2023屆黑龍江省龍西北八校聯(lián)合體高三年級(jí)下冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023屆黑龍江省龍西北八校聯(lián)合體高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足(l+2i)z=2+i,貝iJzS=()

A.4B.3C.2D.I

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軌復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)模公式，即可求解

石W2+i_(2+i)(l-2i)_43.

【詳解】依題意有:

1+21(1+21)(1-21)55

故選：D

2.設(shè)集合A={x|log2X<l},B={X|X2-X-2<0},則品A=()

A.(-oo,2)B.(-1,OJC.(-1,2)D.(-1,0)

【答案】B

【分析】解對(duì)數(shù)不等式化簡集合A,解一元二次不等式化簡集合8,根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算可得結(jié)果.

【詳解】，?,集合4={x|k>g2X<l}={x[0<x<2},B=-x-2<o}={x|-l<x<2},

^A={x|-1<x<0},

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)與二次不等式的求解以及集合的補(bǔ)集運(yùn)算.屬于基礎(chǔ)題.

3.已知p:x>l,則p是4的()

x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)解分式不等式的方法，結(jié)合充分不必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

1I1-rr-1

【詳解】—<1=>—1<0=>---<0=>--->Onx>1或x<0,

XXXX

顯然由P一定能推出q,但是由4不一定能推出P，

所以p是q的充分不必要條件，

故選：A

4.己知角e的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3,-7）,將角。的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)】后得到角夕，貝I」tan?=（）

4

5八5一22

A.-B.—C.-D.—

2255

【答案】A

【分析】運(yùn)用公式求得tan。的值，再運(yùn)用正切差角公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意知，"

4

又因?yàn)閠an^=-=,

x3

_2_i

所以tan夕=tan（6>—g）==3=|.

41+tan02

~3

故選：A.

5.某單位安排甲、乙、丙、丁四人去A、B、C三個(gè)勞動(dòng)教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)人去一個(gè)基

地，每個(gè)基地至少安排一個(gè)人，則乙被安排到A基地的排法總數(shù)為（）

A.6B.12C.18D.36

【答案】B

【分析】對(duì)A基地安排的人數(shù)進(jìn)行分類討論，利用分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】分以下兩種情況討論:

若A基地只安排乙一人，將其余3人分為2組，人數(shù)分別為2、1,

此時(shí)不同的排法種數(shù)為C；&=6種；

若A基地安排兩人，則需從甲、丙、丁中再選擇一人安排至A基地,

此時(shí)不同的排法種數(shù)為C；A；=6.

綜上所述，乙被安排到A基地的排法總數(shù)為6+6=12種.

故選：B.

6.己知拋物線￡>2=2P5>0）的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,過E上的一點(diǎn)A作/的垂線，垂足為B,

點(diǎn)c(p,o),"'與8c相交于點(diǎn)。.若|AF|=3儼。，且的面積為3TL則E的方程為()

A.y2=4xB.y2=4y/3x

C.y2=SxD./=8>/3x

【答案】C

【分析】設(shè)點(diǎn)根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線定義用p表示點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用三角形面積求

出P值作答.

【詳解】設(shè)點(diǎn)4%,%)，拋物線E：V=2px的焦點(diǎn)F(§0),準(zhǔn)線x=-g

由=3|FC|得：/=3(0-9，解得飛=p,不妨令點(diǎn)A在第一象限，則A(p,y/2p),ACVFC,

如圖，

因?yàn)锳B//FC,則晦|=圖=禺=3,即有點(diǎn)力到x軸距離力=」|AC|=母，

\DF\\FC\|FC|44

SACD=SACF-SDCF=^\AC\-\FC\-^\FC\-h=^^(y/2p-^-y/2p)=^!^=3y/2,解得P=4,

2222416

所以E的方程為y2=8x.

故選：c

n

7.已知等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，若q+2%=。，其=/且。代“4。+2,則實(shí)數(shù)a的取值

8

范圍是()

A.--,0B.一：,1C.—D.0,—

L2JL24J[42」12」

【答案】B

,、9

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,由q+2%=0,&=5,列方程求出4,4,進(jìn)而可求出S“，

8

結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出s“的最大、小值，列不等式組即可求出a的取值范圍

【詳解】解:設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

9

因?yàn)閝+2a2=0,S=-,

38

q(l+2q)=0

所以“2、9,解得=

a}(\+q+q^=-22

o

當(dāng)X為正整數(shù)且奇數(shù)時(shí)，函數(shù)y=(3)、+1單調(diào)遞減，

當(dāng)x為正整數(shù)且偶數(shù)時(shí)，函數(shù)y=-(g)，+1單調(diào)遞增,

33

所以3時(shí)，S“取得最大值5,當(dāng)T時(shí)，S“取得最小值“

所以4「解得-卜心].

,C、324

a+2>—

2

故選：B.

lnx+x,x>1

8.已知函數(shù)〃x)=\,m若g(x)=/(x)-m有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，”的取值范圍是()

2x-tnx+—,x<\

I2

A.B.(1,2]C.D.[1,3]

【答案】C

【分析】由題可知x>l時(shí)，函數(shù)g(x)=/(x)-機(jī)至多有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而可得X4時(shí)，要使得

g(x)=〃x)-m=2x2-/nr-5有兩個(gè)零點(diǎn)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.

【詳解】當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=lnx+x單調(diào)遞增且/(x)=lnx+x>l,此時(shí)g(x)=/(x)-機(jī)至多有一■個(gè)

零點(diǎn)，

若g(x)=〃x)-%有三個(gè)零點(diǎn),則XVI時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=lnx+x>l,故R>1；

當(dāng)xWl時(shí)，要使8(彳)=/(力-機(jī)=2/-g-3有兩個(gè)零點(diǎn)，

則1<1

2-m--->0

2

4

所以?！醇?又加>1,

所以實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是11卷.

故選：C.

二、多選題

9.微信運(yùn)動(dòng)是由騰訊開發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號(hào).用戶可以通過關(guān)注微信運(yùn)動(dòng)公眾號(hào)查

看自己每天行走的步數(shù)，同時(shí)也可以和其他用戶進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的PK或點(diǎn)贊，某學(xué)校為了解學(xué)生每周行

走的步數(shù)，從高一、高二兩個(gè)年級(jí)分別隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，得到高一和高二學(xué)生每周行走步數(shù)

的頻率分布直方圖，如圖所示.

若高一和高二學(xué)生每周行走步數(shù)的中位數(shù)分別為不，巧，平均數(shù)分別為X，丫2,則()

A.X)>x2B.<x2

C.弘>必D.

【答案】BD

【分析】分別求出滿意度評(píng)分中位數(shù)分別為平均數(shù)分別為.即可比較大小.

【詳解】由頻率分布直方圖，(0.015+0.02)x10=0.35,(0.015+0.02+0.025)x10=0.6,

(0.005+0.02)x10=0.25,(0.005+0.02+0.035)x10=0.6

則4w[60,70],x2e[70,80],進(jìn)行數(shù)據(jù)分析可得：

(%-60)x0.025+0.15+0.2=0.5,解得司=66,

(電一70)x0.035+0.05+0.2=0.5,解得%=早=77；

所以滿意度評(píng)分中位數(shù)玉<*2,故B正確，

y,=45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.2+85x0.1+95x0.1=67,

%=55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=77.5,

所以滿意度評(píng)分平均數(shù)%,故D正確，

故選：BD.

10.長方體A8C?！?旦。1。中，AB=3,BC=2,BB]=1,則()

A.A到平面AB。的距離為,

B.A到平面AB。的距離為々

C.沿長方體的表面從A到G的最短距離為3亞

D.沿長方體的表面從A到G的最短距離為2不

【答案】AC

【分析】利用體積相等求出點(diǎn)A到平面AtBD的距離即可判斷選項(xiàng)A和B；求A點(diǎn)到G的最短距離,

由兩點(diǎn)之間直線段最短，想到需要把長方體剪開再展開，把A到G的最短距離轉(zhuǎn)化為求三角形的邊

長問題，根據(jù)實(shí)際圖形，應(yīng)該有三種展法，展開后利用勾股定理求出每一種情況中AG的長度，比

較三個(gè)值的大小后即可得到結(jié)論，進(jìn)而判斷C和D.

【詳解】如圖，連接AQ，O8，AB,因?yàn)锳H=3,BC=2,

所以A4=Jl+32J1+2?=由,BD=722+32=V13?

在「A"。中，由余弦定理可得：cos"A0="燮8-J

2A.DA.B2x

所以sinZBAtD=Jl-cos?NBAQ=J1--=速，

又S?=gARAO=gx2x3=3,

設(shè)點(diǎn)A到平面\BD的距離為h,由體積相等可得：

=

^-ABD匕-A/￡>,即]SARDXAA^=-S48O*h.

所以gx3xl=gx?,解得：/?='，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

長方體ABCD-AEGR的表面可能有三種不同的方法展開，如圖所示：

AB=3,BC=2,BB[=1,

表面展開后，依第一個(gè)圖形展開，則AC=J（l+2）2+32=3&;

依第二個(gè)圖形展開，則A0=7（3+2）2+12=V26;

依第三個(gè)圖形展開，則AQ=J（3+l>+22=2石;

三者比較得：A點(diǎn)沿長方形表面到C1的最短距離為3亞，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤,

故選：AC.

11.下列不等式成立的是（）

si

A.2"'<log2(sinl)

20224+120225+1

----;——<----;——D.log3<log5

20223+120224+146

【答案】BCD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較即可；對(duì)于選項(xiàng)B,構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用函數(shù)

的單調(diào)性比較即可；對(duì)于選項(xiàng)C,作差后運(yùn)用基本不等式判斷；對(duì)于選項(xiàng)D,尋找中介值比較即可.

5kd

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?<sin]<l,所以1=2°<2=2,log2（sin1）<log,1=0,

所以2加>log2（sinl）,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)〃x)=W，則于逮二審,

又因?yàn)閒<x)>0=0<工<e,f\x)<0=>x>e,

所以/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,位)上單調(diào)遞減,

In兀Ine1

所以/(兀)</(e),即:---<—=—

nee

又因?yàn)?松,所以￥</做選項(xiàng)B正確;

20224+12022s+1(20224+1)2-(20223+1)(20225+1)2x20224-(20223+2022$)

對(duì)于選項(xiàng)C,

20223+1-20224+1-(20223+1)(20224+1)(20223+1)(20224+1)

35354s

因?yàn)?022+2022>2>/2022x2022=2x2022>所以2x20224-(20223+2022)<0,

4545

2022+12022+1?HFI2022+12022+1,,*幣「工儂

所以<0,即：----,—<----—.故選項(xiàng)C正確;

20223+120224+120223+12022:4+1

44-4

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)?5<4&=(4§)s，所以3<心，所以Iog43<bg445=w，

44-4

又因?yàn)?5>6'=(625，所以5>6.，所以Iog65>bg665=g，所以log65>log&3.故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

12.已知函數(shù)/(x)=sin2"x+cos"xkN2,keN*),則下列說法正確的是()

A.f(x)的最小正周期為式B.的圖象關(guān)于直線1=芋SIT對(duì)稱

C.f(x)在上單調(diào)遞增D.7(x)的值域?yàn)?g),1

【答案】BCD

【分析】計(jì)算/(x+])=f(x)是否成立可判斷A項(xiàng)，運(yùn)用周期性計(jì)算f(X+苧=/(T+苧)是否成

立即可判斷B項(xiàng)，對(duì)于C項(xiàng)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷/(X)在(；,力上的符號(hào)即可，對(duì)于D項(xiàng)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研

究fix)在一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)性進(jìn)而可求得值域.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?(%+^)=sin2A(x+-^)+cos2A(x+^)=cos2Ax+sin2Ax=/(x),

所以兀不是/(x)的最小正周期，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

7T

對(duì)于B項(xiàng)，由A項(xiàng)知，f(x)的一個(gè)周期為三,

又因?yàn)閒(x+弓)=/(x)=sin"x+cos2tx,

/(-x+^)=/(-x)=sin"(-x)+cos"(-x)=sin"x+cos"x,

所以〃x+券)=/(-x+拳，

所以八幻關(guān)于X=式對(duì)稱，故B項(xiàng)正確;

2

對(duì)于C項(xiàng)，由題意知，

/'（X）=2Zsin"T尤?cosx+24cos21x-（-sinx）=2A:sinxcosx（sin2A-2x-cos2A~2x）,

2-22A22-2

當(dāng)xe（H）時(shí)，sinx>cosx>0,則sir^fx>cos*元>0,即：sin_x-cos*x>0,所以f'M>0,

42

所以/（X）在（：7T,j第r上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)正確；

42

對(duì)于D項(xiàng)，由A項(xiàng)知，的一個(gè)周期為

2

由C項(xiàng)知，/\x）=2Z:sinxcosx（sin2A-2x-cos2A~2x）,

jr

當(dāng)x￡（0,：）時(shí),0vsinxvcosx,則cos2*-2x>sin2*-2x>0,即：sin2*-2x-cos2*-2x<0，所以尸（x）<0,

4

jr

所以/（外在（0,二）上單調(diào)遞減，

4

又因?yàn)閒（（）=sin2*（+cos2*：=（?產(chǎn)+（2產(chǎn)=（；）*-',/（0）=1,/（1）=1,

所以f（X）a=l，/。濡=（；產(chǎn)，

所以/（X）的值域?yàn)閇§）1,1],故D項(xiàng)正確.

故選：BCD.

三、填空題

13.若向量a=（|，1）,人=（3陽，且°，°共線，則"52"+〃）=.

【答案】-13

【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得出女=2,然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

3

【詳解】因?yàn)镼,b共線，所以9攵=3,解得：k=2,

2

3

所以。一人=（一2，—1）,2〃+/?=（6,4）,

所以（q_Z?）（2a+人）=_]x6+（_l）x4=_13,

故答案為：—13.

14.請(qǐng)寫出與曲線〃x）=sinx在（0,0）處具有相同切線的另一個(gè)函數(shù)：.

【答案】y=V+x（答案不唯一）

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在（0,0）處的切線斜率，由此可得切線方程；若兩曲線在原點(diǎn)處

具有相同切線，只需滿足過點(diǎn)（。,0）且在x=0處的導(dǎo)數(shù)值y'=i即可，由此可得曲線方程.

【詳解】y=sinx的導(dǎo)函數(shù)為y'=cosx,又丫=$山》過原點(diǎn)，

??.y=sinx在原點(diǎn)（0,0）處的切線斜率％=cosO=l,

??.y=sinx在原點(diǎn)（0,0）處的切線方程為廣》；

所求曲線只需滿足過點(diǎn)（0,0）且在X=（）處的導(dǎo)數(shù)值y'=i即可，如y=x、x,

y'=3x2+\,又y=x'+x過原點(diǎn)，

.?.丫=/+彳在原點(diǎn)處的切線斜率2=1,

y=丁+X在原點(diǎn)（0,0）處的切線方程為y=X.

故答案為:y=v+x（答案不唯一）.

15.如圖，已知橢圓C：工+亡=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,3,點(diǎn)P是直線x=-8上的一點(diǎn)，直線

1612

尸8交C于另外一點(diǎn)記直線力，AM的斜率分別為K，k2,則尢&=

9

【答案】一:

4

【分析】設(shè)尸（一81），由斜率公式可得=2,設(shè)必（X。,幾），則有日+超=1,由匕&&=-[,可

316124

得他=-力9

【詳解】A（T,0）,5（4,0）,設(shè)P（-8/）,

則4=若4=[，直線P8的斜率%=記=-"?.

°V/—0-41ZJ

設(shè)必（知打），則有五+區(qū)=1,

%

由％2=3,

%+4

4

所以牛=-?,故秘2=_%

9

故答案為：一二

16.如圖，在三棱錐尸一/WC中，出1.平面ABC,ZACB=90°,PA=CA=CB=2,若3,E分別為

棱雙，A8的中點(diǎn)，過C,D,E三點(diǎn)的平面截三棱錐尸一ABC的外接球，則截面的面積為.

7兀

【答案】y

【分析】將三棱錐放入到一個(gè)正方體中，則三棱錐的外接球即為該正方體的外接球，利用正方體的

棱長求出外接球半徑，用向量法求球心到截面距離，幾何法求截面面積.

【詳解】由%_1_平面ABC,ZACB=90°,%=CA=CB=2,

將三棱錐P—ABC放入到一個(gè)正方體中（如圖），則三棱錐P—ABC的外接球即為該正方體的外接球,

該外接球的球心為正方體的中心0（體對(duì)角線的中點(diǎn)），

因?yàn)镻A=C4=CB=2,所以外接球的半徑/?=行，

以C為原點(diǎn)，C4,C8,CC；的方向?yàn)閤軸，V軸，z軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

C（0,0,0）,0（2,0,1）,￡（1,1,0）,0（1,1,1）,

CD=（2,0,1）,CE=（1,1,0）,CO=（1,1,1）,

設(shè)平面CUE的一個(gè)法向量”=（x,y,z）,

,令x=1,y=-l,z=-2,則”,

n?CE=x+y=0

故答案為：—

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三垂直的四面體的外接球問題，把該四面體補(bǔ)充成正方體或者長方體.

四、解答題

17.已知5“為等差數(shù)列｛〃,,｝的前”項(xiàng)和，?4=9,邑=15.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若勿=一^,也｝的前〃項(xiàng)和為（，證明：Tn<\.

【答案】⑴%=2〃+1；

（2）詳見解析.

【分析】（1）設(shè)數(shù)列伍“｝的公差為d,將已知條件轉(zhuǎn)化為4/關(guān)系，即可求解；

（2）根據(jù)｛2｝通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消法求出和即可證明結(jié)論.

%+3d=9

【詳解】（1）由設(shè)數(shù)列伍“｝的公差為d,則

3。］+3d=15

解得d=2,4=3,

所以｛《,｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,

所以=2〃+1；

(2)由?！?2”+1,可得〃=----------------=—(------------)

(2〃+1)(2〃+3)22〃+12/14-3

所以7>4+4++a=,（H）+（S）++（￡-余）

=1(1_!)=1_1

232/7+364”+6

又>0,故

4〃+66

18.已知..ABC的內(nèi)角A,氏C的對(duì)邊分別為〃也c,8為鈍角.若4BC的面積為S,且

4bS=a^b2+c2-a2y

⑴證明：B=y+A；

(2)求sinA+sinC的最大值.

【答案】（1）證明見解析

9

2)8-

【分析】（1）利用余弦定理及面積公式將條件變形得8sA=sinB,再利用誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的性

質(zhì)可證明結(jié)論;

（2）利用（1）的結(jié)論及三角公式，將sinA+sinC轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosB的二次函數(shù)，然后配方可以求最

值.

,222

【詳解】(l)由余弦定理COSA=L^———^2hccosA=h2+e2-a2

2bc

%=2"cosAixLcsinB,

aa2

cosA=sinB,

cosA=cosI1,

B為鈍角，則A,■均為銳角,

7171

?..B——=A,即8=—+A；

22

(2)sinA+sinC=sin-])+sin[3+3-]71)=-cosB-cos2B=-2cos2B-cosB+1,

2

令8sB=r,B為鈍角,則fe(T,0),

sinA+sinC——2廠一r+1=—2(tH—|H—，

I4j8

1i9

當(dāng)/=-二，即cos8=-二時(shí)，sinA+sinC取最大值，且為大

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，/A8與BBC都為等邊三角形，平面皿，平面ABC,M,0

分別為Q4,A8的中點(diǎn)，且尸Oc5M=G,N在棱BC上,且滿足BN=2NC,連接GN.

⑴求證：GN//平面PAC；

(2)求直線PN與平面BGN所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

,..3x^90

130

【分析】(1)連接CM,利用三角形重心定理結(jié)合已知證得GN〃CM,再利用線面平行的判定推理

作答.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦作答.

【詳解】(1)在三棱錐P-ABC中，M,。分別為K4,A8的中點(diǎn)，則G是的重心，而的V=2NC,

則用必=3=3C'連接CM,如圖，GN//CM,而G/vE平面PAC,CMu平面PAC,

所以GN//平面PAC.

(2)因?yàn)?的與，43。都為等邊三角形，則OPLA民OCLA3,又平面平面ABC,有

NPOC=9。,

即。PLOC,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，射線0coe。。分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

令A(yù)8=6,則。(36,0,0),8(0,3,0),P(0,0,36),N(2石,1,0),G(0,0,G),

PN=(26,1,—36),BG=(0,-3,0BN=Q瓜-2,0),

n-BG=—3y+y/3z=0廠

設(shè)平面BGN的一個(gè)法向量〃=(x,y,z),則《廠,令x=l,得〃=(1,后3),

n-BN=2y/3x-2y=0

令直線PN與平面8GN所成的角為凡則

?AI7DA八Il〃.PN|128x1+1x6-36x3137390

sin0=|cos<n,PN)\=-----------=------------―-----------------=----------,

\n\\PN\V13x25/10130

所以直線PN與平面5GN所成角的正弦值是巨畫.

130

20.受社會(huì)對(duì)高素質(zhì)人才不斷擴(kuò)大的需求和就業(yè)形勢等多方面因素的影響，我國本科畢業(yè)生中考研

人數(shù)在不斷攀升，2021年考研人數(shù)是377萬人，2022年考研人數(shù)為457萬人，比上年增加80萬人，

有關(guān)機(jī)構(gòu)估計(jì)2023年研究生報(bào)名人數(shù)將突破500萬人.某省統(tǒng)計(jì)了該省五所大學(xué)2022年的本(專)

科大學(xué)畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格:

4大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)。大學(xué)E大學(xué)

2022年畢業(yè)人數(shù)x（千人）3

2022年考研人數(shù)y（千人）

（1）已知y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程j=bx+a；

（2）假設(shè)該省對(duì)選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放0.6萬元的補(bǔ)貼.若A大學(xué)的2022年的畢業(yè)生中小常;小

郭選擇考研的概率分別為P、3。-1,該省對(duì)小常、小郭兩人的考研補(bǔ)貼總金額的期望不超過0.96

萬元，求p的取值范圍.

X（x,-x）（y,.-y）^x^-rix-y

參考公式：b=-...........=號(hào)----------，a^y-bx.

/=!i=]

【答案】⑴20065/-0.005

-113-

⑵b狗

【分析】（1）根據(jù)回歸方程的公式計(jì)算即可得答案：

（2）設(shè)小常、小郭兩人中選擇考研的人數(shù)為x,補(bǔ)貼為y萬元，則y=（）.6x，進(jìn)而計(jì)算其數(shù)學(xué)期望,

解不等式即可得答案.

7.8+6.2+4.6+3.4+3=

【詳解】（1）解：由題意得了=--------------------=5,

5

_0.5+0.4+0.3+0.2+0.2.

y=---------------------------=0.32,

5

又Ex<y>=7.8X0.5+6.2X0.4+4.6x0.3+3.4x0.2+3x0.2=9.04,

;=1

5

ZX；=7.82+6.22+4.62+3.42+3)=⑷，

i=l

55

所以元?9=9.04-5x5x0.32=1.04，-5x2=141-5x52=16,

/=1i=l

x

L^-^-y104

所以---------=當(dāng)=0.065,

ZxfI。

/=1

所以&=》一%=().32—O.()65x5=-<).(X)5，

故得y關(guān)于x的線性回歸方程為9=0.065x-0.005.

（2）解：設(shè)小常、小郭兩人中選擇考研的人數(shù)為X,則X的可能值為0、1、2,

P（X=0）=（l-p）（2-3p）=3/72-5p+2,

P（X=l）=（l-p）（3p-l）4-p（2-3p）=-6p2+6p-l,

P（X=2）=p（3p-l）=3p2-p,

所以￡”）=0/（3/-50+2）+（-6/+62_1卜1+（322-0卜2=4/7-1.

設(shè)補(bǔ)貼為y萬元，則y=o.6x,

所以E（y）=E（0.6X）=0.6￡（X）=0.6（4/?-l）<0.96,

所以P喘13，

又因?yàn)閒0八<p丁<1“,解得31“肓2,

113-

所以，p的取值范圍為.

21.已知雙曲線八「■—，=1（a>0力>0）,A，4為「的左、右頂點(diǎn)，P近,當(dāng)）為「上一點(diǎn),

PA的斜率與P4的斜率之積為!.過點(diǎn)A（3,o）且不垂直于X軸的直線/與r交于M,N兩點(diǎn).

⑴求「的方程；

（2）若點(diǎn)E,尸為直線x=3上關(guān)于x軸對(duì)稱的不重合兩點(diǎn)，證明：直線ME,NF的交點(diǎn)在定直線上.

【答案】⑴三-丁=1；

4

（2）詳見解析.

【分析】（I）由題可知4（-。，0），4（4,0）,根據(jù)條件列出方程組，進(jìn)而即得；

（2）設(shè)直線MN的方程為*=。+3,/*0,聯(lián)立雙曲線方程求得％+必，%丫2,再由直線ME和NF的

方程，求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】（1）由題意得A（一40），4（。，0），又尸正，牛為「上一點(diǎn)，PA的斜率與尸&的斜率之積

為卜

所以｛6石解得cr=4,/?2=1,

TxT=i

、幣+a\J1-a4

所以雙曲線廠的標(biāo)準(zhǔn)方程為《-丁=1

4-

（2）設(shè)直線MN的方程為x="+3,f#0,

x=ty+3

由，X2,，可得任一4卜2+6)+5=0,則

「-=1

JnO,A=(6f)2-20(r2-4)>0,

設(shè)A/（X]，X）,N?,%），石（3,加），F(xiàn)（3,-/w）,mwO,

6t5

所以y+%=-落才加過才

y.-m/力+機(jī)/

直線/材E：y-=^—(%-3),l.y=^—(x-3),

WX1-JNF+/?/X-,-J

聯(lián)立兩方程，可得：

、6tm

乃十加%+加X-m

2m=y-"7(x-3)=（一）=嚷2一）=3-3），

（占一3Xj—3

t2-4

4

解得x=；

當(dāng)直線MN與x軸重合時(shí)，則”（-2,（））,N（2,0）,

1ME：＞=；（x+2）,心：y=-m（x-2）,聯(lián)立可得彳=[,

4

綜上，直線ME與NF的交點(diǎn)在定直線x=]上.

22.己知f（x）=e*.

（1）求證：當(dāng)工＞0時(shí)，〃R）＞1+X+5；

⑵若不等式/（x）N2xlnx+g+l,（其中mwR）恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（-oo,r],求證:

23

t＞—.

20

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析.

【分析】（1）^/7（X）=/（A：）-l-X-y=eV-l-