專題01 線性回歸方程(原卷版)

專題1線性回歸方程例1.蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率％（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫J（單位：。C）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測人員根據(jù)如表的觀測數(shù)據(jù)，建立了J關(guān)于％的線性回歸方程B=0.25土+，則當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫56次時，該地當(dāng)時的氣溫預(yù)報值為（ ）%（次數(shù)/分鐘）k2030405060J(°C)2527.52932.536A.33（ B.34°C C35°C D.35.5°C例2．已知下列說法：①對于線性回歸方程j=3-5%，變量%增加一個單位時，金平均增加5個單位；②在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)R2越接近于1,則模型回歸效果越好；③兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1；④互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件；⑤演繹推理是從特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段論”.TOC\o"1-5"\h\z其中說法錯誤的個數(shù)為（ ）A．1 B．2 C．3 D．4. 八 八例3.變量％,j之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：若％,j之間的線性回歸方程為J=b%+12.28，則b的值為（ ）%4567J8.27.86.65.4A.-0.92 B.-0.94 C-0.96 D.-0.98例4.我國5G技術(shù)研發(fā)試驗(yàn)在2016-2018年進(jìn)行，分為5G關(guān)鍵技術(shù)試驗(yàn)、5G技術(shù)方案驗(yàn)證和5G系統(tǒng)驗(yàn)證三個階段實(shí)施.2020年初以來，5G技術(shù)在我國已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計了近5個月來5G手機(jī)的實(shí)際銷量，如表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號%12345銷量j/部5096a185227若y與％線性相關(guān)，且求得線性回歸方程為j=45%+5，則下列說法正確的是( )a=142y與％正相關(guān)y與％的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)12月份該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為365部例5.已知％與y之間的一組數(shù)據(jù)：%0123ym35.57已求得關(guān)于y與％的線性回歸方程y=2.3%+0.85，則m的值為一.例6.邢臺市物價部門對市區(qū)的天一城、北國商城、恒大城、家樂園、中北世紀(jì)城5家商場的某件商品在7月15號一天銷售量及其價格進(jìn)行調(diào)查，5家商場的售價％元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：價格%8.59m1111.5銷售量y12n675已知銷售量y與價格％之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是y=-3.2%+40，且m+n=20，則其中的m=.例7.已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)：%%%???%yyiy2???y8TOC\o"1-5"\h\z用最小二乘法得到其線性回歸方程為y=-2%+4，若數(shù)據(jù)％,%，…，％的平均數(shù)為1,則￡y=—.1 2 8 ii=1例8.垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物,由于排出量大,成分復(fù)雜多樣,且具有污染性,所以需要無害化、減量化處理.某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)(%,y)(i=1,2,……，20),其中%和y分別表示第i個縣城的人口(單位：萬人)和該縣ii ii年垃圾產(chǎn)生總量(單位：噸)，并計算得￡% =80,￡y =4000,￡(% -%)2 =80,￡(y -y)2=8000 ,ii i ii=1 i=1 i=1 i=1￡(%-%)(y-y)=7000.iii=1(1)請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與%之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合;(2)求y關(guān)于%的線性回歸方程;(3)某科研機(jī)構(gòu)研發(fā)了兩款垃圾處理機(jī)器,如表是以往兩款垃圾處理機(jī)器的使用年限(整年)統(tǒng)計表：

使用年限臺數(shù)款式1年2年3年4年5年甲款520151050乙款152010550某環(huán)保機(jī)構(gòu)若考慮購買其中一款垃圾處理器，以使用年限的頻率估計概率．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)估計，該機(jī)構(gòu)選擇購買哪一款垃圾處理機(jī)器，才能使用更長久？參考公式：相關(guān)系數(shù)r=工(x-x)(y一歹參考公式：相關(guān)系數(shù)r=TOC\o"1-5"\h\zZ(x-X)Z(y-y)2

i ii=1 i=1對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(X,y)(i=1,2,……,n),其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最ii一x)(y一y)ii小二乘估計分別為：b=i=i ，a=y-bx.Z(x-x)2ii=1例9．近年來,高鐵的發(fā)展逐漸改變了人們的出行方式,我國2015一2019年高鐵運(yùn)營里程的數(shù)據(jù)如表所示．年份20152016201720182019年份代碼x12345高鐵運(yùn)營里程y(萬千米)1.92.22.52.93.5(I)求y關(guān)于x的線性回歸方程;(II)每一年與前一年的高鐵運(yùn)營里程之差即為該年新增的里程，若用2016~2019年每年新增里程的頻率代替之后每年新增相應(yīng)里程的概率,求2023年中國高鐵運(yùn)營里程大于或等于5萬千米的概率．附：線性回歸方程y附：線性回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=Z-x^xy一nxyii 八-P—-i=i ,a=y-bx.Zx2X2—nx2ii=1例10.某地區(qū)2013年至2019年居民純收入y(單位：千元)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示:年份2013201420152016201720182019年份代號t1234567人均純收入3.94.34.65.45.82018和2019年的居民純收入y（單位：千元）數(shù)據(jù)采用隨機(jī)抽樣的方式獲得，用樣本的均值來代替當(dāng)年的居民人均純收入，其數(shù)據(jù)如下：2018年抽取的居民純收入（單位：千元）數(shù)據(jù)：5.24.86.55.66.07.16.17.35.97.52019年抽取的居民純收入（單位：千元）數(shù)據(jù)：6.27.86.65.87.16.87.27.95.97.7（I）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（II）當(dāng)?shù)卣疄榱颂岣呔用袷杖胨?，現(xiàn)從2018和2019年居民純收入（單位：千元）高于7.0千元的樣本中隨機(jī)選擇3人進(jìn)行座談，了解其工作行業(yè)及主要收入來源.設(shè)X為選出的3人中2018年純收入高于7.0千元的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.Z（t-T）2（y-y）附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：b=一-——，a=y-bt.Z（t-T）2ii=1—>例11．為了緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實(shí)施車牌競價策略，以控制車輛數(shù)量．某地車牌競價的基本規(guī)則是：①“盲拍”，即所有參與競拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報價，每個人不知曉其他人的報價，也不知道參與當(dāng)期競拍的總?cè)藬?shù)；②競價時間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期車牌配額，按照競拍人的出價從高到低分配名額.某人擬參加2020年12月份的車牌競拍，他為了預(yù)測最低成交價，根據(jù)競拍網(wǎng)站的公告．統(tǒng)計了最近5個月參與競拍的人數(shù)（見表）:月份2020.072020.082020.092020.102020.11月份編號t12345競拍人數(shù)y（萬人）0.50.611.41.7（1）由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)1可用線性回歸模型擬合競拍人數(shù)y（萬人）與月份編號t之間的相關(guān)關(guān)系.請/X用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程：y=b+a,并預(yù)測2020年12月份參與競拍的人數(shù).（2）某市場調(diào)研機(jī)構(gòu)對200位擬參加2020年12月份車牌競拍人員的報價價格進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如下的一份頻數(shù)表：報價區(qū)間（萬[1，2)[2，3)[3，4)[4，5)[5，6)[6，7]

元）頻數(shù)206060302010（i）求這200為競拍人員報價X的平均數(shù)值%和樣本方差s2（同一區(qū)間的報價可用該價格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（ii）假設(shè)所有參與競價人員的報價X可視為服從正態(tài)分布元）頻數(shù)206060302010（i）求這200為競拍人員報價X的平均數(shù)值%和樣本方差s2（同一區(qū)間的報價可用該價格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（ii）假設(shè)所有參與競價人員的報價X可視為服從正態(tài)分布N⑴,。2）,且口與。2可分別由（i）中所求的樣本平均數(shù)元及s2估值.若2020年12月份實(shí)際發(fā)放車牌數(shù)量是3174,請你合理預(yù)測（需說明理由）競拍的最低成交價．￡ —乙％y-%y參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程y=b%+a，其中b=1=1 n%2X2-n%2ii=1八 一 1一a=y-b%；②32=55,￡ii=1i=1③若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(N,o2),則UP⑴-。<Z<n+g)=0.6826,P(日-20VZ<^+2o)=0.9544,P⑴一30VZ<日+%)=0.9974.④方差S2=1￡(%-%)2nii=1ii=1例12．某醫(yī)療專家組為了研究新冠肺炎病毒在特定環(huán)境下一周內(nèi)隨時間變化的繁殖情況,得到如下的實(shí)驗(yàn)天數(shù)（（天）1234567繁殖個數(shù)y（千個）1123446數(shù)據(jù)：（1）由如表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，求y關(guān)于t的線性回歸方程;（II）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5,則該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：回歸方程y=bt+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=￡(t-~i)(y-y)i i 八一"-i=1 ,a=y-bt.￡(t-t)2ii=1例13．在線教育的發(fā)展,有利于彌補(bǔ)鄉(xiāng)村教育短板,為我國各地區(qū)教育均衡發(fā)展提供了條件.2019年《政府工作報告》明確提出發(fā)展“互聯(lián)網(wǎng)+教育”促進(jìn)優(yōu)質(zhì)資源共享.下面是2015-2019年我國在線教育網(wǎng)絡(luò)使用率的統(tǒng)計表：

年份t20152016201720182019使用率y（%）1618.820.124.327.2其散點(diǎn)圖如圖：設(shè)日期代碼％=t-2017.（I）求y關(guān)于X的線性回歸方程;（II）根據(jù)線性回歸方程，預(yù)測2025年我國在線教育網(wǎng)絡(luò)使用率約達(dá)到多少?Z(XZ(X-X)(y-y) ^Lxy-nxy附：回歸直線y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公式：b=Eii0 y-X2-2-nX2ii=1ii=1例14.學(xué)校食堂統(tǒng)計了最近5天到餐廳就餐的人數(shù)X（百人）與食堂向食材公司購買所需食材（原材料）的數(shù)量y（袋），得到如下統(tǒng)計表:第一天第二天第三天第四天第五天就餐人數(shù)X（百人）13981012原材料y（袋）3223182428/X（1）根據(jù)所給的5組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于X的線性回歸方程y=y=bX+a；（2）已知購買食材的費(fèi)用C（元）與數(shù)量y（袋）的關(guān)系為cJ400y-20,0<y：36（XGN），投入使用的每1380y,y36（yeN）袋食材相應(yīng)的銷售單價為700元，多余的食材必須無償退還食材公司，據(jù)悉下周