2023年考研數(shù)學一真題

2023年全國碩士碩士入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題

一、選擇題：1~8小題，每題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一種選

項是符合題目要求的

1-cosVx

(1)若函數(shù)/0)=—晟-'">"在x=0處連續(xù)，則

b,x<0

(Nab==(B)ab=--(C)a0=0(D)"=2

22

(2)設函數(shù)f(x)可導，且/(x)/'(x)>0則

(A)〃l)>/(—l)(B)/(l)</(-l)

(C)|/(l)|>|/(-l)|(D)|/(l)|<|/(-l)|

(3)函數(shù)/(乂％2)=/丁+22在點(1,2,0)處沿向量〃(1,2,2)的方向導數(shù)為()

(A)12(B)6(C)4(D)2

(4)甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位:m)處，如下圖中，實線表達甲的

速度曲線u=匕(/)(單位:m/s)虛線表達乙的速度曲線v=%(。，三塊陰影部分面積的數(shù)

值依次為10,20,3,計時開始后乙追上甲的時刻記為2(單位:s)，則

(A)r0=10(B)15<Z0<20(C”o=25(D)r0>25

v(/n/s)

1020

051015202530?s)

(5)設a為n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則

(A)不可逆(B)E+aa，不可逆

(C)不可逆(D)E-不可逆

2002101p00

(6)已知矩陣4=021B=020C=02o，則

1J[o0

001002

(A)A與C相同，B與C相同

(B)A與C相同，B與C不相同

(C)A與C不相同，B與C相同

(D)A與C不相同，B與C不相同

(7)設A,8為隨機事件，若0<P(A)<1,0<P(B)<1則P(A⑻〉P(A網(wǎng)的充分必要

條件是()

A.P(B|A)>P(咽BP(B|A)〈尸(咽

c.P(B|A)>P(B|A)D.P(B|A)<P(B|A)

_1〃

(8)設X1,X,......X?(n>2)來自總體Ng)的簡樸隨機樣本，記》=一ZX,

〃i=l

則下列結論中不正確的是：

(A)2(乂-〃)2服從服分布

(B)2(X“-X)2服從/分布

(C)又/服從/分布

;=|

(D)〃(又-〃)2服從/分布

二、填空題：9~14小題，每題4分，共24分。

(9)已知函數(shù)"x'-i+v則r"(°)=

(10)微分方程/+2/+3y=()的通解為y=

(11)若曲線積分J警U亭在區(qū)域D={(x,y)\x2+/<1}內(nèi)與途徑無關，則a=_

LX+)'T

(12)鬲級數(shù)￡(—1)〃T在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù)S(x)=

n=\

-ior

(13)設矩陣4=112,為線性無關的3維列向量組，則向量組

011

一.,4。2,4。3的秩為

(14)設隨機變量X的分布函數(shù)為/(x)=0.5①(x)+0.5①J，其中①(X)為原則正

態(tài)分布函數(shù)，則EX=

三、解答題：15~23小題，共94分。解答應寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)節(jié)。

(15)(本題滿分10分)

設函數(shù)/(〃,可具有2階連續(xù)偏導數(shù)，丁=/卜、8..),求華，白

標x=0曲1=0

(16)(本題滿分10分)

(17)(本題滿分10分)

已知函數(shù)y(x)由方程d+y3—3x+3y—2=0擬定,求y(x)得極值

(18)(本題滿分10分)

/(X)在[0,1]上具有2階導數(shù)，/(1)>0,lim<0

證(1)方程/(幻=0在區(qū)間(0,1)至少存在一種根

(2)方程/(x)+/"(x)+[/'(x"=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在兩個不同的實根

(19)(本題滿分10分)

設薄片型物體S是圓錐面Z=Jf+9被柱面2?=2%割下的有限部分，其上任一點

弧度為u(x,y,z)=9y]x2+y2+z2。記圓錐與柱面的交線為C

(1)求。在xOy平面上的投影曲線的方程

(2)求S的質(zhì)量”

(20)(本題滿分11分)

三階行列式A=(',%,。3)有3個不同的特征值，且％=+2a2

(1)證明r(A)=2

(2)假如￡=q+%+?,求方程組Ax^h的通解

(21)(本題滿分11分)

設/(為丹,%；；)=2x：-石+*+2中2-8百毛+2々毛在正交變換x=Qy下的原則型為

4弁+4￡求。的值及一種正交矩陣Q.

(22)(本題滿分11分)

設隨機變量XY互獨立，且X的概率分布為P{X=0}=P{X=2}=g,Y概率密度為

[2y,0<y<l

小)=3,其他

⑴求P{ywEY}(2)求2=乂+丫的概率密度

(23)(本題滿分11分)

某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做n次測量，該物體的質(zhì)量〃是

已知的,設n次測量成果玉,々，