2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)立體幾何綜合問(wèn)題

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)立體幾何綜合問(wèn)題

考點(diǎn)梳理考情回顧高考預(yù)測(cè)探究性問(wèn)

題2022全國(guó)乙卷

（文、理）第18題考查背景是平面圖形折疊成立體圖

形、考查形式包括存在、探究性問(wèn)

題.

（2022·全國(guó)乙卷）如圖，在四面體

A

－

BCD

中，

AD

⊥

CD

，

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

BDC

，

E

為

AC

的中點(diǎn).（1）

求證：平面

BED

⊥平面

ACD

；解：（1）

證明：因?yàn)?/p>

AD

＝

CD

，

E

為

AC

的中

點(diǎn)，所以

DE

⊥

AC

.

在△

ABD

和△

CBD

中，因

為

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

CDB

，

DB

＝

DB

，

所以△

ABD

≌△

CBD

.

所以

AB

＝

CB

.

又因?yàn)?/p>

E

為

AC

的中點(diǎn)，所以

BE

⊥

AC

.

因?yàn)?/p>

DE

?平面

BED

，

BE

?平面

BED

，

DE

∩

BE

＝

E

，所以

AC

⊥平面

BED

.

因?yàn)?/p>

AC

?平面

ACD

，所以平

面

BED

⊥平面

ACD

.

（2）

設(shè)

AB

＝

BD

＝2，∠

ACB

＝60°，點(diǎn)

F

在

BD

上，當(dāng)△

AFC

的面積

最小時(shí)，求

CF

與平面

ABD

所成的角的正弦值.

1.立體幾何中的折疊問(wèn)題，需要畫(huà)好折疊前后的平面圖形與立體圖形，

并抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：不變的線線關(guān)系、不變的數(shù)量關(guān)系.2.解決存在、探究性問(wèn)題，通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立，

然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理.3.立體幾何中的存在、探究性問(wèn)題主要有兩類：一類是探究線面的位置

關(guān)系；另一類是探究線面角或兩平面的夾角滿足特定要求時(shí)的問(wèn)題.處

理方法：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)（有些題中已給出），設(shè)出

關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從

而作出判斷.

熱點(diǎn)

立體幾何綜合問(wèn)題

（1）

求證：

AP

⊥

CM

；[思維導(dǎo)圖]

總結(jié)提煉

解決立體幾何中的折疊問(wèn)題，關(guān)鍵是搞清楚折疊前后圖形中線

線、線面位置關(guān)系和線線數(shù)量關(guān)系的變換情況.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1.（2023·蘇州二模）如圖①，在矩形

ABCD

中，

AB

＝2，

BC

＝1，

E

為

CD

的中點(diǎn)，

F

為線段

EC

上（端點(diǎn)

E

，

C

除外）的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

D

作

AF

的

垂線分別交

AF

，

AB

于

O

，

K

兩點(diǎn).如圖②，將△

DAF

折起，使得

DK

⊥

AB

.

（1）

求證：平面

ABD

⊥平面

ABC

；解：（1）

證明：因?yàn)?/p>

AF

⊥

OD

，

AF

⊥

OK

，

OD

?平面

ODK

，

OK

?

平面

ODK

，

OD

∩

OK

＝

O

，所以

AF

⊥平面

ODK

.

因?yàn)?/p>

DK

?平面

ODK

，所以

AF

⊥

DK

.

又因?yàn)?/p>

DK

⊥

AB

，

AB

?平面

ABC

，

AF

?平面

ABC

，

AB

∩

AF

＝

A

，所以

DK

⊥平面

ABC

.

因?yàn)?/p>

DK

?平面

ABD

，所

以平面

ABD

⊥平面

ABC

.

（2）

求直線

DF

與平面

ABC

所成角的最大值.解：（2）

如圖②，連接

FK

.

因?yàn)?/p>

DK

⊥平面

ABC

，所以直線

DF

與平

面

ABC

所成的角為∠

DFK

.

記∠

DFK

＝θ.在題圖①中，因?yàn)?/p>

DK

⊥

AF

，所以∠

DFA

＋∠

FDK

＝90°.又因?yàn)椤?/p>

FDA

＝∠

FDK

＋∠

ADK

＝

90°，所以∠

DFA

＝∠

ADK

.

又因?yàn)椤?/p>

FDA

＝∠

DAK

＝90°，所以△

FDA

∽△

DAK

.

（1）

求證：平面

PAD

⊥平面

ABCD

.

（2）

在棱

PC

上是否存在點(diǎn)

M

，使二面角

M

－

BQ

－

C

的大小為30°？

若存在，確定點(diǎn)

M

的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.[思維導(dǎo)圖]由幾何關(guān)系得

PQ

⊥

AD

，

PQ

⊥

BQ

→

PQ

⊥平面

ABCD

→

平面

PAD

⊥平

面

ABCD

利用兩平面的法向量夾角的余弦值列出方程并求解→

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]2.（2023·沈陽(yáng)三模）如圖，在三棱錐

P

－

ABC

中，

AC

＝

BC

＝2，∠

ACB

＝90°，

AP

＝

BP

＝

AB

，

PC

⊥

AC

，

D

為

BC

的中點(diǎn).（1）

求二面角

A

－

PD

－

B

的余弦值.解：（1）

因?yàn)?/p>

AC

＝

BC

，

PA

＝

PB

，

PC

＝

PC

，所以

△

PCA

≌△

PCB

.

所以∠

PCA

＝∠

PCB

.

因?yàn)?/p>

PC

⊥

AC

，所以∠

PCA

＝∠

PCB

＝90°.所以

PC

⊥

BC

.

又因?yàn)?/p>

∠

ACB

＝90°，所以

AC

⊥

BC

.

[典例設(shè)計(jì)]例3

（2022·汕頭模擬）如圖，

D

為圓錐的頂點(diǎn)，

O

是圓錐底面圓的圓

心，

AE

為底面圓的直徑，

AE

＝

AD

，△

ABC

是底面圓的內(nèi)接正三角

形，且

DO

＝6，

P

是線段

DO

上一點(diǎn).（1）

是否存在點(diǎn)

P

，使得

PA

⊥平面

PBC

？若存在，求出

PO

的值；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）

當(dāng)

PO

為何值時(shí)，直線

EP

與平面

PBC

所成的角的正弦值最大.[思維導(dǎo)圖]假設(shè)存在點(diǎn)

P

→由

PA

⊥平面

PBC

，得

PA

⊥

PB

→計(jì)算得

PO

的值建系設(shè)點(diǎn)→求直線

EP

的方向向量，平面

PBC

的法向量→計(jì)算求最大值