到B行駛的過程中轉(zhuǎn)角α為60°．若圓曲線的半徑OA＝1.5km，則這段圓曲線的長為（）A． B． C． D．解：∵過點A，B的兩條切線相交于點C，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴A、O、B、C四點共圓，∴∠AOB＝α＝60°，∴圓曲線的長為：（km）．故選：B．9．（2分）（2023?河北）如圖，點P1～P8是⊙O的八等分點．若△P1P3P7，四邊形P3P4P6P7的周長分別為a，b，則下列正確的是（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＞b D．a(chǎn)，b大小無法比較解：連接P4P5，P5P6．∵點P1～P8是⊙O的八等分點，∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，∵P5P4+P5P6＞P4P6，∴P3P4+P7P6＞P1P3，∴b﹣a＞0，∴a＜b，故選：A．10．（2分）（2023?廣元）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一點，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若CD＝CE，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．解：連接OC，如圖所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四邊形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四邊形OECD是正方形，∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S陰影＝S△DCE+S半弓形BCE＝S△OCE+S半弓形BCE＝S扇形COB＝＝，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?青島）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），P（﹣1，0），⊙P過原點O，且與x軸交于另一點D，AB為⊙P的切線，B為切點，BC是⊙P的直徑，則∠BCD的度數(shù)為60°．解：∵點A（1，0），P（﹣1，0），∴OP＝OA＝1，∴AP＝OP+OA＝2∵⊙P過原點O，∴OP為⊙P的半徑，∵AB為⊙P的切線，∴PB⊥AB，PB＝OP＝1，在Rt△ABP中，BP＝1，AP＝2，sinA＝PB/AP＝1/2，∴∠BAP＝30°，∴∠BPA＝60°，∴∠CPD＝60°，又∵PC＝PD，∴三角形CPD為等邊三角形，∴∠PCD＝60°，即∠BCD的度數(shù)為60°．故答案為：60．12．（2分）（2023?南通）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，則∠ACD＝24度．解：如圖，連接OD，∵OA＝OD，∠DAB＝66°，∴∠ODA＝∠OAD＝66°，∴∠AOD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，∴∠ACD＝∠AOD＝24°，故答案為：24．13．（2分）（2023?徐州）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點E．＝2，連接AD，過點B的切線與AD的延長線交于點F．若∠AFB＝68°，則∠DEB＝66°．解：如圖，連接OC，OD，∵BF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴OB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∵∠AFB＝68°，∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝22°，∴∠BOD＝2∠BAF＝44°，∵，∴∠COA＝2∠BOD＝88°，∴∠CDA＝，∵∠DEB是△AED的一個外角，∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝66°，故答案為：66．14．（2分）（2023?寧波）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長為50cm，則煙囪帽的側(cè)面積為1500πcm2．（結(jié)果保留π）解：煙囪帽的側(cè)面積為：×2π×30×50＝1500π（cm2），故答案為：1500π．15．（2分）（2023?吉林）如圖①，A，B表示某游樂場摩天輪上的兩個轎廂．圖②是其示意圖，點O是圓心，半徑r為15m，點A，B是圓上的兩點，圓心角∠AOB＝120°，則的長為10πm．（結(jié)果保留π）解：∵∠AOB＝120°，⊙O半徑r為15m，∴的長＝＝10π（m）．故答案為：10π．16．（2分）（2023?北京）如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于點D，AE是⊙O的切線，AE交OC的延長線于點E．若∠AOC＝45°，BC＝2，則線段AE的長為．解：∵OA是⊙O的半徑，AE是⊙O的切線，∴∠A＝90°，∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，∴OD＝CD，OA＝AE，∵OA⊥BC，∴CD＝，∴OD＝CD＝1，∴OC＝OD＝，∴AE＝OA＝OC＝，故答案為：．17．（2分）（2023?紹興）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，若∠D＝100°，則∠B的度數(shù)是80°．解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝100°，∴∠B＝80°．故答案為：80°．18．（2分）（2023?青海）如圖，正方形ABCD的邊長是4，分別以點A，B，C，D為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是16﹣4π（結(jié)果保留π）．解：由圖得，陰影面積＝正方形面積﹣4扇形面積，即陰影面積＝正方形面積﹣圓的面積，∴S陰影＝42﹣π?22＝16﹣4π．故答案為：16﹣4π．19．（2分）（2023?衢州）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當餐盤正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于10cm．解：由題意得：BC＝16cm，CD＝4cm，如圖，連接OA，過點O作OE⊥BC，交BC于點E，交AD于點F，則∠OEC＝90°，∵餐盤與BC邊相切，∴點E為切點，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），設(shè)餐盤的半徑為xcm，則OA＝OE＝xcm，∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴餐盤的半徑為10cm，故答案為：10．20．（2分）（2023?南充）如圖，AB是⊙O的直徑，點D，M分別是弦AC，弧AC的中點，AC＝12，BC＝5，則MD的長是4．解：∵點M是弧AC的中點，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，∴OM＝6.5，∵點D是弦AC的中點，∴OD＝BC＝2.5，OD∥BC，∴OD⊥AC，∴O、D、M三點共線，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案為：4．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?郴州）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點C是圓上一點．在AB的延長線上取一點D，連接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含π的式子表示）．（1）證明：連接OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的切線．（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠BOC＝＝tan60°，CD＝2，∴，解得OC＝2，∴陰影部分的面積＝S△OCD﹣S扇形BOC＝﹣＝2﹣．22．（6分）（2023?北京）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；（2）過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F，若AC＝AD，BF＝2，求此圓半徑的長．（1）證明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圓的直徑，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝180°，∴∠F＝90°，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD，∵BD是圓的直徑，∴圓的半徑長是4．23．（8分）（2023?內(nèi)蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點，點C是的中點，連接BC，過點C的直線垂直于BE的延長線于點D，交BA的延長線于點P．（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的長．（1）證明：連接OC，∵點C是的中點，∴∠ABC＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥DB，∵PD⊥BD，∴PD⊥CO，∴PC為⊙O的切線；（2）解：連接AE，設(shè)OB＝OC＝r，∵PC＝2BO＝2r，∴OP＝＝3r，∵PB＝10，∴3r+r＝10，即r＝．∵OC∥DB，∴△PCO∽△PDB，∴，∴，∴BD＝，∵AB是⊙O的直徑，∴AE⊥BD，∴AE∥PD，∴，∴，∴BE＝．24．（8分）（2023?婁底）如圖1，點G為等邊△ABC的重心，點D為BC邊的中點，連接GD并延長至點O，使得DO＝DG，連接GB，GC，OB，OC．（1）求證：四邊形BOCG為菱形．（2）如圖2，以O(shè)點為圓心，OG為半徑作⊙O．①判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并予以證明．②點M為劣弧BC上一動點（與點B、點C不重合），連接BM并延長交AC于點E，連接CM并延長交AB于點F，求證：AE+AF為定值．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，G是重心，點D為BC邊的中點，∴連接點A、G、D，其所在直線是BC的垂直平分線，∴GO⊥BC，且BD＝DC，∵DO＝DG，∴GO與BC互相垂直且平分，∴四邊形BOCG是菱形；（2）①解：直線AB與⊙O的位置關(guān)系是相切，證明：∵等邊△ABC中，∠ABC＝60°，BG為∠ABC的角平分線，∴∠ABG＝∠GBO＝30°，∵四邊形BOCG是菱形，∴∠CBO＝∠GBC＝30°，∵∠ABO＝∠ABG+∠GBC+∠CBO＝90°，∴AB⊥OB，即AB與⊙O相切；②證明：∵∠BGC與∠BMG對應(yīng)的弦為BC，∴∠BMC＝∠BGC＝180°﹣60°＝120°，∴∠MBC＝180°﹣120°﹣∠MCB＝60°﹣∠MCB，∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°﹣∠MCB，∴∠ACF＝∠MBC，∵∠BCE＝∠A＝60°，BC＝AC，∴△BEC≌△FCA（ASA），∴AF＝CE，∵AE+CE＝AC，∴AE+AF＝AE+CE＝AC，即AE+AF為定值．25．（8分）（2023?營口）如圖，在△ABC中，AB＝BC，以BC為直徑作⊙O與AC交于點D，過點D作DE⊥AB，交CB延長線于點F，垂足為點E．（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若BE＝3，cosC＝，求BF的長．（1）證明：如圖，連接BD，OD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD，∵AB＝BC，∴AD＝CD，又∵OB＝OC，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AB，∵FD⊥AB，∴FD⊥OD，∵OD是半徑，∴DF是⊙O的切線；（2）解：由于cosC＝＝，可設(shè)CD＝4x，則BC＝5x，∴BD＝＝3x，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴∠DBE＝∠CBD，∵∠BED＝∠BDC＝90°，∴△BED∽△BDC，∴＝，即，解得x＝，經(jīng)檢驗，x＝是原方程的解，∴BC＝5x＝，∴OD＝BC＝，∵OD∥BE，∴△FEB∽△FDO，∴＝，即＝，解得FB＝．26．（8分）（2023?遼寧）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE平分∠ACB交⊙O于點E，過點E作EF∥AB，交CA的延長線于點F．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，過點E作EG⊥AC于點M，交⊙O于點G，交AB于點N，求的長．（1）證明：連接OE，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CE平分∠ACB交⊙O于點E，∴∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，∵EF∥AB，∴OE⊥FE．∵OE為⊙O的半徑，∴EF與⊙O相切；（2）解：連接OG，OC，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC為等邊三角形，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°．∵∠ACE＝45°，EG⊥AC，∴∠MEC＝45°，∴∠GOC＝2∠MEC＝90°，∴∠AOG＝∠AOC﹣∠GOC＝30°，∵AB＝8，AB是⊙O的直徑，∴OA＝OG＝4，∴的長＝＝．27．（8分）（2023?長春）【感知】如圖①，點A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為45度．【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P在弧AC上（點P不與點A、C重合），連接PA、PB、PC．求證：PB＝PA+PC．小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．請你補全余下的證明過程．【應(yīng)用】如圖③，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在⊙O上，且點P與點B在AC的兩側(cè)，連接PA、PB、PC，若，則的值為．【感知】解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圓中，同弧所對的圓周角是圓心角的一半），故答案為：45；【探究】證明：延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS），∴PB＝EB，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠APB＝60°，∴△PBE為等邊三角形，∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；【應(yīng)