高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019必修二）專題10.1隨機(jī)事件與概率（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專題10.1隨機(jī)事件與概率（重難點(diǎn)題型精講）1．有限樣本空間(1)隨機(jī)試驗(yàn)

我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：

①試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；

③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.

(2)有限樣本空間

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間.

一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn).如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有n個可能結(jié)果，，，，則稱樣本空間={，，，}為有限樣本空間.2．事件(1)隨機(jī)事件

一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個隨機(jī)事件都可以用這個試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.

(2)必然事件

A作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件.

(3)不可能事件

空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件.3．事件的關(guān)系和運(yùn)算(1)兩個事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號表示圖形表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生并事件（和事件）A與B至少一個發(fā)生或交事件（積事件）A與B同時發(fā)生或互斥（互不相容）A與B不能同時發(fā)生互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生，(2)多個事件的和事件、積事件

類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.對于多個事件A，B，C，，A∪B∪C∪(或A+B+C+)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，中至少一個發(fā)生，A∩B∩C∩(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，同時發(fā)生.4．樣本空間中樣本點(diǎn)的求法(1)列舉法

列舉法也稱枚舉法.對于一些情境比較簡單，樣本點(diǎn)個數(shù)不是很多的概率問題，計(jì)算時只需一一列舉，即可得出隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn).注意列舉時必須按一定順序，做到不重不漏.

(2)列表法

對于樣本點(diǎn)個數(shù)不是太多的情況，可以采用列表法.通常把對問題的思考分析歸結(jié)為“有序?qū)崝?shù)對”，以便更直接地得到樣本點(diǎn)個數(shù).列表法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確、全面、不易遺漏，其中最常用的方法是坐標(biāo)系法.(3)樹狀圖法

樹狀圖法適用于按順序排列的較復(fù)雜問題中樣本點(diǎn)個數(shù)的求解，是一種常用的方法.5．用集合觀點(diǎn)看事件間的關(guān)系符號概率角度集合角度必然事件全集不可能事件空集試驗(yàn)的可能結(jié)果中的元素事件的子集的對立事件的補(bǔ)集事件A包含于事件B集合A是集合B的子集事件A等于事件B集合A等于集合B或事件A與事件B的并（和）事件集合A與B的并集或事件A與事件B的交（積）事件集合A與B的交集事件A與事件B互斥集合A與B的交集為空集，且事件A與事件B對立集合A與B互為補(bǔ)集6．古典概型(1)事件的概率

對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.

(2)古典概型的定義

我們將具有以下兩個特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個；

②等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

(3)古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)

一個試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個特點(diǎn)：有限性和等可能性.并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型.

下列三類試驗(yàn)都不是古典概型：

①樣本點(diǎn)(基本事件)個數(shù)有限，但非等可能;

②樣本點(diǎn)(基本事件)個數(shù)無限，但等可能；

③樣本點(diǎn)(基本事件)個數(shù)無限，也不等可能.7．古典概型的概率計(jì)算公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間A包含n個樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分別表示事件A和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個數(shù).8．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意的事件A，都有P（A）≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（）=1，P()=0.性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）.推廣：如果事件A1，A2，…，Am．兩兩互斥，那么事件發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）=1P（A），P(A)=1P(B).性質(zhì)5如果，那么P（A）≤P（B）.性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，我們有P（）=P（A）＋P（B）P（）.【題型1事件的分類】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件的定義，進(jìn)行求解即可.【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（

）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100°C，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長和寬分別為a,b的矩形，其面積為ab【變式11】（2023·高一課時練習(xí)）下列四個事件：①明天上海的天氣有時有雨；②東邊日出西邊日落；③雞蛋里挑骨頭；④守株待兔．其中必然事件有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式12】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列事件中，是隨機(jī)事件的是（

）①經(jīng)過有交通信號燈的路口，剛好是紅燈；②投擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)之和為14；③拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，字朝上；④13個人中至少有2個人的生日在同一個月.A．①③ B．③④ C．①④ D．②③【變式13】（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（

）A．事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件B．事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是必然事件D．事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件【題型2事件與樣本空間】【方法點(diǎn)撥】求試驗(yàn)的樣本空間主要是通過觀察、分析、模擬試驗(yàn)，列舉出各個樣本點(diǎn).對于樣本點(diǎn)個數(shù)的計(jì)算，要保證列舉出的試驗(yàn)結(jié)果不重不漏.寫樣本空間時應(yīng)注意兩大問題：一是抽取的方式是否為不放回抽?。欢窃囼?yàn)結(jié)果是否與順序有關(guān).【例2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）一個家庭有兩個小孩，則樣本空間為（

）A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}【變式21】（2022秋·廣東佛山·高二階段練習(xí)）體育彩票搖獎時，將10個質(zhì)地和大小完全相同，分別標(biāo)有號碼0，1，2，…，9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個球．記“搖到的球的號碼小于6”為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式22】（2022·高一課時練習(xí)）先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此試驗(yàn)的樣本空間為（

）A．正面，反面B．｛正面，反面｝C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝【變式23】（2022·高二課時練習(xí)）在試驗(yàn)：連續(xù)射擊一個目標(biāo)10次，觀察命中的次數(shù)中，事件A=“至少命中6次”，則下列說法正確的是A．樣本空間中共有10個樣本點(diǎn)B．事件A中有6個樣本點(diǎn)C．樣本點(diǎn)6在事件A內(nèi)D．事件A中包含樣本點(diǎn)11【題型3事件的關(guān)系及運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)事件之間的關(guān)系，結(jié)合具體問題，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.進(jìn)行事件的運(yùn)算時，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)算用Venn圖分析事件.【例3】（2022秋·上海徐匯·高二期末）設(shè)M，N為兩個隨機(jī)事件，如果M，N為互斥事件，那么（

）A．M∪N是必然事件 B．C．M與N一定為互斥事件 D．M與N一定不為互斥事件【變式31】（2022·全國·高一專題練習(xí)）拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（

）A．A?B B．A=BC．A∪B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3 D．A∩B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3【變式32】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，那么互斥不對立的兩個事件是（

）A．恰有1名女生與恰有2名女生 B．至多有1名女生與全是男生C．至多有1名男生與全是男生 D．至少有1名女生與至多有1名男生【變式33】（2022·高一單元測試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)A={2名全是男生}，B={2名全是女生}，C={恰有一名男生}，D={至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（

）A．A?D B．B∩D=? C．A∪C=D D．A∪B=B∪D【題型4古典概型的判斷及其概率的求解】【方法點(diǎn)撥】第一步，閱讀題目，判斷試驗(yàn)是否是古典概型；第二步，計(jì)算樣本空間中的樣本點(diǎn)個數(shù)n；第三步，計(jì)算所求事件A包含的樣本點(diǎn)個數(shù)k；第四步，計(jì)算所求事件A的概率，.【例4】（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）為培養(yǎng)學(xué)生“愛讀書?讀好書?普讀書”的良好習(xí)慣，某校創(chuàng)建了人文社科類?文學(xué)類?自然科學(xué)類三個讀書社團(tuán)．甲?乙兩位同學(xué)各自參加其中一個社團(tuán)，每位同學(xué)參加各個社團(tuán)的可能性相同，則這兩位同學(xué)恰好參加同一個社團(tuán)的概率為（

）A．13 B．12 C．23【變式41】（2023·吉林通化·模擬預(yù)測）隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5”的概率記為p1”，“向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”的概率記為p2，“向上的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”的概率記為p3A．p1<p2<p3 B．【變式42】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)用紅色和藍(lán)色給這4個三角形區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（

）A．18 B．14 C．13【變式43】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有6個大小相同?質(zhì)地均勻的小球，球上標(biāo)有數(shù)字1，3，3，4，5，6.從這6個小球中隨機(jī)取出兩個球，如果已經(jīng)知道取出的球中有數(shù)字3.則所取出的兩個小球上數(shù)字都是3的概率為（

）A．15 B．16 C．19【題型5概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體問題，準(zhǔn)確表示事件，分析事件之間的關(guān)系，結(jié)合概率的基本性質(zhì)，計(jì)算概率.【例5】（2023春·安徽·高一開學(xué)考試）若事件A,B為兩個互斥事件，且PA>0,PB①P②P③P④PA．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【變式51】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，則P(A+B)=（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8【變式52】（2022·高一課時練習(xí)）若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且PA=2?a，PB=4a?5，則實(shí)數(shù)A．54,2 B．54,32【變式53】（2023·全國·高一專題練習(xí)）袋子中有5個質(zhì)地完全相同的球，其中2個白球，3個是紅球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個球，記A=第一次摸到紅球”，B=“第二次摸到紅球”，則以下說法正確的是（

）A．P(A)+P(B)=P(A∩B) B．P(A)?P(B)=P(A∪B)C．P(A)=P(B) D．P(A∪B)+P(A∩B)<1【題型6古典概型與其他知識的綜合】【方法點(diǎn)撥】對于古典概型與其他知識的綜合問題，解題的關(guān)鍵是求出所求事件包含的樣本點(diǎn)的個數(shù).找出滿足條件的情況，從而確定樣本點(diǎn)的個數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可.【例6】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習(xí)）今年5月底，中央開始鼓勵“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，地?cái)傇谌珖榈亻_花．某地政府組織調(diào)研本地地?cái)偨?jīng)濟(jì)，隨機(jī)選取100名地?cái)倲傊髁私馑麄兠吭碌氖杖肭闆r，并按收入（單位：千元）將攤主分成六個組5,10，10,15，15,20，20,25，25,30，30,35，得到下面收入頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中t的值，并估計(jì)每月每名地?cái)倲傊魇杖氲谋姅?shù)和中位數(shù)（單位：千元）；(2)已知從收入在10,20的地?cái)倲傊髦杏梅謱映闃映槿?人，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人收入都來自15,20的概率．【變式61】（2022秋·上海松江·高二期末）全世界人們越來越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問題，某監(jiān)測站點(diǎn)于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：空氣質(zhì)量指數(shù)(μg/0,5050,100100,150150,200200,250空氣質(zhì)量等級空氣優(yōu)空氣良輕度污染中度污染重度污染天數(shù)2040m105(1)根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖；(2)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于50,100和150,200監(jiān)測數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取5天，再從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.【變式62】（2023秋·遼寧鐵嶺·高一期末）公司檢測一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，共計(jì)1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值統(tǒng)計(jì)如下所示.(1)求a的值以及這批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值x以及方差s2(2)若按照分層抽樣的方法在質(zhì)量指標(biāo)值為185,205的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件，再從這5件中任取3件，求至少有2件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)在1