山東省棗莊市市中區(qū)2022-2023學(xué)年高二年級上冊期末數(shù)學(xué)含解析

棗莊市市中區(qū)2022?2023學(xué)年度高二第一學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷滿分為150分，考試時(shí)間120分鐘.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知向量"=（2[3,"=（x,2,l-x）,若"%則x=（）

A.—5B.5C.4D.—1

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)a_L6，利用a/=0求x.

【詳解】因?yàn)槿怂詀/=2x+2+3（l-x）=0,得x=5.

故選：B

2.已知數(shù)列1,B#）,幣，3,11..，2〃-1，....貝ij3班是這個(gè)數(shù)列的（）

A.第21項(xiàng)B.第23項(xiàng)C.第25項(xiàng)D.第27項(xiàng)

【答案】B

【解析】

【分析】將3逐改寫成疝二I的形式，即可確定它是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng).

【詳解】因?yàn)轭}中數(shù)列的第九項(xiàng)為J亞斤，

而3布=商=,2x23-1.

所以3指是題中數(shù)列的第23項(xiàng).

故選：B.

3.拋物線y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

人.加B.（%。）?（A。）?[0《）

【答案】D

【解析】

【分析】

先將拋物線y=化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出焦點(diǎn)坐標(biāo).

13

【詳解】由卜二一/，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/=3力即°=一，

,32

???所以拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（0

故選：D.

4.已知直線4:x+沖+7=0和乙：（/〃-2）x+3y+2加=0互相平行，則實(shí)數(shù)機(jī)=（）

A.-3B.-1C.-1或3D.1或一3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩直線的平行，得到1x3-加（加-2）=0且2〃?—7x3。。，即可求解.

【詳解】由題意，直線4：x+my+7=0和6：O—2）x+3y+2根=0互相平行，

可得1x3-%（機(jī)-2）=0且2m—7x3/0,

21

即加2—2加-3=0且，“w—，解得機(jī)=-1或機(jī)=3

2

故選：C.

5.《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、

清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和

是40.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則冬至的日影子長為（）

A.6.5尺B.13.5尺C.14.5尺D.15.5尺

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項(xiàng).

【詳解】設(shè)冬至的日影長為6,雨水的日影長為4+4+%=405,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知

3a3=40.5=>%=13.5,芒種的日影長為4=4.5,

a.+2J=13.5

,,解得：q=15.5,d=—1,

q+1Id=4.5

所以冬至的日影長為15.5尺.

故選：D

6.如圖，在三棱柱ABC-44G中，M為AG的中點(diǎn)，若BA=a，BC=b，BBt=c，則下列向量

11,

B.-aH—b—c

22

11-

C.——a+—b+cD.-ClH—。+C

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量的運(yùn)算，用a,0,c為基底表示出3M，可得選項(xiàng).

【詳解】BM=BA+AA]+A]M^BA+BB1+^AC

=BA+BB、+g(8C—網(wǎng)=；BA+陰+；BC

1-1■

=—a+c~l—b

22

故選：D

7.已知橢圓工+工=1與x軸交于點(diǎn)4,B,把線段A8分成6等份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的

369

上半部分于點(diǎn)片，P2,上舄，P5,尸是橢圓C的右焦點(diǎn)，則山同+|呂產(chǎn)|+區(qū)同+區(qū)同+區(qū)尸|=

()

A.20B.1573C.36D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由題意知4與乙，乙與乙分別關(guān)于y軸對稱，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為耳，從而

11用+|鳥用=超用+|，61=2。,\P2F\+\P5F\=2a,\P3F\^a,利用

WW+I舄川+IAFI+I正尸I+W尸|=5a即可求解.

【詳解】由題意，知6與鳥，鳥與鳥分別關(guān)于y軸對稱

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為K,由已知67=6,

則I6FI+IA尸IH片尸|+|天耳1=2%同時(shí)|舄/I+W用=2。,|鳥尸|=。

.?.修廠|+|￡尸|+|鳥尸|+由尸|+|之尸|=54=30

8.已知圓。的半徑為5,|。尸|=3,過點(diǎn)P的2021條弦的長度組成一個(gè)等差數(shù)列{4},最短弦長為

，最長弦長為電021，則其公差為(

C-1

A.—B.-^―D.——

20201010

【答案】B

【解析】

【分析】

可得過點(diǎn)尸的最長弦長為直徑，最短弦長為過點(diǎn)P的與OP垂直的弦，分別求出即可得出公差.

【詳解】可得過點(diǎn)P的最長弦長為直徑，.???2021=10,

最短弦長為過點(diǎn)p的與OP垂直的弦，a,=2,52-32=8，

?，卜奚d="2021-q=2=]

'匚2021-120201010-

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知圓G"2+y2=i和圓&：犬+>2-4%=0的公共點(diǎn)為A,B,貝IJ()

A.|C,C2|=2B.直線AB的方程是》=

C.ACt±AC2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

兩圓相減就是直線AB的方程，再利用圓心距，判斷C,利用弦長公式求|A8].

【詳解】圓C1的圓心是(0,0),半徑｛=1,圓。2：(萬一2)2+丁=4,圓心(2,0),弓=2,

二|。|。2|=2,故A正確；

兩圓相減就是直線AB的方程，兩圓相減得4x=lnx=’，故B正確；

|ACj=l,|AG|=2,|GG|=2，|AC/+|AG「W|GG『，所以AC|LAC2不正確，故C不正確;

圓心(0,0)到直線x=；的距離J=\\AB\=2>Jr-d22/」=姮,故D正確.

V162

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵選項(xiàng)是B選項(xiàng)，當(dāng)兩圓相交，兩圓相減后的二元一次方程就是相交弦所

在直線方程.

10.已知空間四點(diǎn)0(0,0,0),A(0,1,2),8(2,0,-1),。(3,2,1),則下列說法正確的是()

--2

A.OAOB=-2B.cos<0A,05〉=——

C.點(diǎn)。到直線的距離為正D.0,A,B,C四點(diǎn)共面

【答案】ABC

【解析】

【分析】

計(jì)算數(shù)量積判斷A,求向量夾角判斷B,利用向量垂直判斷C,根據(jù)空間向量共面定理判斷D.

【詳解】OA=(()/,2),08=(2,(),-1),

OA-05=0x2+1x0+2x(-1)=-2,A正確;

「1廣=正確.

cos<OA,OB>=網(wǎng)f網(wǎng)?=氐括5,'BB止確，

8c=(1,2,2),O33C=2xl+()x2+(-l)x2=(),所以06J.6C，|。同=石，所以點(diǎn)0到直線

8C的距離為不，C正確；

OC=(3,2,1),

假設(shè)若。，4,B,C四點(diǎn)共面，則。4,08,。右共面，設(shè)0C=x0A+y08,

'2y=3

則<x=2,此方程組無解，所以0,A,B,C四點(diǎn)不共面，D錯(cuò).

2x-y=\

故選：ABC.

t

11.若數(shù)列｛工｝滿足片=1，K=l,Fll^Fn_l+Fll_2(n>3,n&N),則稱｛工｝為斐波那契數(shù)列.記

數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S“，則()

A.F；=F5F1+\B.S6=F^-\

C.K+居+居+…+鳥=/D.k+&+用2+…+皮=月入

【答案】BC

【解析】

【分析】由遞推式分別求出與，工，…，外)，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)槎?1,6=1,%=耳1+居_2(〃-3，〃€""),

所以瑪=K+6=2,且=6+工=3,

月=總+瑪=5,笈=月+且=8,

居=冢+月=13，&="+笈=21，

居二耳+耳=34,%=葛+K=55,

所以汽=64,^+1=66,以*月入+1,故A錯(cuò)誤；

56=1+1+2+3+5+8=20,&—1=20,S6=7^—1,故B正確；

耳+8+乙+...+K=1+2+5+13+34=55=彳。，故C正確；

邛+同+號+…+42=1+1+4+9+25+64=104,鳥片=13x21=273,

所以8+6+62+.+42w外丹,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.已知常數(shù)a＞0,點(diǎn)A（-a,0）,8（a,0）,動點(diǎn)M（不與A,B重合）滿足：直線AM與直線的斜率之

積為根（加￥0）,動點(diǎn)M的軌跡與點(diǎn)A,8共同構(gòu)成曲線C,則關(guān)于曲線C的下列說法正確的是（）

A.當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，曲線C表示橢圓

B.當(dāng)機(jī)＜—1時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓

C.當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，曲線C表示雙曲線，其漸近線方程為曠=±丁嬴

D.當(dāng)機(jī)＞一1且〃2Ho時(shí)，曲線C的離心率是Jl+m

【答案】BCD

【解析】

【分析】

22

設(shè)M（x,y）,則'?二—m,即曲線c的方程為與―二=1,然后利用橢圓和雙曲線的知識逐

x+ax-aama~

一判斷即可.

22

【詳解】設(shè)則二一?’m,所以丁2=加（丁一片），即曲線c的方程為—=1

x+ax-aama

當(dāng)m＜0且加/一1時(shí)，曲線C表示橢圓，故A錯(cuò)誤

當(dāng)機(jī)＜一1時(shí)，一根/＞/,曲線c表示焦點(diǎn)在y軸上橢圓，故B正確

當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，曲線C表示雙曲線，其漸近線方程為y=土而x,故C正確

當(dāng)相＞0時(shí)，曲線C表示雙曲線，其離心率為/+空1=JTT/

當(dāng)一1＜根＜0時(shí)，曲線C表示橢圓，其離心率為［三*=屈方,故D正確

故選：BCD

三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.

13.在直角坐標(biāo)系中，直線x+&y-3=0的傾斜角是一.

【答案】150°

【解析】

【分析】求得直線的斜率，由此求得直線的傾斜角.

【詳解】直線的斜率為-如，所以傾斜角為150°.

3

故答案：150°

【答案】2

【解析】

【詳解】由題意，得e=±=Jl+昌2-71+3=2.

a\a

15.己知正方形ABC。的邊長為2,分別是邊AB,CD的中點(diǎn)，沿ER將四邊形AEFD折起，使二

面角A—印一B的大小為60，則AC兩點(diǎn)間的距離為.

【答案】V5.

【解析】

【分析】取BE的中點(diǎn)G,然后證明NAE3是二面角A—防一B的平面角，進(jìn)而證明AG_LGC,最后

通過勾股定理求得答案.

【詳解】如圖，取BE的中點(diǎn)G,連接AG,CG,由題意EELAE,EE_LBE,則NA￡8是二面角

的平面角，則NAEB=60°,又AE=BE=1，貝LABE是正三角形，于是

AG±BE,AG^—.

B&------------------------------

根據(jù)后尸，42￡尸_18￡,4￡門8后=￡可得：律人平面ABE,而4Gu平面ABE,所以

EF1AG,而AGLBE,BEcEF=E,則AG_L平面8CFE,又GCu平面BCFE,于是,

AGLGC,又GO?=8C2+BG2=U,所以AC=‘AG?+GC?=、R+?=技

4N44

故答案為：75.

16.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前”項(xiàng)和S,,滿足2s=。“+1,則?！?；記國表示

不超過x的最大整數(shù)，例如同=3,[—1.5]=—2,若2=之+1,設(shè)也｝的前〃項(xiàng)和為T“，則既=

【答案】①.2n-l；②.60.

【解析】

S,n=l,

【分析】先根據(jù)〃〃1c并結(jié)合等差數(shù)列的定義求出然后討論〃的取值范圍，討論出

⑸-S"22

bn分別取123,4,5的情況,進(jìn)而求出Tn.

【詳解】由題意，S=(/+-，”=1時(shí)，a=(4+，=>a=1，滿足4>0，

"41*4104'

〃之2時(shí)，s=(%+1)，于是，

a4

4=S,-S,i=(為：)_(%-；In(%+%)(6,_q--2)=0，因?yàn)椤！?gt;0,所以

4一。,1-2=00可-41=2.所以，｛〃“｝是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以

an=l+2(n-1)=2n—1.

若殳<1=2〃一1<10=>〃<〃，即時(shí)，bn=2+1=1，

10210

若1?)<2=1042〃—1<20=]<〃<§,則6W〃W10時(shí)，b?=

若2?%<3-20<2〃-1<30=引〈二，則11W〃W15時(shí)，2=靠+1=3,

10221()_

a3141%]+1=4,

若3<1<4=>30<2〃-1<40=>—<n<—,則164〃420時(shí)，b=

102210

若4<殳<5=40<2〃—1<50=￡<〃<"，則〃=21或22時(shí)，b?=%+1=5,

1022L10j

于是，T22=(1+2+3+4)X5+5X2=60.

故答案為：2〃-1；60.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在三角形ABC中,已知點(diǎn)4(4,0),5(-3,4),C(l,2).

(1)求BC邊上中線所在的直線方程；

(2)若某一直線過點(diǎn)8,且y軸上截距是X軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程.

【答案】(1)3x+5y-12=0

(2)4x+3y=0或2x+y+2=0

【解析】

【分析】(1)求出中點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求方程即可；(2)直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)利用截距式方程求解即可

【詳解】(1)VB(-3,4),C(l,2),

線段的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一1,3),

又3c邊上的中線經(jīng)過點(diǎn)4(4,0),0=4+1產(chǎn)_4),

即3x+5y-12——0,

故邊上中線所在的直線方程3x+5y-12=0

(2)當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均為o時(shí)，可設(shè)直線的方程為y=h，

代入點(diǎn)8(-3,4),貝|]4=一3左，解得％=—g,

4

所以所求直線的方程為y=-即4x+3y=0；

當(dāng)直線在X軸和y軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為2+上，=1,

m2m

代入點(diǎn)8(-3,4),則三+二=1,解得

m2m

所以所求直線的方程為2x+y+2=0,

綜上所述，該直線的一般式方程為4x+3y=0或2x+y+2=0.

18.已知數(shù)列{4},若.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列I」一）的前〃項(xiàng)和

從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，然后對題目進(jìn)行求解.

①4+++〃〃=/；

②q=l,4=7，2。,=4_]+%+|（〃eN*,〃'2）；

③4=1,點(diǎn)A（〃,a“），8（〃+1M“+I）在斜率是2的直線上.

【答案】答案見解析.

【解析】

【分析】（1）若選①，根據(jù)通項(xiàng)公式與前“項(xiàng)和的關(guān)系求解通項(xiàng)公式即可；

若選②，根據(jù)2%=%+（（〃eN*,〃22）可得數(shù)列｛”“｝為等差數(shù)列，利用基本量法求解通項(xiàng)公式即

可；

若選③，根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式可得4川-=2,可得數(shù)列｛??｝為等差數(shù)列進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；

（2）利用裂項(xiàng)相消求和即可

【詳解】解：（1）若選①，由6+4+%++4="2，

所以當(dāng)〃22,4+4+4++q-1=（〃一1）,

22

兩式相減可得：an=n—（n—l）-2n—\,

而在6+。2+。3++a”=〃-中，令n=1可得：4=1,符合上式，

故=2n-l.

若選②，由2a“=a,_1+4+|（〃eN*,〃22）可得：數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，

又因?yàn)閝=1,2=7,所以。4一％=3",即d=2,

所以a“=1+（〃-1）x2=2〃-1.

若選③，由點(diǎn)4（〃,。“），3（〃+1，4用）在斜率是2的直線上得：（：；[；〃=2,

即為+i-4=2，

所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列且4=1+（"-1）x2=2〃-1.

11if11A

(2)由(1)知：-----=77---------77=------------7

44+1(2〃—1)(2〃+1)2\2n—12n+lJ

1n

=51Ui2/1+1LJ2n+l'

19.已知圓。與工軸相切，圓心在直線y=3x上，且到直線y=2x的距離為害.

(1)求圓。的方程；

(2)若圓。的圓心在第一象限，過點(diǎn)(1,0)的直線/與C相交于A、8兩點(diǎn)，且|A8|=3上，求直線/

的方程.

【答案】(1)(x—1了+(丁—3)2=9或(》+1)2+(丁+3)2=9

(2)x-y—1=0或x+y—1=0

【解析】

【分析】(1)設(shè)圓心。的坐標(biāo)為3a),則該圓的半徑長為3同，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得。的

值，即可得出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)利用勾股定理可求得圓心C至1/的距離，分析可知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為

y=人(％—1),利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得關(guān)于左的方程，解出女的值，即可得出直線/的方程.

【小問1詳解】

解：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,3a),則該圓的半徑長為ya|,

因?yàn)閳A心C到直線y=2x的距離為里=好，解得。=±1,

石5

所以圓心C的坐標(biāo)為(1,3)或(-1,-3),半徑為3,

因此，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—l『+(y—3)2=9或(*+1)2+(丁+3)2=9.

【小問2詳解】

解：若圓C的圓心在第一象限，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—+(y—3>=9.

因?yàn)閨AB|=30,

若直線/斜率不存在，則直線/的方程為x=l,此時(shí)圓心C到直線/的距離為2,不合乎題意;

所以，直線/的斜率存在，可設(shè)直線/的方程為>=左（％-1）,即依-y-A=O,

由題意可得d=/=」一,解得4=±1,

VFTi2

所以，直線/的方程為y=x-l或y=l—x,即x-y—l=O或x+y-l=O.

20.四棱錐P-/WCD底面為平行四邊形，且NA6C=60,PA=A5=2,AO=3,Q4_L平面

ABCD,BM=-BC.

3

（1）在棱PO上是否存在點(diǎn)N,使得/>3〃平面AMN.若存在，確定N點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.

（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

PN1

【答案】（I）存在點(diǎn)N,且一=一，理由見解析；

ND3

3x/258

86

【解析】

【分析】（1）連接AM、8。相交于點(diǎn)。，連接PO、NO,利用線面平行的性質(zhì)可得M9〃P6,

根據(jù)A￡>〃剛可得答案；

3

（2）以A為原點(diǎn)，分別以AM、AD.AP所在的直線為％、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面

PC。的法向量為，利用線面角的向量求法計(jì)算可得答案.

【小問1詳解】

PN1

存在點(diǎn)N,且一=一時(shí)〃平面理由如下：

ND3

連接40、8□相交于點(diǎn)。，連接NO,則平面P8D「平面A"N=M9,

若PB〃平面AMN,NOu平面依0平面所以NO//PB,

因?yàn)锽M=-BC=-AD,所以80=,。。，PN=-ND,

3333

PN1

所以——=—時(shí)PBH平面AMN；

ND3

由余弦定理可得AM?=AB2+3M2-2A8X8WCOS60=3，

由4笈=匐/2+3用2可得4MJ_BC，AM_LAD，又P4_L平面ABC。，

以A為原點(diǎn)，分別以40、AD.AP所在的直線為工、八z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則尸(0,0,2),B(V3,-l,0),C(V3,2,0),0(0,3,0),PB=(6,—1,—2),PD=(0,3,-2),

PC=(^,2,-2),

設(shè)平面PCD的法向量為〃=(x,y,z),

PCn=Q3y-2z=09

所以《,即《回2—z=。'令i則2=3,產(chǎn)

PD?〃二0

(26

所以〃=［：

設(shè)直線PB與平面PCD所成角的為0,

PBF__3V258

所以sin，=cos(P3,〃

所以直線總與平面PCQ所成角的正弦值為空更.

86

21.設(shè)｛%｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列也｝滿足勿=等.已知外,3%,9%成等差數(shù)列.

（1）求｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

C

⑵記S“和7；分別為&｝和也｝的前〃項(xiàng)和.證明：T”〈芍.

1n

【答案】（1）??=dr'.d=:7；（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及q得到9d—6q+l=0,解方程即可；

（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出再作差比較即可.

【詳解】（1）因?yàn)椋麨椋鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且為,34,9%成等差數(shù)列,

所以6a2=q+9%，所以6。?=。1+9qq2,

即9d—64+1=0,解得q=g,所以a“=（?i,

（2）［方法一］:作差后利用錯(cuò)位相減法求和

i-lfl11

2

33

2n——1n——

由⑧-⑨得士「“=—▲+112_,_2

—rH—7++------r

3"231323"----2T3"

3

n——

所以「12n

1n

4x3"-22X3"T2X3"-'

因此

q

故

［方法二］【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法

1x(1-—),

證明：由(1)可得s,.=——

1---

3

2

+

+H---3--”--1-F)①

112n—\n三

7+7++『產(chǎn)，②

；（T）〃

①-②得V=；+/+/+1n(T*

H----------------

,,+I

3"33〃+i2

31〃

所以Z，=W-萬

V3In(1-)=n八

所以Z「寸=^（1_要）_2.r4F----<0,

23

q

所以（＜奇?

［方法三］:構(gòu)造裂項(xiàng)法

，令c,=(a〃+/?)(；),且仇=%一￡

由（I）知。即

,13n+l)

n

2(1

n={an+/3)--[a(〃+l)+/?]

3r

3333、

通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得a=2,尸=［,所以%=-n-\■一

247

33n

則Z,=4+4++a=q-%+i,下同方法二.

4421

［方法四］:導(dǎo)函數(shù)法

、匹尤(1一%J

設(shè)/(x)=x+x+X++x"=-------

1-x

,=卜(1一龍")]'(1-X)-[x(l-X")卜(1一%)'_1+6+1_(〃+l)x"

1-x(1-X)2(1-X)2

1+nx"+l—(A?+l)x"

則f'(x)=1+2x+3/++nx"-'

(If

fn

又bn=n-

"3

1+2><；+3g|++

所以T“=b]+b2+b3++叱咱=

4"咽-(”+咽=乂M)0，下同方法二

【整體點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活

選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.

(2)的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；

方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得S“,7；,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解;

方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂