第2講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（教師版）-2024年高考數(shù)學一輪復(fù)習考點（新教材新高考）

第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（核心考點精講精練）

考情探究

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2023年新I卷，第19題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2023年新II卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

（不含參）

根據(jù)極值點求參數(shù)

用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單比較指數(shù)寡的大小

2022年新I卷，第7題,5分

調(diào)性比較對數(shù)式的大小

含參分類討論求函數(shù)的利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

2022年新H卷，第22題,12分

單調(diào)區(qū)間裂項相消法求和

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

2021年新I卷，第22題,12分

（不含參）導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題

2021年新n卷,第22題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系

2能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并會求單調(diào)區(qū)間

3.能夠利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性的綜合問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會在解答題考查，同時小題也會考查用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)

單調(diào)性，且近年來導(dǎo)數(shù)和其他版塊知識點關(guān)聯(lián)密集，是新高考備考的重要內(nèi)容。

考點梳理

知識講解

1.導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系

條件恒有結(jié)論

/v)>o府)在(a,6)上單調(diào)遞增

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

rw<o府)在(a,b)上單調(diào)遞減

(a,b)上可導(dǎo)

ru)=o人刈在(a,b)上是常數(shù)函數(shù)

2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

第1步，確定函數(shù)的定義域；

第2步，求出導(dǎo)函數(shù)/(x)的零點；

第3步，用/(x)的零點將｛x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出/(x)在各區(qū)間上的正負，

由此得出函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

［常用結(jié)論］

1.若函數(shù)人x)在(a,b)上單調(diào)遞增,則b)時，1(x)2。恒成立;若函數(shù)4X)在(a,6)上單

調(diào)遞減，則xG(a,b)時，/'(x)40恒成立.

2.若函數(shù)/(X)在(a,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則6)時，八x)>0有解;若函數(shù)/(x)在(a,

b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則6)時，/'(x)<0有解.

考點一、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系

☆典例引領(lǐng)

1.(浙江?高考真題)設(shè)/'(》)是函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)，y=/'(x)的圖象如圖所示，則y=/(x)的圖象最有

可能的是()

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)/'（X）的單調(diào)性即可判斷.

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當x<0時，尸（x）>0,函數(shù)/（X）單調(diào)遞增；

當0<x<2時，r（x）<0,函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

當x>2時，/^（x）>0,函數(shù)〃x）單調(diào)遞增.

只有C選項的圖象符合.

故選：C.

2.（全國?高考真題）已知函數(shù)y=切'（》）的圖象如圖所示（其中/‘（X）是函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個

【答案】c

【分析】先利用函數(shù)y=^'(x)的圖象求得函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間，進而得到正確選項.

【詳解】由題給函數(shù)y=V(x)的圖象，可得

當x<-l時，xf'(x)<0,則八x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；

當T<x<0時,xf'(x)>0,則/'(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減：

當0<x<l時，xf'(x)<0,則/'(x)<0,則□x)單調(diào)遞減:

當x>l時,xf(x)>0,則/'(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；

則/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(YO,-1),(1,+00)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)

故僅選項C符合要求.

故選：c

3.(全國?高考真題)如果函數(shù)丁的圖象如下圖，那么導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象可能是()

【詳解】試題分析：y=/(x)的單調(diào)變化情況為先增后減、再增再減因此y=/'(x)的符號變化情況為大于

零、小于零、大于零、小于零，四個選項只有A符合，故選A.

考點：1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2、函數(shù)圖象的應(yīng)用.

【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)

學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知

識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇

偶性、特殊點以及(T,xf+8,Xf-8時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一

一排除.

即時檢測

1.(2023,浙江紹興,統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=7'(x)的圖象，若/⑵=0,則y=/(x)

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象在KI'H](0,1)內(nèi)的函數(shù)的范圍，判斷出函數(shù)歹=/(x)區(qū)間(0,1)上各點處切線的斜

率的范圍，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號，得函數(shù)N=/(x)的單調(diào)性，再結(jié)合四個選項可得答案.

【詳解】山y(tǒng)=/(x)的圖象可知I,當0<x<l時，0</V)<l,則在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)歹=/(x)上各點處

切線的斜率在區(qū)間(0,1)內(nèi)，

對于A,在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)y=/(x)上各點處切線的斜率均小于0,故A不正確；

對于B,在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)N=/(x)上存在點，在該點處切線的斜率大于1,故B不正確；

對于C,在區(qū)間(0,1)匕函數(shù)V=/(x)上存在點，在該點處切線的斜率大于1,故C不正確；

對于D,由尸/'(X)的圖象可知，當0<x<l時，,當l<x<3時，/'(x)<0,當x>3時，f\x)>0,

所以函數(shù)y=/(x)上各點處切線的斜率在區(qū)間(0,1)內(nèi)，在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)

上單調(diào)遞增，

而函數(shù)y=/(x)的圖象均符合這些性質(zhì)，故D正確.

故選：D

2.(2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)、=#'")的圖象如圖所示(其中f'(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函

數(shù))，下面四個圖象中可能是y=/(x)圖象的是()

-20A2

【分析】根據(jù)y=4(x)的圖像，得到不同范圍下，f'(x)的正負，得到f(x)的單調(diào)性，得到答案.

【詳解】由》=/卜)的圖象知，當X€(-8,-l)時，礦(X)<O,故/心)>0,/(X)單調(diào)遞增；

當xe(—1,0)時，礦(x)>0,故/”(x)<0,當xe[o,l),xf'(x)<0,故/”(x)40,

等號僅有可能在x=0處取得，

所以時，〃x)單調(diào)遞減；

當時，礦(x)>0,故乃(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，結(jié)合選項只有C符合.

故選：C.

3.(2010?湖南?校聯(lián)考二模)設(shè)函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=/(x)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)

的圖象可能是()

【分析】根據(jù)“X)的圖象可得f(x)的單調(diào)性,從而得到了'(X)在相應(yīng)范圍上的符號，據(jù)此可判斷/'(X)的

圖象.

【詳解】由"X)的圖象可知,/(X)在(-8,0)上為單調(diào)遞減函數(shù)，故xe(-8,0)時,r(x)<0,故排除A,

c；時，函數(shù)“X)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以/'(X)的值是先正，再負，最

后是正，因此排除B,

故選：D.

考點二、利用導(dǎo)數(shù)求不含參函數(shù)的單調(diào)性

寸?典例引領(lǐng)

1.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=，曲線y=/(X)在點(1J⑴)處的切線方程為y=-x+l.

⑴求。力的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶求/(x)的極值點個數(shù).

【答案】(l)a=T,6=l

(2)答案見解析

(3)3個

【分析】(1)先對/(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到/W=0,r(l)=-l，從而得到關(guān)于b的方程組，

解之即可：

(2)由(1)得g(x)的解析式，從而求得g'(x),利用數(shù)軸穿根法求得g'(x)<0與g'(x)>0的解，由此求

得g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)結(jié)合(2)中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間(-雙0),(0,西)，(再,馬)與(/,+?>)上/'(X)

的零點的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求得/(x)的極值點個數(shù).

【詳解】⑴因為/&)=、-娓"叫xeR,所以廣卜)=1-(3犬+53卜族+「

因為/(x)在(1,7(1))處的切線方程為廣-x+l,

所以/⑴=-1+1=0,八1)=7,

所以。二-1/=1.

(2)由(1)g(x)=f(x)=1-(3x2-x3)e-x+1ifeR),

則g'(x)=T(x2-6x+6)e-"i,

令工2一6%+6=0，斛彳Jx=3士G，不妨設(shè)M=3—6，x2=3+VJ,則0<司〈工2，

易知e-川>0恒成立,

所以令g'(x)<0，解得0cx<玉或；令g'(x)>。，解得x<0或不<x<xz；

所以g(x)在(0,再)，(“2，+°°)上單調(diào)遞減，在(-鞏0)，(再/2)上單調(diào)遞增，

即g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3-6)和(3+道,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)和(3-行,3+6).

(3)由(1)f#/(x)=x-x3e-x+1(xeR),f'(x)=\-{3x2-x3)^,

由(2)知/'(x)在(O,xJ,(%，”)上單調(diào)遞減，在(-8,0),(國,々)上單調(diào)遞增，

當x<0時，/,(-l)=]-4e2<0,r(0)=l>0,BP/,(-l)/,(°)<°

所以/'(x)在(-8,0)上存在唯一零點，不妨設(shè)為馬，則-1<七<0,

此時，當時，r(x)<0,則〃x)單調(diào)遞減；當X3<X<0時，f^x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；

所以“X)在(-巴0)上有一個極小值點；

當xe(0,再)時，尸卜)在(0,再)上單調(diào)遞減,

則((再)=/(3-@</(1)=1-2<0,故/(0)廣&)<0,

所以;■”)在(0/J上存在唯一零點，不妨設(shè)為則0<X4<片,

此時，當O<X<X40寸，.歡x)>0,則〃x)單調(diào)遞增；當》4。<再時，/'(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減；

所以〃x)在(0當)上有一個極大值點；

當?shù)段渫?々)時，/'(x)在(馬/2)上單調(diào)遞增,

，

則/(x2)=.r(3+73)>/(3)=1>0,故/'(占)/'卜2)<0,

所以/'(X)在(%,%)上存在唯一零點，不妨設(shè)為天，則陽<匕<》2，

此時,當再<x<5時,/'(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減；當匕</<々時，/'(x)<0,則f(x)單調(diào)遞增;

所以/(X)在(x?x2)上有一個極小值點；

當x>》2=3+6>3時，3A-2-x3=x2(3-x)<0,

所以/'(x)=1-(3--X3)e-x+'>0,則/(x)單調(diào)遞增，

所以/(x)在(匕，-)上無極值點；

綜上：/(x)在(-令0)和(4X2)上各有一個極小值點，在(0,王)上有一個極大值點，共有3個極值點.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷/'(再)與/'(々)的正負情況，充分利用/'(x)的單調(diào)性,

尋找特殊點判斷即可得解.

3.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知a>0且awl,函數(shù)〃x)=h(x>0).

ax

(1)當a=2時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，求。的取值范圍.

【答案】(1)［。，二］上單調(diào)遞增；1=,+8］上單調(diào)遞減；(2)(l,e)U(e,+a)).

Iln2J［ln2)

【分析】(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

(2)方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線>=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方

程￥=等有兩個不同的實數(shù)根，即曲線>=g(x)與直線、=皿有兩個交點，利用導(dǎo)函數(shù)研究g(x)的單調(diào)

Ina1

性，并結(jié)合g(x)的正負，零點和極限值分析g(x)的圖象，進而得到0<----<一,發(fā)現(xiàn)這正好是

ae

0<g(a)<g(e),然后根據(jù)g(x)的圖象和單調(diào)性得到。的取值范圍.

2

x2x-2,-x2-2*ln2x-2、(2-xln2)

【詳解】(1)當a=2時，〃X)=FJ'(X)=

4’

*729

令/'(x)=0得—三，當()<x<三時，/心>0,當x>三時，/'(x)<0,

ln2In2In2

...函數(shù)/(X)在fo，N］上單調(diào)遞增；14,+8〕上單調(diào)遞減；

Vln2J\_\n2)

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：分離參數(shù)

/"(x)=—=1<=>(/=y*=xlna-aIn設(shè)函數(shù)g(x)=

v7axxax

則g，(x)=^^,令g'(x)=0,得x=e,

在(0,e)內(nèi)g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

在(e,+oo)上g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

???g(x)M=g(e)=/

又g(l)=0,當x趨近于丹時,g(x)趨近于0,

所以曲線y=/(X)與直線y=1有且僅有兩個交點，即曲線y=g(x)與直線y=@應(yīng)有兩個交點的充分必要條

a

件是0<如<L這即是0<g(a)<g(e),

ae

所以。的取值范圍是(l,e)U(%+8).

［方法二］:構(gòu)造差函數(shù)

由V=fM與直線歹=1有且僅有兩個交點知/(x)=l,即犬=優(yōu)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程

Qlnx=xln。在區(qū)間(0,+°o)內(nèi)有兩個解.

構(gòu)造函數(shù)g(x)=w(0,+oo),求導(dǎo)數(shù)得g'(%)=名一Ina=―生.

xx

當0<4Vl時，111〃<0,%￡(0,中)0),。一工111?！?,8(工)>0￡(工)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，所以，g(x)在(0,+8)

內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；

當時，1FIQ〉0,令g'(x)=0得x=『―，xGf0,--1時，g'(x)>0；當xj'；-,+°°］時，g'(x)<。；

InaIInaJ\\na)

所以，函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為1號,+8］.

VIna；(lna)

由于0ve“<1</—,ge“=-l-ealntz<0,

In。I)

當時，有Qlnxcxlna,即g(x)<0,由函數(shù)g(x)=alnx-xlna在(0,+8)內(nèi)有兩個零點知

gJ---|=In-----1|>0,所以—^―>e,即a-eIna>0.

構(gòu)造函數(shù)人(a)="elna,則力'(〃)=1，="￡，所以力⑷的遞減區(qū)間為(l,e),遞增區(qū)間為(e,+8),所以

aa

A(a)>A(e)=0,當且僅當“=e時取等號，故〃(a)>0的解為。>1且awe.

所以,實數(shù)a的取值范圍為(l,e)u(e,+oo).

［方法三］分離法：一曲一直

曲線y=/(x)與了=1有旦僅有兩個交點等價為《=1在區(qū)間(0,+8)內(nèi)有兩個不相同的解.

ax

因為x"=a3所以兩邊取對數(shù)得alnx=xlna,即lnx=?，問題等價為g(x)=lnx與0(.<)=也有且僅

aa

有兩個交點.

①當0<。<1時，則■<o,p(x)與g(x)只有一個交點，不符合題意.

a

②當a>1時，取g(x)=lnx上一點(%,1叫)若(%)=」譙(不)=一若00在點(％,1叫)的切線方程為

X工0

j；-lnx0=—(x-x0),gpj；=—x-l+lnx0.

X。%

Ina_1Intz_1

a玉「得，

當)=-x-l+lnx0與p(x)="n"為同一直線時有.ae'

犬0a

%=e.

lnxo-l=O,

直線p(x)=3的斜率滿足：0<也@<!時，g(x)=lnx與p(x)=Wg有旦僅有兩個交點.

aaea

idh{a)=^-,h\a)=1,令h'5=o,有〃=e.ae(l,e),A(a)〉O,〃(a)在區(qū)間(l,e)內(nèi)單調(diào)遞增；

aG(e,4oci),/z'(a)<0,//(a)在區(qū)間(4+=?)內(nèi)單調(diào)遞減；a=e時，人⑷最大值為g(e)=;,所當。>1旦"e時

士cIna,1

有0<---<―.

ae

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(l,e)u(e,m).

［方法四］:直接法

/(x)=*0)J(x)=a八x"一1-a-X-a-XIna-x°_xa~'(a-xlna)

axax

因為x>0,由/''(x)=0得x=4.

Intz

當0<“<l時，/(X)在區(qū)間(0,物)內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；

當a>l時，f>0,由/'(x)>0得0<x<J—J(x)在區(qū)間(0,內(nèi)單調(diào)遞增，由/口)<0得x>&,/(x)

InaInaIna7Ina

在區(qū)間(卷,+(?)內(nèi)單調(diào)遞減.

因為lJ”(x)=°，且嗎〃x)=0,所以yj=]>1,即(嬴)_“F,即T

1--

、“°llnaj——a>(\na)\a,na>]naf

兩邊取對數(shù)，得(1一］lna>ln(lna),Hpina-1>In(lna).

令lna=f,則,令〃。)=1門7+1,則/5)=1-1,所以〃。)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)

X

內(nèi)單調(diào)遞減，所以。(x)j⑴=0,所以t-121nf,則的解為fHl,所以IIWHI,即awe.

故實數(shù)。的范圍為(Le)u(e,”).］

【整體點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，

屬較難試題，

方法一：將問題進行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)

形結(jié)合思想求解.

方法二：將問題取對，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.

方法三：將問題取對，分成g(x)=lnx與p(x)=*兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的切線問題，將切線

a

斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論.

方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=ax-半?yún)s

cosx\2J

⑴當a=8時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)<sin2x恒成立,求a的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析.

(2)(-00,3]

【分析】(1)求導(dǎo)燃后令ycos’x,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;

(2)構(gòu)造g(》)=/(x)-sin2x,計算g，(x)的最大值然后與0比較大小，得出。的分界點，再對。討論即可.

cosxcos3.r+3sinxcos2xsinx

【詳解】(1)f\x)=a-

cos6X

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a--------j-----=a-------j----

COSXCOSX

令cos?x=t，則1e(0,l)

。產(chǎn)+2f-3

則/'(x)=g(7)=a----=

t2

w,of<\,八8』+2t-3(2z-l)(4r+3)

ida=8J(x)=g(f)=---------=

t2

當即xW，/，(x)<0.

所以/(x)在(0高上單調(diào)遞增，在(：,野上單調(diào)遞減

(2)設(shè)g(x)=/(%)—sin2x

g(x)=/(x)—2cos2x=g(f)-2(2coSx-1="十丁~~--2(21)=Q+2-41/一|設(shè)

23

=a+2-4t+----

，,、“26-4/3-2Z+62(/-l)(2/+2f+3)八

^^=-4--+-=-——-------^0

所以夕。)<夕⑴=a-3.

「若ae(Yo,3],g，(x)=e(f)<"340

即g(x)在(°，5)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(。)=0.

所以當aw(-oo,3],/(x)<sin2x,符合題意.

2°若ae(3,+oo)

當f—O,2-2=-3(L-g[+，所以9⑺--0°.

(p(\)=a-3>0.

所以％e(0,l),使得8%)=0,即期,w(o,9,使得g，(x0)=0.

當fe&,1),夕(f)>0,即當xe(O,Xo),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以當工€(0,%)名(刈>8(0)=0,不合題意.

綜上,。的取值范圍為(-8,3].

【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元，注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性f=cosx在定義域內(nèi)是減函數(shù)，若f°=cosx。,當

入&,1),*)>0,對應(yīng)當工?0,為)8'(》)>0.

4.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=x(l-lnx).

(1)討論〃力的單調(diào)性；

(2)設(shè)a,b為兩個不相等的正數(shù)，且bIna-alnb=a-6,證明：2<1+L<e.

ab

【答案】(1)/(X)的遞增區(qū)間為(0,1)，遞減區(qū)間為(1,+8)；(2)證明見解析.

【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.

(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令l=〃?==〃，命題轉(zhuǎn)換為證明；2</n+〃<e,然后構(gòu)造對稱差

函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.

【詳解】(1)/(力的定義域為(0,”).

由〃x)=x(l-lnx)得，//(x)=-lnx,

當x=l時，r(x)=0；當xe(O,l)時/[x)>0；當xe(l,+8)時，/,(x)<0.

故/(x)在區(qū)間(05內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間[1,內(nèi))內(nèi)為減函數(shù)，

⑵[方法一]:等價轉(zhuǎn)化

由bhia_aln6=a_b得_(1，即/(—)=/(—).

aabbab

由/b,得，wg.

ab

由(1)不妨設(shè)，e(0,l#e(l,+8)，則/山>0,從而〃?)>0,得］e(1,e),

ababb

①令g(x)=/(2-x)-〃x),

貝ijg'(x)-ln(2-x)+lnx=ln(2x-x^=ln［l-(x-l),

當X€(O,1)時，g<x)<0,g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，g(x)>g(l)=o,

從而42—x)>/(x),所以〃2-3>/(3=/(3，

aab

由(1)得2-L<L即2<‘+1.①

abab

令MR)=X+/'(X),則〃,x)=l+，(x)=l_lnx,

當xe(l,e)時,h'(x)>0,〃(x)在區(qū)間(l,e)內(nèi)為增函數(shù)，A(x)<ft(e)=e,

從而x+/(x)<e,所以?+/(，)<e.

bb

又由1e(0,l),可得L<L(l-ln,)=/(,)=/C)，

aaaaab

所以，+：</(!)+!=e.②

abbb

由①②得2<，+：<e.

ab

r?時—1,且小小▼,,,,YTTylno\nh11*“l(fā)no+1lnb+1

［方法一］【最優(yōu)解】：blna-alnbf=a-b變形1為--------------,所以------=;

aboaab

令工=加」=〃.則上式變?yōu)?2(l-ln加)=〃(1一In〃)，

ab

于是命題轉(zhuǎn)換為證明：2<m+n<e.

令〃工)=%(1-如力,則有/(加)=/(〃)，不妨設(shè)加<〃.

由(1)知0<加<1,1<〃<6,先證加+〃>2.

要證：m+〃>2<=>〃>2—〃</(2—m)<=>/(m)</(2—〃？)

=/(〃?)-/(2-加)<0.

令g(x)=/(x)-/(2-x),X￡(0,l),

則8'(%)=_加工_加(2_1)=_111卜(2_工論_111］=0,

???g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，所以g(x)<g(l)=0,即加+〃〉2.

再證加+〃<?.

因為加(1-ln〃?)=〃一In〃)〉〃？,所以需證〃(1一ln〃)+〃<en加+〃<e.

令/z(x)=x(l-lnx)+x,xe(l,e),

所以“(x)=l-lnx>0,故〃(x)在區(qū)間(l,e)內(nèi)單調(diào)遞增.

所以〃(x)<〃(e)=e.故即〃+?

綜合可知2<—+—<e.

ab

［方法三］:比值代換

證明,+1>2同證法2.以下證明玉+%<e.

ab

不妨設(shè)工2=打，則/=強>1,

x\

由X［(l_lnX］)=X2(l_lnx2)得xO-lnxJuaJl—ln(歷)］,Inx}=1--^-^,

/—1

要證再+/<e，只需證(1+。玉<e,兩邊取對數(shù)得ln(l+f)+ln/(1,

即ln(l+/)+l-史晨1,

/-I

In(l+Z)Inr

即證q——-<——?

tt-\

../、ln(l+s)..I-----ln(l+5)

記g(s)=-------,5e(0,+co),則oG、_l+s

Sg⑹-------2-----

S

S11

記〃(s)=-----ln(l+s),則〃'(s)=7；~~—<0,

14-5(1+5)1+5

所以，Ms)在區(qū)間(o,+00)內(nèi)單調(diào)遞減.h(s)<h(o)=o,則g'(s)<0,

所以g(s)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

由/€(1,+00)得，-1€(0,+8),所以g(f)<g(/T),

即ln(l+屋曳.

tt-\

［方法四］:構(gòu)造函數(shù)法

,..Ina\nb1I11

由己知得--------；—=；-,A令—=/，丁=4，

abbaab

不妨設(shè)玉<々，所以/(司)=/(x2).

由(I)知，0<X,<1<x2<e,只需證2<玉+工2<e.

證明x,+x2>2同證法2.

口.、十”11-2d---FInx

再證明Xi+%<e.令A(yù)x1-lnx、〃/、x

—12-h(x)=------(0<x<e),A(x)=--------；—

x-e(x-e)

P1cx-e

令(p(x)=lnx+——2(0<x<e)貝ij(p\x)=------7=——<0.

XtXXX

所以(。)>0(e)=0/(x)〉0,Mx)在區(qū)間(O,e)內(nèi)單調(diào)遞增.

因為0<X<W<。，所以-----L<-----j即/丁^>^—

X,-ex2-e1—Inx2x2-e

又因為/a)=/(xj,所以號也=%,9>匚，

、/、/1-Inx2%玉e

2

B|Jx；-ex2<%1(為一42)(玉+x2-e)>0.

因為再</，所以玉+工2<6，即，+1<e.

ab

綜上，有2<1+；<e結(jié)論得證.

【整體點評】⑵方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想,

這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.

方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.

方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明

題中的不等式即可.

方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于玉+X2-e<0的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.

,即時檢測

1.(2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(》)=^-十(。+1歐).

⑴當4=1時，求“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若/(x)20恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)。,+8)

⑵(-85

【分析】(1)代入求導(dǎo)得/'(X)=e'-：,再次設(shè)導(dǎo)函數(shù)為新函數(shù)進行求導(dǎo)得到其單調(diào)性和其零點，從而得

到的單調(diào)增區(qū)間；

(2)法一：令g(x)=xe'-e",利用導(dǎo)數(shù)和零點存在定理得存在唯一正實數(shù)不使得/e&=e",從而得到

/(x)min=/(Xo)=eJe"hK「e%,再利用隱零點法得飛+2叫-,<0,再次設(shè)新函數(shù)進行求導(dǎo)從而得到

xo

〃的范圍；

法二：同法一求得/卜)01曲=/卜())=鏟-/品。一6"。，則

/(x)min=e"Q+x。-。-e"“，利用基本不等式有/(x)mjnNe"(2-a)-e"aZ()，從而得到a的范圍.

\x0)

【詳解】(1)當〃=1時，/(x)=e、-e(l+lnr),/-(%)=ex-p

設(shè)*(x)=e'_:

又d(x)=e、+。>。；.e(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

X

乂/'(1)=0,.?.當xe(o,l)時r(x)<0,當xe(l,+8)時尸(x)>0,

??./(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

(2)對函數(shù)〃x)求導(dǎo)得，r(x)=e，-￡=xe'-e",令g(x)=xe*-e",

XX

則g'(x)=e*+xe*>0,二g(x)=xe"-e"在(0,+<?)上單調(diào)遞增,

又g(0)=-e"<0,當x->+8時g(x)->+<?,

故存在唯一正實數(shù)%使得x0e"。=e",

當x<Xo時,//(x)<0,/(X)單調(diào)遞減，

當x>x0時，尸(x)>0,〃x)單調(diào)遞增，

=xXoa

"(x)min/(o)=e-elnvo-e°a,

由〃x)20恒成立，得/卜)哂20,

由/e&=e"得x0+lnx0=a,A/(x)111ta=/(x0)=e*°-x0e*。%+21moA。

l-x0(x0+21nx0)>0,xn(x0+21nx0)-1<0,

x0+21nx0---<0,

x°

i21

設(shè)力(x)=x+21nx——,則〃'(x)=1+—+-y〉0，恒成立，

xxx

故力(x)在(o,+8)上單調(diào)遞增，而〃⑴=0,

/.0<x0<1,

又Xo+lnx。=。且函數(shù)y=x+lnx在(0』上是增函數(shù)，

故。的取值范圍為(-85

法2：同法一得/(x)111ta=/(Xo)=e%-e"hK()-e%,

由％e"=e"得x0+lnx0=a,

???〃x)mM=e"*-e"a=e"(二*e%=e"\Ux0-a[e"a

2e"(2-a)-e"aN0,當且僅當％=1時等號成立，

e°(2-2a)>0,

故。的取值范圍為(-85

x

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問利用零點存在定理及隱零點法得到/(x)1mn=/(x0)=e^-x0e-(r0+21iK())>0,

從而有％+2加。-，40,再次重新設(shè)函數(shù)〃(x)=x+21nx-L根據(jù)其單調(diào)性和零點得到0</<1,從而得

X0X

至ljae(-co,l].

2.(2023?浙江?校聯(lián)考三模)已知/(x)="e'-aeT-2x

⑴當”=1時，求/(x)單調(diào)區(qū)間；

(2)當x>0時，/(x)>0恒成立，求。的取值范圍；

(3)設(shè)機>”,W,/7GN,,證明：111——V——.

n*="+ik2mn

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(TO,*?),無單調(diào)遞減區(qū)間

⑵[1，+°0)

(3)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)后，根據(jù)/'(X)20恒成立可得結(jié)論；

(2)方法一：由/(0)=0可知9>0,使得/(X)在(0,機)上單調(diào)遞增，根據(jù)/'(0)20可知：將”2]代

回驗證，知(e-e-v)4-2x2e'-eT-2x,利用導(dǎo)數(shù)可證得e*-e"-2x>0，知滿足題意；

方法二：易說明。>0,求得/*'(x)后，令/=6”,則fe(l,+℃),令^=。*-2，+4,分別在A>0和AV0的情

況下，得到/(x)的單調(diào)性，進而確定使得/(元)>0恒成立的。的范圍；

(3)令x=lnf,由(2)得令f=l+1(〃cN*),采用累加法可求得In%,進而放縮得到

t〃\'n

,m11f1111131的用用rmn，"人

n卜=“*\k2\nm)n+\n+2m-\t=?+|k

【詳解】⑴當」=1時,/(x)=e*-eT-2x,.?/(x)=e'+eT-2,

?/ev>0.e-v>01e'+e~x>2-Je''e"r=2(當?shù)﹥H當x=0時取等號)，

，/'(x)20恒成立，\/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(YO,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)當x>0時，/(x)>0恒成立，即Vxe(0,+oc),“e*-。葭-2x>0恒成立；

方法rQ/(O)=O,.-.3^>0,使得〃x)在(0,%)上單調(diào)遞增，

.?.當xe(O,m)時，//(%)=aex+ae'x-2>0,/./'(0)=2a-2>0,解得：a>l；

當。21時，aex-ac~x-2x=(ex-e-x)a-2x,

vex-e'x>0，...(e*-eT)a-2xNeJt-e-*-2x,

設(shè)〃(x)=e，-eT-2x(x>0),則H'(x)=e'+-220,

???”(同在(0,+8)上單調(diào)遞增，.?.〃(x)>〃(0)=0,

(ex-e-x)a-2x>eA-e'r-2x>0,即“21滿足題意;

綜上所述：。的取值范圍為口,”).

方法二：aex-ae~x-2x=(ev-e~vja-2x,

?.?xe(0,+8),常--〉。，-2x<0,

則由Vxe(0,+8),原-前-、-2》>0恒成立得：”>0:

A

v./z(-x/)\=aex-ae-x-2x,f(x}=------—--2--e---+--Q-，

ex

令1=凡則1W(L+8),令丁=。/-2/+。，則A=4-面,

①當A〉。，即〃￡(0,1)時，方程〃*_2/+〃=0的解為心右，

設(shè)4<%,?.?歹=。/一2/+〃的對稱軸為z=->1,當/=1時，y=2a-2<0,

a

?■.0<；1<1</2,其中G=也七至,

2a

則當fe(l/2),即xe(0,lnf2)時，/'(x)<0；當fe&,+℃)時，即xe(32，+<?)時，f^[x}>0；

\/(x)在(O,1M)上單調(diào)遞減，在(1%,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，

Q〃0)=0,.?.當x?0/nf2)時，/(力<0,與Vxe(0,+8),泡-W-2x>0恒成立相矛盾,故。?0,1)

舍去；

②當△?(),即。€口,+8)時，y=at2-2/+a>0,Bp//(x)>0,

\/卜)在(0,+8)匕單調(diào)遞增，.?./(x)>/(0)=0,

即Vxw(0,+8),ae*-ae-*-2x>0恒成立；

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為。，田).

(3)由(2)得：Vxe(0,+oo),e'-e-*-2r>0;

令x=lnf,e",,-e-ln,-21n/=r-y-21nf,即/-；-21n/>0,

化簡得ln(1+〃)-ln〃<〃￡N’,

ln(l+/7)-lnn<~1-L

n+n+1

In(2+〃)-In(〃+l)<；

'?">〃，\n-=\nm-\nn,

n

In加一ln(7w-l)<；1]

+口m)

由…iH11I111

累加得：?lnm-ln-+—+----+-+???+----

2\nmJn+1〃+2

.m〃？i

In---y-

Jk

nk=n+\H

.m-AIm-n

即nnin——y—<------成立.

n』+ik2mn

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、恒成立問題的求解、不等式的證明等；本題

證明不等式的關(guān)鍵是能夠利用(2)中的結(jié)論，將指數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為對數(shù)不等式，進而采用賦值的方式對不

等式進行放縮.

3.(2023?河北?校聯(lián)考一模)已知函數(shù)f(x)=sin2x+ax2.

⑴當。=1時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若xe0,y,不等式sin(2cosx)+aV之4(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(l)f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增；

(2)(-8,0].

【分析】(1)當。=1時，對函數(shù)求二階導(dǎo)可以得到二階導(dǎo)大于等于零，即x<0,/(x)<0,x>0時，/(x)>o,

即可得到答案.

(2)根據(jù)題意有不等式sin(2cosx"asin2x恒成立.令cosx=fe[0,1],則等價于不等式

sin2i>a(l-?2)……(*)恒成立，

①若f=l，不等式(*)顯然成立，此時aeR

②若04f41時，不等式(*)等價于普.求出萼的最小值即可得到答案.

1-r1-r

【詳解】(1)/'(x)=2sinxcosx+2x=sin2x+