福建省2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2023年秋九年級數(shù)學(xué)期中核心素養(yǎng)質(zhì)量監(jiān)測

（滿分：150分；時間：120分鐘）

班級姓名分?jǐn)?shù)

一、選擇題（本大題共10小題,共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列計算正確的是（）

?

A.78=2B.Vn=-3

C.26+36=56D.(V2+1)2=3

,,m3…加+〃/、

2.若一二—,則---的值為（）

n7n

10734

A.B.—C.D.

7107

3.下列事件中，是隨機事件的是（）

A.在一副撲克牌中抽出一張，抽出的牌是黑桃6

B.在一個只裝了紅球的袋子里，摸出一個白球

C.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，朝上一面的點數(shù)小于7

D.畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°

4.用配方法解方程2/-4彳一7=0,下列變形結(jié)果正確的是（）

A.（x-1）2=1B.（x-l）2=1C.（x—2）2=3D.=7

5.已知關(guān)于x的一元二次方程（加一2）尤2+23+m+3=0有實根，則m的取值范圍是（）

A.B.且〃2工0C.m<6D.加工6且相。2

6.已知lv〃<2,化簡J（l-+（12-〃）=（）

A.1B.3C.3-2。D.l-2p

7.如圖，一枚運載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點L距離6攵加，當(dāng)火箭到達(dá)A點時，雷達(dá)站測得

仰角為43°,則這枚火箭此時的高度乂為（）

6

A.6sin43°B.6cos43°C.-------D.6tan43°

tan43°

8.如圖，。是二ABC邊AB延長線上一點，添加一個條件后，仍不能使AACD-二43。的是（）

A.ZACB=ZDB.ZACD=ZABC

CDADACAD

0D.--------

ABAC

9.如圖，某小區(qū)計劃在一個長40米，寬30米的矩形場地ABC。上修建三條同樣寬的道路，使其中兩條與

AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草.若使每塊草坪面積都為168平方米，設(shè)道路的寬度為工米，則

可列方程為（）

A.（40-2x）（30-x）=168x6B.30x40-2x30x-40x=168x6

C.（30-2x）（40-x）=168D.（40-2x）（30-x）=168

10.如圖，四邊形ABC。中，AQJ.C。于點D，BC=2,A￡>=8，8=6,點石是AB的中點，連

接。E,則。E的最大值是（）

A.5B.472C.6D.572

二、填空題（本大題共6小題，共24分）

II.要使代數(shù)式讓2有意義，則x的取值范圍是.

x—3

12.福建省體育中考的抽考項目為：籃球繞桿運球、排球?qū)|球、足球繞桿運球.2025年泉州市體育中考的

抽考項目抽中“排球?qū)|球”的概率為.

13.已知夕、/?是方程f+2x—1=0的兩個實數(shù)根，則。2+3。+/的值為.

14.如圖，在4x4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1,頂點為格點，若/一ABC的項點均是格點，則

sinABAC的值是.

15.如圖，中，ZA=60°.點6為線段￡>E的中點，EF±AD,交AB于點C，若

AC=BC=3,則A￡>=.

16.若關(guān)于x的一元二次方程/+加+C=0有兩個不相等的實數(shù)根為，/（王</），且一1<%<0.

則下列說法正確的有.（將正確選項的序號填在橫線上）

①若%>0,則c<0；

②聞+同=-4c；

③若[X,_AJ=2,則|1_6+C|_|1+6+C|>2]4+2,b+c|—6；

44

④若—~~上=7,則82=_c.

三、解答題（本大題共9小題，共86分）

17.（8分）計算:Vi2+2tan45o-sin60o——

a）

18.（8分）解方程：Y+6X+2=0

19.（8分）定義：如果關(guān)于x的一元二次方程0?+公+。=0（。工0）有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一

個根大1,那么稱這樣的方程是“鄰根方程”.例如：一元二次方程式+元=0的兩個根是％=0，Z=-1,

則方程：工2+尤=0是"鄰根方程”.

（1）通過計算，判斷下列方程Y+X—2=0是否是“鄰根方程”

（2）已知關(guān)于x的一元二次方程/―（2—3）x—3人=0（2是常數(shù)）是“鄰根方程”，求k的值.

20.（8分）如圖，點。是一ABD邊AD上一點，且滿足NC8O=NA.

（1）證明：二BCD二ABD；

（2）若BC:AB=3:5,AC=16,求B。的長.

21.（8分）某景區(qū)在2022年春節(jié)長假期間，共接待游客達(dá)20萬人次，預(yù)計在2024年春節(jié)長假期間，將接

待游客達(dá)28.8萬人次.

（1）求該景區(qū)2022至2024年春節(jié)長假期間接待游客人次的年平均增長率；

（2）該景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗，在旅游旺季，若每杯定價25元，

則平均每天可銷售300杯，若每杯價格降低1元，則平均每天可多銷售30杯.2024年春節(jié)期間，店家決定進(jìn)

行降價促銷活動，則當(dāng)每杯售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均

每天6300元的利潤額？

22.（10分）某校為了了解九年級男生的體質(zhì)鍛煉情況，隨機抽取部分男生進(jìn)行1000米跑步測試，按照成績

分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級，其中良好的學(xué)生人數(shù)占抽取學(xué)生總數(shù)的40%,學(xué)校繪制了如下

不完整的統(tǒng)計圖：

（1）求被抽取的合格等級的學(xué)生人數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖；

（2）為了進(jìn)一步強化訓(xùn)練，學(xué)校決定每天組織九年級學(xué)生開展半小時跑操活動，并準(zhǔn)備從上述被抽取的成績

優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機選取1名擔(dān)任領(lǐng)隊，小明是被抽取的成績優(yōu)秀的一名男生，求小明被選中擔(dān)任領(lǐng)隊的概

率；

（3）學(xué)校即將舉行冬季1000米跑步比賽，預(yù)賽分為A,B,。三組進(jìn)行，選手由抽簽確定分組，求某班

甲、乙兩位選手在預(yù)賽中恰好分在同一組的概率是多少？請畫出樹狀圖或列表加以說明.

23.（10分）如圖，在中，^ACB=9Q°,^A<^B.

（1）在AB的延長線上，求作點。，使得，CBDACD（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，若AB=5,SABC=5,求tan/CDB的值.

24.（12分）如圖，在A8C中，ABAC=90°，AB=AC=*h，點、D，E是邊AB,AC的中點，連

接DE，DC,點M,N分別是OE和DC的中點，連接MN.

圖1圖2備用

（1）如圖1,MN與BD的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2,將..ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，連接BD，寫出MN和8。的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明

理由；

（3）在_4）￡的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B,D,￡三點共線時，根據(jù)以上結(jié)論求線段MN的長.

25.（14分）問題背景：

（1）如圖1,點E是AABC內(nèi)一點，且DEC,連接AD,BE，求證：-ADCBEC.

（2）如圖2,點。是線段A3垂直平分線上位于AB上方的一動點，..PCB是位于AB上方的等腰直角三角

形，且則，

pA

①一C二1（填一個合適的不等號）；

PC+CB

PA

②——的最大值為，此時/C84=

PB

問題組合與遷移：

（3）如圖3,AO是等腰&ABC底邊BC上的高，點E是A。上的一動點，PEC位于8。的上方，且

2PA

_ABC_PEC,若cosNABC=3,求二■的最小值.

5PB

圖1圖2圖3

2023年秋九年級數(shù)學(xué)期中核心素養(yǎng)質(zhì)量監(jiān)測卷參考答案

一.選擇題（共10小題，40分）

1.C2.A3.A4.B5.D6.A7.D8.C9.A10.C

二.填空題（共6小題，24分）

]/79

11.X2—2且X*312.-13.-114.土L15.-16.①③

352

16.【詳解】解：（1）<0,x2>0,

C八

/.x{x2=—=c<0,

a

故①正確；

v-1<Xj<0,Xj<x2,Q=l,

?Ib+y/b2-4c-bMb2-4c

???WI=一再二-----2--------'x2=----------2---------

當(dāng)尤2＞。時，

-b+\lb2-4c

|x2|=x2=

2

2

/.|xj4-|x2|=x2-xx=\jb-4c，

當(dāng)Z<0時,

b-y/b2-4c

2

「J石|+|x2|=—x2—X1=b,

故②錯誤；

??,一]<%<0,Xj<x2,|^2-x]\=2,

/.1<x2<2,

.,±±

X=2a=2>Q

:.b<Q>

當(dāng)x=-1時，y=l一人+c>。，

/.|1—Z74-c|=1—,

當(dāng)X=1時，y=l+Z?+cv。，

|1+/7+c|=—(1+/7+c),

當(dāng)x=2時，y=4+2Z?+c>0,

.,.|4+2Z?+d=4+2/?+c,

/.|l-Z?+c|-|l+Z?+c|=2+2c,2|4+2/?+c|-6=4Z?+2c+2,

,-2+2c>4b+2c+2，

/.|1—Z?+c|—|14-Z?+c|>2|44-2Z?+C|-6,

故③正確；

Xj+x2=-b,x[x2-c,

..A"|JC9=C,

「.x：+Xj—[(Xj+/)--2X[X)]~—=(b1—2c)~—2c~,

44

」十%—7

/.(Z?2-2C)2-2C2=7C2,

222

A(b-2c)-9c=0f

/.(b2-2c+3c)(b2-2c-3c)=0,

z.(b2+c)(b2-5c)=0,

.\b2=一。或。2=5。，

故④錯誤；

故答案為：①③；

三.解答題(共86分)

17.(8分)【詳解】/+2tan45°-sin60°—1g)=26+2-日—2=2百一日

18.（8分）【詳解】（1）解：X2+6X+2=0

/.tz=1,Z?=6,c=2,A=Z?2—4ac=36—8=28,

.-b±\jb2-4ac-6±2V7/

2a2

解得：Xj=—3+V?，=—3—y/l..............................8分

19.(8分)【詳解】(1)解：：+尤―2=(x—l)(x+2)

/.(x-l)(x+2)=0

x]=l,x2=-2

*.*1>—2，1—(—2)*1,

故該方程不是“鄰根方程”......................4分

(2)解：x?—伏—3)%—3Z=(x—4)(x+3)

/.(1-攵)(工+3)=0

**?%=k,XQ——3

由題意得：攵=一3+1或-3=2+1

解得：攵=一2或％=T....................8分

20.(8分)【詳解】(1)證明：在，BCD與.,43。中

NCBD=ZA，Z￡>=Z￡>，

:.ABCDaABD：..............4分

⑵解：ABD,

.BCCDBD

,?布一茄一茄’

即生=些=3

BDAD5

3

AD=-BDCD=—BD

35

又???？!￡>=AC+CD,且AC=16

/.80=15...............8分

21.（8分）【詳解】（1）解：設(shè)年平均增長率為x,

根據(jù)題意得：20（l+x『=28.8,

解得：％=0.2=20%,々=一2.2（不符合題意，舍去），

???年平均增長率為20%；................4分

（2）解：設(shè)當(dāng)每杯售價定為丁元時，店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額,

由題意得：（）—6）［300+30（25—＞）］=6300,

整理得：丁2-41），+420,

解得：y,=20,%=21,

???讓顧客獲得最大優(yōu)惠，

y=2（）,

當(dāng)每杯售價定為20元時，店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額................8分

22.（10分）【詳解】（1）解：合格等級的人數(shù)為16+40%—12—16—4=8,

；?小明被選中擔(dān)任領(lǐng)隊的概率為................6分

（3）解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下:

?.?共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲、乙兩人恰好在同一組的結(jié)果數(shù)為3,

31

...甲、乙兩人恰好分在同一組的概率是一=一.10分

93

23.（10分）【詳解】（1）利用尺規(guī)作圖

如圖，點。為所求.

依據(jù)：有作圖，ZDCB=ZA,

:NBDC=NCDA,

；FCBDACD；...............5分

（2）法一：

如圖，過點。作CMLAS于點M，過點6作BNLCO于點N.

,/AB-5,SABC^5,

:.-ABCM^5,

2

:.CM=2.

NBCM=90-ZCBA,ZA=90-NCBA,

:.ZBCM=ZA,

.,.tanZBCM=tanA,即竺^=,

CMAM

?_B_M_—___2___

"2~5-BM'

解得BAY=1，(8/0=5舍去)?

設(shè)BD=x,CD=y,

ZBCD=ZA,ZCDB=ZADC,

：.CBD^ZACD,

CDBD

"~AD~~CD'

:.CD?=BDAD,

/.y2=x(x+5),

在R"COM中，CD。=DM2+CM?,

：.y2=(x+l)2+22,

R.X(X+5)=(X+1)2+22,

解得x=

3

5R

：.DM=—+1=—，

33

CM2=3

tanZCDB==

~DM84.10分

3

法二:

如圖，過點。作。“，回于點用，取AB的中點。，連接OC.

AB=5,SABC=5,

:.-ABCM=5,

2

:.CM=2.

??-NBCM=90-NCBA,ZA=90-NCBA,

:.ZBCM=ZA,

tanZBCM=tanA,即史^=,

CMAM

,_B_M_______2___

"2~5-BM'

解得=1,(3"=5舍去).

?.zABC是直角三角形，AO=BO,

OC=-AB=OA=OB=-,

22

ZACO=ZA,

?;/BCD=NA,

：.ZACO=ZBCD,

ZACO+ZOCB=90,

ZBCD+ZOCB=90,

即SCO=90.

ZCDB+ZCOD=90,

.40cM+ZCOD=90,

；.NCDB=NOCM,

53

OM=OB-BM=一一1=-,

22

3

OM53

tanNCDB=tanZOCM==/=2

CM24

24（12分）【詳解】（1）解：?.?點O,E是邊AB，AC的中點,

：.CE=-AC,BD=-AB,

22

AB=AC=4yli，

CE=BD，

???點M,N分別是￡>￡；和。。的中點，

.?.MN是二。CE的中位線，

:.MN=LCE,

2

：.MN=-BD,

2

故答案：MN=-BD...........................2分

2

（2）解：MN=-BD,理由如下：

2

如圖，連接EC，

由（1）同理可得：AD=AE，

由旋轉(zhuǎn)得：ZBAC=ZZM￡=90°,

：.ZDAB+ZBAE=ZEAC+ZBAE,

：.ZDAB=ZEAC,

在八和_E4C中

AD=AE

<NDAB=ZE4C,

AB=AC

：.AABD=,.ACE(SAS),

BD=CE,

?.?點M,N分別是DE和。C的中點，

:.MN=-CE,

2

：.MN=-BD.......................6分

2

(3)解：①如圖，當(dāng)點E在線段3。上時，過點A作AP，3Z)于點P

?1.ZAPD=90°.

ZBAC=90°，A5=AC=40，

:.ZABC=ZACB=45°，

在(1)中：；點￡),E是邊AB，AC的中點,

：.DE//BC,AD=，AB=2及

2

ZADE=ZAED=ZABC=45°,

VZZME=90°,AD=AE，

:.PD=PA，

：.PD2+PA1=AD1,

：.2PD2=(2可，

:.PD=2,

在Rt_ADB中,

PB=yAB?-AP?

=#何—2,=2不,

:.BD=BP+PD=2&+2;

MN^-BD=y/l+l9分

2

②如圖，當(dāng)點。在線段跳:上時，過點A作AQ_L3E于點°,

在&_ADQ中，ZAQD=90°,ZWE=45°,

AD=-AB=2y/2,

2

由①同理可求42=。。=2,

在必AQB中，ZAQB=90°,

AB=4^2?A。=2,

/.BQ=y/AB2-AQ2=J（40）?-22=2s

BD=BQ-DQ=23-2；

MN=-BD=y/l-1.

2

綜上所述，MN=J7+1或J7-1..