9.5 三角形的中位線 蘇科版數(shù)學(xué)八年級下冊素養(yǎng)綜合檢測(含解析)

第9章中心對稱圖形——平行四邊形9.5三角形的中位線基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1三角形中位線定理1.【新獨家原創(chuàng)】如圖,△ABC中,點D、E分別是邊AB、AC的中點,點F、G分別是AD、AE的中點,BC=8,則FG的長為()A.1B.2C.3D.42.【一題多變】如圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E為CD邊的中點,P為AB邊上的一動點(含端點),F為CP的中點,則EF長度的最大值為.

[變式1·變結(jié)論]如上圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E為CD邊的中點,P為AB邊上的一動點(含端點),F為CP的中點,△CEF的周長的最小值為.

[變式2·變動點P的位置]如圖,在Rt△ACD中,∠D=90°,AD=5,CD=12,點M是CD邊上一點,點P為AC邊上的動點,點E、F分別為DM、MP的中點,則EF長度的最小值是.

知識點2中點四邊形3.若順次連接四邊形ABCD各邊中點所得的四邊形是矩形,則四邊形ABCD需滿足的條件是()A.對角線相等B.對角線互相平分C.對角線互相垂直D.對角線相等且互相平分能力提升全練4.(2022河南中考,5,★☆☆)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E為CD的中點.若OE=3,則菱形ABCD的周長為()A.6B.12C.24D.485.(2023江蘇南京外國語學(xué)校期中,5,★☆☆)如圖,點E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點,要使四邊形EFGH是菱形,那么可以添加的條件是()A.AC⊥BDB.AC=BDC.AB=CDD.AD=BC6.(2023四川瀘州中考,7,★★☆)如圖,?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,∠ADC的平分線與邊AB相交于點P,E是PD的中點,若AD=4,CD=6,則EO的長為()A.1B.2C.3D.47.(2022湖北宜昌中考,15,★☆☆)如圖,在矩形ABCD中,E是邊AD上一點,F,G分別是BE,CE的中點,連接AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,FG=5,則矩形ABCD的面積為.

8.(2023江蘇宿遷懷文中學(xué)月考,17,★☆☆)如圖所示,在四邊形ABCD中,對角線AC⊥BD,垂足為O,點E,F,G,H分別為邊AD,AB,BC,CD的中點.若AC=8,BD=6,則四邊形EFGH的面積為.

9.(2022江蘇南京江寧期末,22,★★☆)如圖,△ABC的BC邊上的中線AF與中位線DE相交于點O.(1)求證:AF與DE互相平分;(2)當(dāng)△ABC滿足時,四邊形ADFE是正方形?

素養(yǎng)探究全練10.【推理能力】(2023山東東營中考)(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察:如圖①,在四邊形ABCD中,AD=BC,P是對角線BD的中點,M是AB的中點,N是DC的中點.求證:∠PMN=∠PNM.(2)用數(shù)學(xué)的思維思考:如圖②,延長圖①中的線段AD交MN的延長線于點E,延長線段BC交MN的延長線于點F.求證:∠AEM=∠F.(3)用數(shù)學(xué)的語言表達:如圖③,在△ABC中,AC<AB,點D在AC上,AD=BC,M是AB的中點,N是DC的中點,連接MN并延長,與BC的延長線交于點G,連接GD.若∠ANM=60°,試判斷△CGD的形狀,并進行證明.圖①圖②圖③

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.B∵點D、E分別是AB、AC的中點,∴DE是△ABC的中位線,∴DE=12∵點F、G分別是AD、AE的中點,∴FG是△ADE的中位線,∴FG=12故選B.2.答案13解析如圖所示,連接DP,∵E為CD的中點,F為CP的中點,∴EF為△CDP的中位線,∴EF=12DP,當(dāng)PD的長度取得最大值時,EF的長度也取得最大值易知當(dāng)點P與點B重合時,PD最長,此時PD=BD=32+2∴EF長度的最大值為132,故答案為13[變式1]答案4解析∵E為CD的中點,∴CE=1.5,∵四邊形ABCD為矩形,∴CD=AB=3,連接DP,∵E為CD的中點,F為CP的中點,∴EF為△CDP的中位線,CF=12CP,∴EF=1∴△CEF的周長=CE+EF+CF=1.5+12∴當(dāng)DP+CP的值最小時,△CEF的周長最小.如圖,延長DA至點G,使得AG=AD=2,連接CG,交AB于點P,此時DP+CP的值最小,DP+CP=PG+CP=CG,在Rt△DGC中,DG=DA+AG=4,CD=3,根據(jù)勾股定理,得CG=5,∴DP+CP的最小值為5,故△CEF周長的最小值為1.5+2.5=4.故答案為4.[變式2]答案30解析連接DP(圖略),∵點E、F分別為DM、MP的中點,∴EF=12DP,∴當(dāng)DP最短時,EF最短,易知當(dāng)DP⊥AC時,DP最短在Rt△ACD中,AD=5,CD=12,∴AC=52∵S△ACD=12×5×12=12×13×DP,∴DP=6013,∴EF長度的最小值=30133.CA.順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形,故此選項錯誤;B.順次連接對角線互相平分的四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形,故此選項錯誤;C.順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形是矩形,故此選項正確;D.順次連接對角線相等且互相平分的四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形,故此選項錯誤,故選C.能力提升全練4.C∵四邊形ABCD為菱形,∴BO=DO,AB=BC=CD=DA,∵OE=3,且點E為CD的中點,∴OE是△BCD的中位線,∴BC=2OE=6,∴菱形ABCD的周長為4BC=4×6=24.故選C.5.C∵點E、F、G、H分別為AD、BD、BC、CA的中點,∴EF=GH=12AB,EH=FG=1∴四邊形EFGH是平行四邊形.∵當(dāng)EF=FG=GH=EH時,平行四邊形EFGH是菱形,∴當(dāng)AB=CD時,四邊形EFGH是菱形.故選C.6.A在平行四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=CD,OD=OB,∴∠CDP=∠APD,∵DP平分∠ADC,∴∠CDP=∠ADP,∴∠ADP=∠APD,∴AP=AD=4,∵CD=6,∴AB=6,∴PB=AB-AP=6-4=2,∵E是PD的中點,O是BD的中點,∴EO是△DPB的中位線,∴EO=12PB=1,故選7.答案48解析在矩形ABCD中,∠BAE=90°,∠CDE=90°,∵F,G分別是BE,CE的中點,∴FG是△BCE的中位線,∵FG=5,∴BC=2FG=10,在Rt△ABE中,F是BE的中點,∴AF是Rt△ABE斜邊上的中線,∴AF=EF=BF=3,∴BE=6,同理,CE=8,在△BEC中,BE=6,EC=8,BC=10,∴BE2+EC2=BC2,∴△BEC是直角三角形,且∠BEC=90°.過E作EH⊥BC于H,如圖所示.∴S矩形ABCD=BC·EH=2S△BEC=2×12BE·EC=6×8=48,故答案為8.答案12解析∵點E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、AB的中點,∴EF∥BD,且EF=12同理,HG∥BD,且HG=12BD=3,EH∥AC∥GF,且EH=GF=12AC=4,又∵AC⊥BD,∴EF⊥HE,∴四邊形EFGH是矩形,∴四邊形EFGH的面積=EF·EH=3×4=12.9.解析(1)證明:由題意知D、E、F分別為AB、AC、BC的中點,∴EF是△ABC的中位線,AD=BD=12AB,∴EF∥AB,EF=12AB=AD,∴四邊形DFEA是平行四邊形,∴AF與DE(2)當(dāng)△ABC滿足AB=AC,∠BAC=90°時,四邊形ADFE是正方形.理由如下:由(1)得四邊形ADFE是平行四邊形,∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,又∵AF是△ABC的BC邊上的中線,∴AF⊥BC,∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,∴AF⊥DE,∴平行四邊形ADFE是菱形.又∵∠BAC=90°,∴四邊形ADFE是正方形.素養(yǎng)探究全練10.解析(1)證明:∵P是BD的中點,M是AB的中點,∴PM=12AD,同理,PN=1∵AD=BC,∴PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.(2)證明:∵P是BD的中點,N是DC的中點,∴PN∥BC,∴∠PNM=∠F.同理,∠PMN=∠AEM.∵∠PMN=∠PNM,∴∠AEM=∠F.(3)△CGD是直角三角形.證明:如圖,取BD的中點P,連接PM,PN.∵M是AB的中點,P是BD的中點,∴PM∥AD,PM=12同理,PN∥BC,PN