湖南省永州市九龍寺鄉(xiāng)中學2022-2023學年高二數(shù)學文下學期期末試卷含解析

湖南省永州市九龍寺鄉(xiāng)中學2022-2023學年高二數(shù)學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.給出下列四個命題：（1）

各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱（2）

若一個簡單多面體的各頂點都有三條棱，則其頂點數(shù)V，面數(shù)F滿足的關系式為2F-V=4（3）

若直線L⊥平面α，L∥平面β，則α⊥β（4）

命題“異面直線a,b不垂直，則過a的任一平面和b都不垂直”的否定，其中，正確的命題是

（

）

A、（2）（3）

B、（1）（4）

C、（1）（2）（3）

D、（2）（3）（4）參考答案：A2.條件P：，條件Q：，則是的（

）.A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A3.一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：（10，20］，2；（20，30］，3；（30，40］，4；（40，50］，5；（50，60］，4；（60，70），2，則樣本在（－∞，50）上的頻率為

（）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，e） D．（﹣∞，1）參考答案：A【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【分析】若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，則?x0∈（0，+∞），不等式a＜成立，令f（x）=，則a＜f（x）max，利用導數(shù)法，求出函數(shù)的最大值，可得答案．【解答】解：若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，則?x0∈（0，+∞），不等式a＜成立，令f（x）=，則a＜f（x）max，∵f′（x）=，則x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）=為增函數(shù)，x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）=為減函數(shù)，故x=e時，f（x）max=，故a的取值范圍是（﹣∞，）．故選：A．5.參考答案：B6.等比數(shù)列中，已知對任意自然數(shù)，，則等于()A．B．C．

D．參考答案：D略7.拋物線的焦點坐標為A.（0，2） B.（2，0） C.（0，4） D.（4，0）參考答案：A【分析】根據(jù)拋物線標準方程求得，從而得焦點坐標．【詳解】由題意，，∴焦點在軸正方向上，坐標為．故選A．【點睛】本題考查拋物線的標準方程，屬于基礎題．解題時要掌握拋物線四種標準方程形式．8.下圖是計算函數(shù)y＝的值的程序框圖，在①、②、③處應分別填入的是()A．y＝ln(－x)，y＝0，y＝2xB．y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0C．y＝0，y＝2x，y＝ln(－x)D．y＝0，y＝ln(－x)，y＝2x參考答案：B9.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總費用與總存儲費用之和最小，則x=（）A．10 B．20 C．40 D．80參考答案：B考點： 基本不等式在最值問題中的應用．

專題： 不等式．分析： 根據(jù)已知條件便可得，一年的總費用和總存儲費用之和為，當x=20時取“=“，這便求出了使一年的總費用和總存儲費用之和最小時的x值了．解答： 解：由已知條件知，一年的總費用與總存儲費用之和為；當，即x=20時取“=“；即要使一年的總費用與總存儲費用之和最小，則x=20．故選B．點評： 考查對基本不等式：a+b，a＞0，b＞0，的運用，注意等號成立的條件10.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有

（）

A．6種

B．12種

C．30種

D．36種參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是兩個不共線的平面向量，向量，，若，則＝．參考答案：12.若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關系是．參考答案：在同一條直線上【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】O，C，D三點的位置關系是在同一條直線上．如圖所示，由AC∥BD，可得AC與BD確定一個平面β，于是又已知可得α∩β=CD，再證明O∈直線CD即可．【解答】解：O，C，D三點的位置關系是在同一條直線上．證明如下：如圖所示，∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個平面β，∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?β，∵l∩α=O，∴O∈α，O∈β，∴O=α∩β．∵C，D∈α，∴α∩β=CD，∴O∈直線CD．∴O，C，D三點的位置關系是在同一條直線上．故答案為在同一條直線上．【點評】熟練掌握確定一個平面的條件及點線面的位置關系是解題的關鍵．13.如果直線和互相垂直，則實數(shù)的值為_____________.參考答案：14.函數(shù)的圖象在點處的切線方程是

．參考答案：，則切線的斜率為，又，即切點坐標為，由直線方程的點斜式可求，即，寫成也一樣．15.已知實數(shù)滿足下列兩個條件：①關于的方程有解；②代數(shù)式有意義。則使得指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)的概率為_________．參考答案：略16.已知，，則

.參考答案：

17.函數(shù)f（x）=，則不等式xf（x）﹣x≤2的解集為參考答案：[﹣1，2]【考點】其他不等式的解法；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．【專題】計算題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．【分析】對x＞1和x≤1分別利用函數(shù)表達式，求出不等式的解集，然后取并集．【解答】解：當x＞1時，不等式xf（x）﹣x≤2化為x2﹣x≤2即：﹣1≤x≤2，所以1＜x≤2；當x≤1時，不等式xf（x）﹣x≤2化為﹣2x≤2可得：﹣1≤x≤1綜上不等式xf（x）﹣x≤2的解集為：[﹣1，2]故答案為：[﹣1，2]【點評】本題考查不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，已知四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面，.（1）求異面直線與所成角的大?。唬?）（文科生做）求四棱錐的表面積；（3）（理科生做）求二面角的大小；參考答案：（1）取BC的中點F，連接AF交BD于E，連接PF在梯形ABCD中，AF∥CD，則∠FAP為異面直線PA與CD所成角…………..2分在△PFA中，則∠FAP=，∴異面直線PA與CD所成角為………………5分（2）（文科做）在梯形ABCD中，易求CD=，BD=，PD=

PA=……7分∵BC=2∴CD⊥BD

∵PB⊥平面ABCD

∴PB⊥CD

∴CD⊥平面PCD∴CD⊥PD

∴……9分又∵DA//BC

BC⊥AB

PB⊥平面ABCD∴都為直角三角形∴∵…………..11分∴四棱錐的表面積為：+++1+=………..12分（3）（理科做）連接AF交BD于E，過E作EG⊥PD于G，連接AG∵PB⊥平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD……7分在菱形ABFD中，AE⊥BD，則AE⊥平面PBD∵BG⊥PD∴AG⊥PD∴∠AGE為二面角A-PD-B的平面角……10分在△AGE中，則所以，故二面角A-PD-B的大小為………….12分19.已知曲線f（x）=x3﹣ax+b在點（1，0）處的切線方程為x﹣y﹣1=0．（I）求實數(shù)a，b的值；（II）求曲線y=f（x）在x=2處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（I）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由曲線在x=1處的切線的斜率求得a，再由曲線和直線在x=1處的函數(shù)值相等求得b；（II）求出曲線y=f（x）在x=2處的切線方程，即可求曲線y=f（x）在x=2處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積．【解答】解：（I）由f（x）=x3﹣ax+b，得y′=3x2﹣a，由題意可知y′|x=1=3﹣a=1，即a=2．又當x=1時，y=0，∴13﹣1×2+b=0，即b=1．（II）f（x）=x3﹣2x+1，f′（x）=3x2﹣2，x=2時，f（2）=5，f′（2）=10，∴曲線y=f（x）在x=2處的切線方程為y﹣5=10（x﹣2），即10x﹣y﹣15=0，與兩坐標軸的交點為（1.5，0），（0，﹣15），∴切線與兩坐標軸圍成的三角形面積S==．20.一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取出兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，設該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，設該球的編號為n，求n<m＋2的概率．

參考答案：(1)從袋中隨機取出兩個球，編號之和不大于4的事件有1和2,1和3兩個，·2分而隨機取兩球其一切可能的事件有6個．···················4分∴所求概率為P＝＝.··························6分(2)由題意其一切結(jié)果設為(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個．·······························8分又滿足條件n≥m＋2的事件有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，·········10分其概率P1＝.·····························11分故滿足條件n<m＋2的事件的概率為1－P1＝1－＝.····························12分

21.已知函數(shù)f（x）=ex﹣x2+a的圖象在點x=0處的切線為y=bx（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）當x∈R時，求證：f（x）≥﹣x2+x；（3）若f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出f（x）的導數(shù)，由切線方程可得切線斜率和切點坐標，可得a=﹣1，b=1，即可得到f（x）的解析式；（2）令φ（x）=f（x）﹣（x﹣x2）=ex﹣x﹣1，求出導數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得證；（3）若f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立，即為k＜對?x＞0恒成立，運用導數(shù)，求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到k的范圍．【解答】（1）解：函數(shù)f（x）=ex﹣x2+a的導數(shù)為f′（x）=ex﹣2x，在點x=0處的切線為y=bx，即有f′（0）=b，即為b=1，即切線為y=x，又切點為（0，1+a），即1+a=0，解得a=﹣1，即有f（x）=ex﹣x2﹣1；（2）證明：令φ（x）=f（x）﹣（x﹣x2）=ex﹣x﹣1，則φ′（x）=ex﹣1，φ′（x）=0，則x=0，當x＜0時，φ′（x）＜0，φ（x）遞減，當x＞0時，φ′（x）＞0，φ（x）遞增，則φ（x）min=φ（0）=0，則有f（x）≥x﹣x2；（3）解：若f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立，即為k＜對?x＞0恒成立，令g（x）=，x＞0，則g′（x）=，==，由（2）知，當x＞0時，ex﹣x﹣1＞0恒成立，則當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減，當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）遞增，即有g（x）min=g（1）=e﹣2，則k＜g（x）min=e﹣2，即k的取值范圍是（﹣∞，e﹣2）．22.在圓錐PO中，已知PO＝2，⊙O的直徑AB＝4，點C在底面圓周上，且∠CAB＝30°，D為AC的中點．(1)證明：AC⊥平面POD；(2)求點O到面PAD的距離。參考答案：（1）證明：面，且面 ―――――――――――――2分

由于是直徑，且點在圓周上，故有