解析函數(shù)y=(5x+1)2(x+1)3的主要性質(zhì)并畫函數(shù)圖像示意圖

解析函數(shù)y=(5x+1)2(x+1)3的主要性質(zhì)主要內(nèi)容：通過函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、凸凹性及極限的性質(zhì)，并通過函數(shù)導數(shù)知識求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凸凹區(qū)間，并簡要畫出函數(shù)y=(5x+1)2(x+1)3示意圖的過程與步驟?！?函數(shù)定義域根據(jù)函y=(5x+1)2(x+1)3特征，可知函數(shù)自變量x可以取全體實數(shù)，即函數(shù)的定義域為：（-∞，+∞）※.函數(shù)一階導數(shù)：※.函數(shù)乘積求導法?！遹=(5x+1)2(x+1)3，∴y'=10(5x+1)(x+1)3+(5x+1)2*3*(x+1)2，=(5x+1)(x+1)2(10x+10+15x+3),=(5x+1)(x+1)2(25x+13)※.取對數(shù)求導法?！遹=(5x+1)2(x+1)3，取導數(shù)有：∴l(xiāng)ny=ln(5x+1)2(x+1)3,即：lny=2ln(5x+1)+3ln(x+1),兩邊同時對x求導：eq\f(y',y)=eq\f(10,5x+1)+eq\f(3,x+1),y'=y(eq\f(10,5x+1)+eq\f(3,x+1)),y'=(5x+1)2(x+1)3(eq\f(10,5x+1)+eq\f(3,x+1)),y'=(5x+1)(x+1)2[10(x+1)+3(5x+1)],y'=(5x+1)(x+1)2(25x+13).令y'=0，有5x+1=0，25x+13=0，即：x1=-eq\f(1,5)，x2=-eq\f(13,25).(1)當x∈(-∞，-eq\f(13,25))，(-eq\f(1,5),+∞)時，eq\f(dy,dx)>0,此時函數(shù)為增函數(shù)。(2)當x∈[-eq\f(13,25)，-eq\f(1,5)]時，eq\f(dy,dx)<0,此時函數(shù)為減函數(shù)?！?函數(shù)的凸凹性∵y'=(5x+1)(x+1)2(25x+13)∴y''=5(x+1)2(25x+13)+(5x+1)[2(x+1)(25x+13)+25(x+1)2]=5(x+1)2(25x+13)+(5x+1)(x+1)[2(25x+13)+25(x+1)]=(x+1)[5(x+1)(25x+13)+2(5x+1)(25x+13)+25(5x+1)(x+1)]=(x+1){(25x+13)[5(x+1)+2(5x+1)]+25(5x+1)(x+1)}=(x+1)(500x2+520x+116)=4(x+1)(125x2+130x+29).令y''=0，則x+1=0，或125x2+130x+29=0，即：x3=-1,x4=eq\f(-13-2\r(6),25)≈-0.71,x5=eq\f(-13+2\r(6),25)≈-0.32,此時函數(shù)的凸凹性性及凸凹區(qū)間為：(1)當x∈(-∞,-1),(-0.71,-0.324)時，y''<0,此時函數(shù)y為凸函數(shù)。(2)當x∈[-1,-0.71],[-0.324,+∞)時，y''>0,此時函數(shù)y為凹函數(shù)。.函數(shù)的極限lim(x→-∞)(5x+1)2(x+1)3=-∞；lim(x→+∞)(5x+1)2(x+1)3=+∞；lim(x→0)(5x+1)2(x+1)3=12*13。.函數(shù)的五點圖x-2-1-0.71-0.52-0.32-0.20.3(5x+1)281166.662.560.3806.25(x+1)3-100.030.110.310.512.2y-8100.150.280.12013.73※.函數(shù)的示意圖 y(-0.52,0.28)(-0.71,0.15)(-0.324,0.12)