江蘇省無(wú)錫市凌霞實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

江蘇省無(wú)錫市凌霞實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，等式的左邊為（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

參考答案：C略2.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，它們的首項(xiàng)是一個(gè)相等的正數(shù)，且第3項(xiàng)也是相等的正數(shù)，則與的大小關(guān)系為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.箱子里放有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)小球，5個(gè)小球除編號(hào)外其他均相同，從中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，則摸到1號(hào)球的概率為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】首先根據(jù)題意，將試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的基本事件找出，之后將滿足條件的基本事件數(shù)出來(lái)，利用古典概型概率公式求得結(jié)果.【詳解】從中隨機(jī)摸出2個(gè)小球的方法有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共有10種，其中摸到1號(hào)球的方法有4種，所以所求概率為=,故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)古典概型的問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題目.4.如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個(gè)圓錐的體積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】作出該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，該小蟲爬行的最短路程為PP'，由余弦定理求出∠P′OP=．求出底面圓的半徑r，從而求出這個(gè)圓錐的高，由此能求出這個(gè)圓錐的體積．【解答】解：作出該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖所示：該小蟲爬行的最短路程為PP′，由余弦定理可得cos∠P′OP==﹣，∴．設(shè)底面圓的半徑為r，則有，解得r=．∴這個(gè)圓錐的高為h==，這個(gè)圓錐的體積為V====．故選：C．5.函數(shù)y=1+3x﹣x3有（）A．極小值﹣1，極大值3 B．極小值﹣2，極大值3C．極小值﹣1，極大值1 D．極小值﹣2，極大值2參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】利用導(dǎo)數(shù)工具去解決該函數(shù)極值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵要利用導(dǎo)數(shù)將原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間找出來(lái)，即可確定出在哪個(gè)點(diǎn)處取得極值，進(jìn)而得到答案．【解答】解：∵y=1+3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2，由y′=3﹣3x2＞0，得﹣1＜x＜1，由y′=3﹣3x2＜0，得x＜﹣1，或x＞1，∴函數(shù)y=1+3x﹣x3的增區(qū)間是（﹣1，1），減區(qū)間是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．∴函數(shù)y=1+3x﹣x3在x=﹣1處有極小值f（﹣1）=1﹣3﹣（﹣1）3=﹣1，函數(shù)y=1+3x﹣x3在x=1處有極大值f（1）=1+3﹣13=3．故選A．6.已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，}，則集合AB=（

）A．{x|x≥－4}

B.{x|x≥－1或x≤5}

C.{x|x≥－2}D.{x|x≥－4或x≤-10}參考答案：D略7.設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件：，則的最大值為（

）。

A.

B.68

C.

D.32參考答案：B略8.在正方體ABCD-A1B1C1D中，兩條面對(duì)角線A1D與AC所成角的大小等于

（

）A．450

B．600

C．900

D．1200參考答案：B略9.設(shè)a＞b，c＞d，則下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)﹣c＞b﹣d B．a(chǎn)c＞bd C． D．b+d＜a+c參考答案：D【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．【專題】計(jì)算題．【分析】本題是選擇題，可采用逐一檢驗(yàn)，利用特殊值法進(jìn)行檢驗(yàn)，很快問(wèn)題得以解決．【解答】解：∵a＞b，c＞d∴設(shè)a=1，b=﹣1，c=﹣2，d=﹣5選項(xiàng)A，1﹣（﹣2）＞﹣1﹣（﹣5），不成立選項(xiàng)B，1×（﹣2）＞（﹣1）×（﹣5），不成立取選項(xiàng)C，，不成立故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式，基本不等式在考綱中是C級(jí)要求，本題屬于基礎(chǔ)題．10.復(fù)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于（

）對(duì)稱A.原點(diǎn)

B.實(shí)軸

C.虛軸

D.直線參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若命題p：曲線﹣=1為雙曲線，命題q：函數(shù)f（x）=（4﹣a）x在R上是增函數(shù)，且p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，2]∪[3，6）【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】通過(guò)p∨q為真命題，p∧q為假命題，判斷兩個(gè)命題的真假關(guān)系，分別求出命題是真命題時(shí)a的范圍，即可求解結(jié)果．【解答】解：當(dāng)p為真命題時(shí)，（a﹣2）（6﹣a）＞0，解之得2＜a＜6．當(dāng)q為真命題時(shí)，4﹣a＞1，即a＜3．由p∨q為真命題，p∧q為假命題知p、q一真一假．當(dāng)p真q假時(shí)，3≤a＜6．當(dāng)p假q真時(shí)，a≤2．因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，2]∪[3，6）．故答案為：（﹣∞，2]∪[3，6）．12.拋物線的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A、B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為_(kāi)________________。參考答案：13.函數(shù)y＝xlnx的導(dǎo)數(shù)是＿＿＿＿＿。參考答案：lnx+1；略14.已知兩點(diǎn)M（－5，0）N（5，0），則滿足|PM|－|PN|＝6的P點(diǎn)的軌跡方程為

.參考答案：

（x＞0）略15.不等式x(|x|-1)(x+2)<0的解集為。參考答案：（-2，-1）∪（0，1）

解析：x(|x|-1)(x+2)<0

0<x<1或-2<x<-1∴原不等式解集為（-2，-1）∪（0，1）16.數(shù)列{an}中，a1=1，an=a1+a2+a3…+an﹣1，（n≥2，n∈N*），若ak=100，則k=．參考答案：200【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知數(shù)列遞推式可得an+1=a1+a2+a3…+an﹣1+，作差后即可得到（n≥2），再由已知求出a2，則數(shù)列在n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式可求，由ak=100求得k值．【解答】解：由an=a1+a2+a3…+an﹣1，（n≥2，n∈N*），得an+1=a1+a2+a3…+an﹣1+，兩式作差得：（n≥2），∴，∴（n≥2），由a1=1，an=a1+a2+a3…+an﹣1，得a2=a1=1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，，，由ak=100=，得k=200．故答案為：200．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查了作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．17.已知向量，若，則___________；若則____________。參考答案：，-6略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，底面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，于，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.（1）求出平面的一個(gè)法向量并證明平面；（2）求二面角的余弦值.參考答案：（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）.、、、……4分（2）由（1）得平面的法向量，平面的一個(gè)法向量為………12分設(shè)二面角的平面角為，則即二面角的余弦值為……………14分.

19.（本小題滿分14分）已知△的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）證明：△是等腰三角形；（2）求△外接圓的方程；（3）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且求直線的方程.參考答案：⑴因?yàn)?，，，所以，，所以，又，所以是等腰直角三角形，……………?分⑵由⑴可知，的圓心是的中點(diǎn)，所以，半徑為，所以的方程為．………………6分⑶因?yàn)閳A的半徑為，當(dāng)直線截圓的弦長(zhǎng)為時(shí)，圓心到直線的距離為．……………………8分①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，方程為，與圓心的距離為，滿足條件；10分②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，因?yàn)閳A心到直線的距離為，解得，此時(shí)直線的方程為．綜上可知，直線的方程為或．…………………14分20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求；(2)若不等式在x∈(－∞，1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：21.已知數(shù)列{an}滿足，.（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用定義得證.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分組求和法的到前項(xiàng)和.【詳解】解：（Ⅰ）由，可得，即，又，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的證明，分組求和法求前項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式和方法的靈活運(yùn)用.22.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：（I）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率；（II）“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CC：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（I）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)包含“甲猜對(duì)1個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)”，“甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)1個(gè)”，“甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)”三個(gè)基本事件，進(jìn)而可得答案；（II）由已知可得：“星隊(duì)”兩輪得分之和為X可能為：0，1，2，3，4，6，進(jìn)而得到X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（I）“星隊(duì)”