2020年中考第一次模擬考試《數(shù)學卷》附答案解析

中考考前綜合模擬測試數(shù)學試卷（時間：xx分鐘總分：xx分）學校________???班級________????姓名________?????座號________一、選擇題1.的倒數(shù)是（）A. B. C. D.2.如圖是由三個相同的小正方體組成的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.3.我國倡導的“一帶一路”將促進中國與世界一些國家的互利合作，根據(jù)規(guī)劃“一帶一路”地區(qū)覆蓋總人口為人，這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.已知已知、是一元二次方程的兩根，則的值是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐標系中，以原點為中心，把點逆時針旋轉，得到點，則點坐標為（）A. B. C. D.6.下列運算正確的是（）A. B. C. D.7.在一次數(shù)學答題比賽中，五位同學答對題目的個數(shù)分別為7，5，3，5，10，則關于這組數(shù)據(jù)的說法不正確的是（）A.眾數(shù)是5 B.中位數(shù)是5 C.平均數(shù)是6 D.方差是3.68.如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠ABC＝30°，過圓心O作OD⊥BC，垂足為E，交弧BC于點D，連接DC，則∠DCB的度數(shù)為()A.30° B.45° C.50° D.60°9.將拋物線y=﹣5x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得到的拋物線為（）A.y=﹣5（x+1）2﹣1 B.y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C.y=﹣5（x+1）2+3 D.y=﹣5（x﹣1）2+310.如圖，在平行四邊形中，平分，交于點，平分，交于點，，，則長為（）A.8 B.9 C.10 D.1211.如圖，二次函數(shù)圖象過點，對稱軸為直線，給出以下結論：①；②；③：④若為函數(shù)圖象上的兩點，則．其中正確的是（）A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④12.如圖，AB為半圓O直徑，C是半圓上一點，且∠COA=60°，設扇形AOC、△COB、弓形BmC的面積為S1、S2、S3，則它們之間的關系是（）A.S1＜S2＜S3 B.S2＜S1＜S3 C.S1＜S3＜S2 D.S3＜S2＜S1二、填空題13.分解因式：__________．14.已知袋中有若干個小球，它們除顏色外其它都相同，其中只有2個紅球，若隨機從中摸出一個，摸到紅球的概率是，則袋中小球的總個數(shù)是_____15.已知a、b滿足（a﹣1）2+=0，則a+b=_____．16.用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長20m，當矩形的長、寬各取某個特定的值時，菜園的面積最大，這個最大面積是_____m2.17.如圖，小玲家在某24層樓的頂樓，對面新建了一幢28米高的圖書館，小玲在樓頂處看圖書館樓頂處和樓底處的俯角分別是°，則兩樓之間的距離是__________米．18.如圖，把繞點逆時針旋轉，得到點恰好落邊上，連接，則__________．三、解答題19.（1）計算（2）先化簡，再求值：，其中滿足20.據(jù)新浪網調查，在第十二屆全國人大二中全會后，全國網民對政府工作報告關注度非常高，大家關注的網民們關注的熱點話題分別有：消費、教育、環(huán)保、反腐、及其它共五類，且關注五類熱點問題的網民的人數(shù)所占百分比如圖l所示，關注該五類熱點問題網民的人數(shù)的不完整條形統(tǒng)計如圖2所示，請根據(jù)圖中信息解答下列問題．(1)求出圖l中關注“反腐”類問題的網民所占百分比x的值，并將圖2中的不完整的條形統(tǒng)計圖補充完整；(2)為了深入探討政府工作報告，新浪網邀請成都市5名網民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪訪談，且一次訪談只選2名代表，請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出一次所選代表恰好是甲和乙的概率．21.某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元，用90元購進甲種玩具的件數(shù)與用150元購進乙種玩具的件數(shù)相同．（1）求每件甲種、乙種玩具進價分別是多少元？（2）商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，求商場共有幾種進貨方案？22.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象經過點，與反比例函數(shù)的圖象交于.（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）設是直線上一點，過作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點，若為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的坐標.23.如圖，中，，以為直徑的交邊于點，連接，過作的垂線，交邊于點，交邊的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求劣弧的長．24.如圖，已知一個三角形紙片，其中，分別是邊上的點，連接．（1）如圖，若將紙片的一角沿折疊，折疊后點落在邊上的點處，且使S四邊形ECBF，求的長；（2）如圖，若將紙片的一角沿折疊，折疊后點落在邊上的點處，且使．試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．25.如圖1，拋物線的頂點A的坐標為（1，4），拋物線與x軸相交于B、C兩點，與y軸交于點E（0，3）．（1）求拋物線的表達式；（2）已知點F（0，﹣3），在拋物線的對稱軸上是否存在一點G，使得EG+FG最小，如果存在，求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由．（3）如圖2，連接AB，若點P是線段OE上的一動點，過點P作線段AB的垂線，分別與線段AB、拋物線相交于點M、N（點M、N都在拋物線對稱軸的右側），當MN最大時，求△PON的面積．答案與解析一、選擇題1.的倒數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用倒數(shù)的定義進而得出答案．【詳解】∵×()=1，∴的倒數(shù).故選B.【點睛】此題主要考查了倒數(shù)，正確把握倒數(shù)的定義是解題關鍵．2.如圖是由三個相同的小正方體組成的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：細心觀察圖中幾何體中正方體擺放的位置，根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可．詳解：從左邊看豎直疊放2個正方形．故選C．點睛：此題考查了幾何體的三種視圖和學生的空間想象能力，左視圖是從物體左面看所得到的圖形，解答時學生易將三種視圖混淆而錯誤的選其它選項．3.我國倡導的“一帶一路”將促進中國與世界一些國家的互利合作，根據(jù)規(guī)劃“一帶一路”地區(qū)覆蓋總人口為人，這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥1時，n是非負數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【詳解】解：將4400000000用科學記數(shù)法表示為：4.4×109．故選：C．【點睛】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4.已知已知、是一元二次方程的兩根，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】解：∵、是一元二次方程的兩根，∴，，∴=．故選D．考點：根與系數(shù)的關系．5.在平面直角坐標系中，以原點為中心，把點逆時針旋轉，得到點，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中心對稱的性質解決問題即可．【詳解】由題意A，B關于O中心對稱，

∵A（2，3），

∴B（-2，-3），

故選：B．【點睛】此題考查中心對稱，坐標與圖形的變化，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．6.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，可判斷A，根據(jù)積的乘方，可判斷B，根據(jù)同底數(shù)冪的除法，可判斷C，根據(jù)單項式乘單項式，可判斷D．【詳解】A、不是同底數(shù)冪的乘法指數(shù)不能相減，故A錯誤；

B、積的乘方等于乘方的積，故B錯誤；

C、同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，故C錯誤；

D、單項式乘單項式系數(shù)乘系數(shù)同底數(shù)的冪相乘，故D正確；

故選：D．【點睛】此題考查同底數(shù)冪的除法，熟記法則并根據(jù)法則計算是解題關鍵．7.在一次數(shù)學答題比賽中，五位同學答對題目的個數(shù)分別為7，5，3，5，10，則關于這組數(shù)據(jù)的說法不正確的是（）A.眾數(shù)是5 B.中位數(shù)是5 C.平均數(shù)是6 D.方差是3.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及方差的定義判斷各選項正誤即可．【詳解】A、數(shù)據(jù)中5出現(xiàn)2次，所以眾數(shù)為5，此選項正確；B、數(shù)據(jù)重新排列為3、5、5、7、10，則中位數(shù)為5，此選項正確；C、平均數(shù)為（7+5+3+5+10）÷5=6，此選項正確；D、方差為×[（7﹣6）2+（5﹣6）2×2+（3﹣6）2+（10﹣6）2]=5.6，此選項錯誤；故選D．【點睛】本題主要考查了方差、平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握各個知識點的定義以及計算公式，此題難度不大．8.如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠ABC＝30°，過圓心O作OD⊥BC，垂足為E，交弧BC于點D，連接DC，則∠DCB的度數(shù)為()A.30° B.45° C.50° D.60°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件“過圓心O作OD⊥BC交弧BC于點D、，∠ABC=30°”、及直角三角形OBE的兩個銳角互余求得∠BOE=60°；然后根據(jù)同弧BD所對的圓周角∠DCB是所對的圓心角∠DOB的一半，求得∠DCB的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵OD⊥BC，∠ABC=30°，∴在直角三角形OBE中，∠BOE=60°（直角三角形的兩個銳角互余）；又∵∠DCB=∠DOB（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），∴∠DCB=30°；故選A．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系．解此類題目要注意將圓的問題轉化成三角形的問題再進行計算．9.將拋物線y=﹣5x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得到的拋物線為（）A.y=﹣5（x+1）2﹣1 B.y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C.y=﹣5（x+1）2+3 D.y=﹣5（x﹣1）2+3【答案】A【解析】分析：直接利用二次函數(shù)圖象與幾何變換的性質分別平移得出答案．詳解：將拋物線y=-5x2+1向左平移1個單位長度，得到y(tǒng)=-5（x+1）2+1，再向下平移2個單位長度，所得到的拋物線為：y=-5（x+1）2-1．故選A．點睛：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，正確記憶平移規(guī)律是解題關鍵．10.如圖，在平行四邊形中，平分，交于點，平分，交于點，，，則長為（）A.8 B.9 C.10 D.12【答案】C【解析】試題解析：∵四邊形是平行四邊形，∴．又、分別是和的角平分線．∴，．又，∴，是等腰三角形，即．同理可證是等腰三角形．∴．又∵，∴．∴．∴．故選．11.如圖，二次函數(shù)的圖象過點，對稱軸為直線，給出以下結論：①；②；③：④若為函數(shù)圖象上的兩點，則．其中正確的是（）A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向下，

a＜0；

∵拋物線的對稱軸為直線x=-=1＞0，

∴b＞0；

∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，故①正確；

∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac＞0，故②正確；

∵拋物線的對稱軸是x=1，與x軸的一個交點是（3，0），

∴拋物線與x軸的另個交點是（-1，0），

∴當x=1時，y最大，即a+b+c≥ax2+bx+c，故③正確；

∵B（x2+1，y1）、C（x2+2，y2）在對稱軸右側，x2+1＜x2+2，

∴y1＞y2，故④錯誤；

故選：B．【點睛】此題考查拋物線與x軸的交點，熟知二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系、x軸上點的坐標特點等知識是解題的關鍵．12.如圖，AB為半圓O的直徑，C是半圓上一點，且∠COA=60°，設扇形AOC、△COB、弓形BmC的面積為S1、S2、S3，則它們之間的關系是（）A.S1＜S2＜S3 B.S2＜S1＜S3 C.S1＜S3＜S2 D.S3＜S2＜S1【答案】B【解析】解：作OD⊥BC交BC與點D，∵∠COA=60°，∴∠COB=120°，則∠COD=60°．∴S扇形AOC==.S扇形BOC=.在三角形OCD中，∠OCD=30°，∴OD=，CD=，BC=R，∴S△OBC=，S弓形==，,∴S2＜S1＜S3．故選B．二、填空題13.分解因式：__________．【答案】x（2x+3y）（2x-3y）【解析】【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：原式=x（4x2-9y2）=x（2x+3y）（2x-3y），

故答案為：x（2x+3y）（2x-3y）【點睛】此題考查提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．14.已知袋中有若干個小球，它們除顏色外其它都相同，其中只有2個紅球，若隨機從中摸出一個，摸到紅球的概率是，則袋中小球的總個數(shù)是_____【答案】8個【解析】【分析】根據(jù)概率公式結合取出紅球的概率即可求出袋中小球的總個數(shù)．【詳解】袋中小球的總個數(shù)是：2÷=8（個）．故答案為8個．【點睛】本題考查了概率公式，根據(jù)概率公式算出球的總個數(shù)是解題的關鍵．15.已知a、b滿足（a﹣1）2+=0，則a+b=_____．【答案】﹣1【解析】【分析】利用非負數(shù)的性質可得a-1=0，b+2=0，解方程即可求得a，b的值，進而得出答案．【詳解】∵（a﹣1）2+=0，∴a=1，b=﹣2，∴a+b=﹣1，故答案為﹣1．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質，熟知幾個非負數(shù)的和為0，那么每個非負數(shù)都為0是解題的關鍵.16.用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長20m，當矩形的長、寬各取某個特定的值時，菜園的面積最大，這個最大面積是_____m2.【答案】112.5【解析】【分析】設矩形的長為xm，則寬為m，根據(jù)矩形的面積公式得出函數(shù)解析式，繼而將其配方成頂點式，由x的取值范圍結合函數(shù)性質可得最值．【詳解】設矩形的長為xm，則寬為m，菜園的面積S=x?=-x2+15x=-（x-15）2+，（0＜x≤20）.∵當x＜15時，S隨x的增大而增大，∴當x=15時，S最大值=m2，故答案為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式是解題的根本，由自變量x的取值范圍結合二次函數(shù)的性質求函數(shù)解析式是解題的關鍵．17.如圖，小玲家在某24層樓的頂樓，對面新建了一幢28米高的圖書館，小玲在樓頂處看圖書館樓頂處和樓底處的俯角分別是°，則兩樓之間的距離是__________米．【答案】14（+1）【解析】【分析】如圖，延長CB交AM于點E，設AE=x．通過解Rt△ABE、Rt△ACE分別求得BE、CE的長度，然后結合圖形中相關線段的和差關系列出關于x的方程，通過解方程求得x的值；【詳解】如圖，延長CB交AM于點E，設AE=x．

由題意知，在Rt△ABE中，∠EAB=45°，

∴BE=AE=x．

在Rt△ACE中，∠EAC=60°，

∴CE=x，

∵CE-BE=28，

∴x-x=28，

解得x==14（+1）（米），

∴兩樓間的距離約為14（+1）米；故答案為：14（+1）.【點睛】此題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題．解題關鍵在于作輔助線．18.如圖，把繞點逆時針旋轉，得到點恰好落在邊上，連接，則__________．【答案】22°【解析】【分析】根據(jù)旋轉性質可得AB=AB′，∠BAB′=44°，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABB′，再利用直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．【詳解】∵Rt△ABC繞點A逆時針旋轉40°得到Rt△AB′C′，

∴AB=AB′，∠BAB′=44°，

在△ABB′中，∠ABB′=（180°-∠BAB′）=（180°-44°）=68°，

∵∠AC′B′=∠C=90°，

∴B′C′⊥AB，

∴∠BB′C′=90°-∠ABB′=90°-68°=22°．

故答案為：22°．【點睛】此題考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，直角三角形的兩銳角互余，熟記旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小得到等腰三角形是解題的關鍵．三、解答題19.（1）計算（2）先化簡，再求值：，其中滿足【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）先分別根據(jù)0指數(shù)冪、絕對值的性質及特殊角的三角函數(shù)值計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進行計算即可；

（2）先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再根據(jù)x滿足x2-2x-2=0得出x2的表達式，代入原式進行計算即可．【詳解】解：（1）原式=；

（2）原式=

=

=，

∵x滿足x2-2x-2=0，

∴x2=2x+2，

∴原式=．【點睛】此題考查分式的化簡求值，實數(shù)的運算，熟知分式混合運算的法則，0指數(shù)冪、絕對值的性質及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．20.據(jù)新浪網調查，在第十二屆全國人大二中全會后，全國網民對政府工作報告關注度非常高，大家關注的網民們關注的熱點話題分別有：消費、教育、環(huán)保、反腐、及其它共五類，且關注五類熱點問題的網民的人數(shù)所占百分比如圖l所示，關注該五類熱點問題網民的人數(shù)的不完整條形統(tǒng)計如圖2所示，請根據(jù)圖中信息解答下列問題．(1)求出圖l中關注“反腐”類問題的網民所占百分比x的值，并將圖2中的不完整的條形統(tǒng)計圖補充完整；(2)為了深入探討政府工作報告，新浪網邀請成都市5名網民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪訪談，且一次訪談只選2名代表，請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出一次所選代表恰好是甲和乙的概率．【答案】(1)x＝20，補圖見解析；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)單位“1”，求出反腐占的百分比，得到x的值；根據(jù)環(huán)保人數(shù)除以占的百分比得到總人數(shù)，求出教育與反腐及其他的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；（2）畫出樹狀圖列出所有等可能結果，找到一次所選代表恰好是甲和乙的結果數(shù)，再利用概率公式求解可得．【詳解】(1)1﹣15%﹣30%﹣25%﹣10%＝20%，所以x＝20，總人數(shù)為：140÷10%＝1400(人)關注教育問題網民的人數(shù)1400×25%＝350(人)，關注反腐問題網民的人數(shù)1400×20%＝280(人)，關注其它問題網民的人數(shù)1400×15%＝210(人)，如圖2，補全條形統(tǒng)計圖，(2)畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知共有20種等可能結果，其中一次所選代表恰好是甲和乙的有2種結果，所以一次所選代表恰好是甲和乙的概率為．【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖及列表法與樹狀圖法，解題的關鍵是讀懂題意，從統(tǒng)計圖上獲得信息數(shù)據(jù)來解決問題．21.某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具進價與一件乙種玩具的進價的和為40元，用90元購進甲種玩具的件數(shù)與用150元購進乙種玩具的件數(shù)相同．（1）求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？（2）商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，求商場共有幾種進貨方案？【答案】（1）甲，乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；（2）共有四種方案．【解析】【分析】（1）設甲種玩具進價x元/件，則乙種玩具進價為（40﹣x）元/件，根據(jù)已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元，用90元購進甲種玩具的件數(shù)與用150元購進乙種玩具的件數(shù)相同可列方程求解．（2）設購進甲種玩具y件，則購進乙種玩具（48﹣y）件，根據(jù)甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，可列出不等式組求解．【詳解】解：設甲種玩具進價x元/件，則乙種玩具進價（40﹣x）元/件，x=15，經檢驗x=15是原方程的解．∴40﹣x=25．甲，乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；（2）設購進甲種玩具y件，則購進乙種玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜24．因為y是整數(shù)，甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，∴y取20，21，22，23，共有4種方案．考點：分式方程的應用；一元一次不等式組的應用．22.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象經過點，與反比例函數(shù)的圖象交于.（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）設是直線上一點，過作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點，若為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的坐標.【答案】（1）.；（2）的坐標為或.【解析】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)y=x+b的圖象經過點A（-2，0），可以求得b的值，從而可以解答本題；（2）根據(jù)平行四邊形的性質和題意，可以求得點M的坐標，注意點M的橫坐標大于0．詳解：（1）一次函數(shù)的圖象經過點，，，.一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于.，，，.（2）設，.當且時，以A，O，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形.即：且，解得：或（負值已舍），的坐標為或.點睛：本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．23.如圖，中，，以為直徑的交邊于點，連接，過作的垂線，交邊于點，交邊的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求劣弧的長．【答案】（1）見解析；（2）2π．【解析】【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求出AD⊥BC，得出AD平分∠BAC，即可推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根據(jù)切線的判定推出即可．

（2）由OD⊥DF得∠ODF=90°，利用含30度的直角三角形三邊的關系OF=2OD，即OB+3=2OD，可解得OD=3，再計算出∠AOD=90°+∠F=120°，然后根據(jù)弧長公式求解．【詳解】證明：（1）連接OD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥EF，

∵OD過O，

∴EF是⊙O的切線．

（2）∵OD⊥DF，

∴∠ODF=90°，

∵∠F=30°，

∴OF=2OD，即OB+3=2OD，

而OB=OD，

∴OD=3，

∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°，

∴劣弧的長度=＝2π．【點睛】此題考查切線性質與判斷，弧長公式，解題關鍵在于掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．24.如圖，已知一個三角形紙片，其中，分別是邊上的點，連接．（1）如圖，若將紙片的一角沿折疊，折疊后點落在邊上的點處，且使S四邊形ECBF，求的長；（2）如圖，若將紙片的一角沿折疊，折疊后點落在邊上的點處，且使．試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．【答案】（1）2；（2）菱形，見解析；【解析】【分析】（1）先利用折疊的性質得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，則S△AEF=S△DEF，則易得S△ABC=5S△AEF，再證明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質得到兩個三角形面積比和AB，AE的關系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長；

（2）連結AM交EF于點O，利用平行線的性質證明AE=EM=MF=AF，即可判斷四邊形AEMF為菱形；【詳解】解：（1）∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，

∴S△AEF=S△DEF，

∵S四邊形ECBF=4S△EDF，

∴S△ABC=5S△AEF，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∵∠EAF=∠BAC，

∴Rt△AEF∽Rt△ABC，

∴，即，

∴AE=2，

由折疊知，DE=AE=2

（2）連結AM交EF于點O，如圖2，

∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，

∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，

∵MF∥AC，

∴∠AEF=∠MFE，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，

∴AE=EM=MF=AF，

∴四邊形AEMF為菱形.【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質，折疊的性質，菱形的判定，解題關鍵在于靈活構建相似三角形．25.如圖1，拋物線的頂點A的坐標為（1，4），拋物線與x軸相交于B、C兩點，與y軸交于點E（0，3）．（1）求拋物線的表達式；（2）已知點F（0，﹣3），在拋物線的對稱軸上是否存在一點G，使得EG+FG最小，如果存在，求出點G的