湖南省多校2023-2024學年高一下學期3月大聯考數學試題

2024年上學期高一3月大聯考數學本試卷共4頁，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前.考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解絕對值不等式求出集合，再根據交集的定義計算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故選：C.2.已知向量，且，則正數（）A. B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由可得，即可求解.【詳解】由得，解得或，因為為正數，所以.故選：.3.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據對數函數的性質及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由可知或，則無法判斷是否成立，故充分性不成立；當，時滿足，但是、均無意義，即不成立，故必要性成立；因此“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D4.已知平面向量，則在上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，再利用投影向量的定義即可求得在上的投影向量的坐標.【詳解】在上投影向量的坐標為.故選：B5.將向量繞坐標原點逆時針旋轉得到，則（）A.8 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】首先求出，即可得到且，再根據數量積的運算律及定義計算可得.【詳解】因為，所以且，所以.故選：B.6.已知的面積為，則（）A.13 B.14 C.17 D.15【答案】C【解析】【分析】先根據三角形的面積公式求出，再利用余弦定理即可得解.【詳解】的面積，所以，由余弦定理得，因此.故選：C7.某次軍事演習中，炮臺向北偏東方向發(fā)射炮彈，炮臺向北偏西方向發(fā)射炮彈，兩炮臺均命中外的同一目標，則兩炮臺在東西方向上的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意先求得之間在南北方向上的距離，繼而可求得兩炮臺在東西方向上的距離.【詳解】法一：由題意得，在北偏西方向上，之間在南北方向上的距離為，則在東西方向上的距離為，其中，因此，法二：過炮臺點作東西方向的水平線交正北方向分別為點，則由圖知.故選：A.8.已知函數和的定義域均為，若滿足，且與圖象的交點為，，，，則（）A.必為奇數，且B.必為偶數，且C.必為奇數，且D.必為偶數，且【答案】A【解析】【分析】由已知可求函數的對稱中心，結合函數的對稱性即可求解.【詳解】由題意可得，且，因此與的圖象都關于點對稱，即，若，則必有，因此必為奇數，且，因此可知.故選：.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯得0分.9.在中，，則下列說法正確的是（）A.若，則符合條件的有且只有1個B.若，則符合條件的有且只有2個C.若，則符合條件的有且只有2個D.若，則不存在這樣的【答案】ABD【解析】【分析】本題考查三角形解的個數問題，可以用兩種方法解決，第一種畫圓的方法，根據圓與射線的交點個數確定解的個數，第二種方法，由余弦定理得關于的方程，代入的值，根據方程解的個數判斷三角形個數.【詳解】（解法一）：以為圓心，長為半徑畫圓，記為圓.如圖，時，圓恰與相切，故符合條件的有且只有1個，A正確；如圖，當時，圓與射線有兩個交點，故符合條件的有且只有2個，B正確；時，圓與射線有兩個交點，但其中一個交點為點本身，因此符合條件的有且只有1個，C錯誤；時，圓與無交點，故不存在這樣的，D正確.故選：ABD.（解法二）：設內角的對邊分別為，由余弦定理得，即.時，，則有且僅有一個解，故A正確；時，，解得，故B正確；時，，解得（舍去），，故C錯誤；時，，該方程無解，故D正確.故選：ABD.10.已知函數的最小正周期為，則（）A.B.在上單調遞增C.的圖象的對稱中心為D.是奇函數【答案】BD【解析】【分析】由正切函數最小正周期為，即可判斷；由，即可判斷；由正切函數的對稱中心即可求的對稱中心，判斷；首先求的解析式，再由函數的奇偶性定義即可判斷.【詳解】，，故錯誤；故，當時，，單調遞增，故正確；令，，則，，所以對稱中心為，故錯誤；設函數，，，即，，所以函數的定義域為，所以定義域關于原點對稱，且，故是奇函數，故正確.故選：.11.向量積在數學和物理中發(fā)揮著重要作用.定義向量與的向量積的模，則下列說法正確的是（）A.B.若為非零向量，且，則C.若的面積為，則D.若，則的最小值為3【答案】AC【解析】【分析】根據題意，結合新定義向量與的向量積的模，三角形的面積公式和向量的運算法則，逐項判定，即可求解.【詳解】由定義向量與的向量積的模，對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，可得，即，解得或，所以B錯誤；對于C中，由，因此，所以C正確；對于D中，由，可得，所以，因為，可得，所以，可得，則，當且僅當時，等號成立，所以，所以D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若非零向量，滿足，則_________.【答案】##【解析】【分析】對給定式子進行換元，結合向量數量積的幾何意義求解即可.【詳解】令，可得，，，則.故答案為：13.在平面直角坐標系中，向量，，正六邊形的頂點位于坐標原點，，若，則__________，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】設點為正六邊形的中心，連接，，，根據題意可知，進而用向量，表示，即可求解.【詳解】設點為正六邊形的中心，連接，，，由題意得，為直角三角形，，因為，所以，所以，又，因此，即，.故答案為：；.14.設函數，在中，，則周長的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】由，化簡得到，再利用正弦定理和輔助角公式，得到，即可求解.【詳解】由函數，因為，可得，整理得，即，即，因為，可得，所以，且，由正弦定理，得，當且僅當時取等，因此周長的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先計算出向量，，再根據向量平行列出方程求解即可.（2）先根據與的夾角為銳角得出，且夾角不為，再分別求出和夾角不為時的取值范圍即可.【小問1詳解】因為所以，.又因為，所以，解得【小問2詳解】因，所以.因為與的夾角為銳角，所以，且夾角不為.當時，，解得；當與的夾角為時，，解得，故與的夾角不為時，；綜上可得：的取值范圍是.16.在中，分別是上的點，且與相交于點.（1）用表示；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，，求出，表達出；（2）根據題意求解，求出的最大值，進而求出的最大值.【小問1詳解】設，，因此解得，因此.【小問2詳解】由（1）得，，因此，又因為，因此，由，當時，最大為，因此的最大值為.17.在銳角中，內角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若是邊上一點（不包括端點），且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，利用正弦定理和三角形的內角和定理，化簡得到，進而求得，即可求解.（2）不妨設，在中，利用正弦定理，化簡得到，根據題意，結合正切函數的性質，即可求解.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得，又因為，可得，所以，又由，可得，所以，所以，解得或（舍去），因為，所以.【小問2詳解】解：不妨設，則，在中，可得，因為是銳角三角形，所以且，則，所以，可得，所以，所以.18.已知函數為奇函數.（1）求；（2）若，求滿足不等式的最大整數.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據函數為奇函數的定義可得結果，（2）利用導數求出的單調性，根據單調性解不等式可得結果.【小問1詳解】因為函數為奇函數，所以，即，所以，化簡得：解得，經檢驗均符合題意，所以【小問2詳解】依題意有，即，因此當時，；當時，，所以，又，所以，因此滿足不等式，因為，所以在上單調遞減，因此，即，解得，即.因為，因此滿足不等式的最大