《電路分析基礎(第三版)》(沈元隆-劉棟-編著)-第5章

5-5一階電路的全響應全響應：由儲能元件的初始儲能和獨立電源共同引起的響應。下面討論RC串聯(lián)電路在直流電壓源作用下的全響應。：uC(0-)=U0。t=0時開關閉合。為了求得電容電壓的全響應，以uC(t)為變量，列出電路的微分方程iCRt=0+Us-+uC(0-)=U0-其解為代入初始條件uC(0+)=uC(0-)=U0，可得求得A=U0-US那么：uC(0+)=U0=A+US

也就是說電路的完全響應等于零輸入響應與零狀態(tài)響應之和。這是線性動態(tài)電路的一個根本性質(zhì)，是響應可以疊加的一種表達。上式可改寫為tuC(t)U0USUS<U0uCzi(t)uCzS(t)tuC(t)U0USUS<U0uCp(t)uCh(t)U0-USuC(t)=uCh(t)+uCp(t)uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)5-6一階電路的三要素法

iSGLiLC+uS-R+uC-假設用r(t)來表示電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)，上述兩個電路的微分方程可表為統(tǒng)一形式r(0+)表示電容電壓的初始值uC(0+)或電感電流的初始值iL(0+)；

=RC或

=GL=L/R；w(t)表示電壓源的電壓uS或電流源的電流is。其通解為因而得到一階電路任意鼓勵下uC(t)和iL(t)響應的公式t=0+代入，得：推廣應用于任意鼓勵下任一響應在直流輸入的情況下，t時，rh(t)0，rp(t)為常數(shù)，那么有因而得到

r(0+)——響應的初始值r(

)——響應的終值，

——時間常數(shù)=RC,=L/R三要素：tr(t)r(

)

r(0+)r(

)>r(0+)

tr(t)r(0+)

r(

)

r(

)<r(0+)三要素公式的響應波形曲線可見，直流鼓勵下一階電路中任一響應總是從初始值r(0+)開始，按照指數(shù)規(guī)律增長或衰減到穩(wěn)態(tài)值r()，響應的快慢取決于的時間常數(shù)。注意：〔1〕直流鼓勵；〔2〕一階電路任一支路的電壓或電流的〔全〕響應；〔3〕適合于求零輸入響應和零狀態(tài)響應。直流鼓勵下一階電路的全響應取決于r(0+)，r()和這三個要素。只要分別計算出這三個要素，就能夠確定全響應，而不必建立和求解微分方程。這種方法稱為三要素法。三要素法求直流鼓勵下響應的步驟：1.初始值r(0+)的計算〔換路前電路已穩(wěn)定〕(1)畫t=0-圖，求初始狀態(tài)：電容電壓uC(0-)或電感電流iL(0-)。(2)由換路定那么，確定電容電壓或電感電流初始值，即uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)。(3)畫0+圖，求其它初始值——用數(shù)值為uC(0+)的電壓源替代電容或用iL(0+)的電流源替代電感，得電阻電路再計算2，穩(wěn)態(tài)值r()的計算(畫終了圖)根據(jù)t>0電路到達新的穩(wěn)態(tài)，將電容用開路或電感用短路代替，得一個直流電阻電路，再從穩(wěn)態(tài)圖求穩(wěn)態(tài)值r()。3，時間常數(shù)

的計算(開關已動作)先計算與電容或電感連接的電阻單口網(wǎng)絡的輸出電阻Ro，然后用公式

=RoC或

=L/Ro計算出時間常數(shù)。4，將r(0+),r(

)和

代入三要素公式得到響應的一般表達式。注意點：三要素公式可以計算全響應、零輸入響應分量和零狀態(tài)響應。但千萬不要認為就推廣到一般，得出結(jié)論，所有的響應應該是：如求全響應。+－RC+－+－R+－圖外鼓勵引起內(nèi)鼓勵引起從另一個角度說：只有電容電壓和電感電流，只要知道全響應表達式，就可以把它分成零輸入響應(分量)和零狀態(tài)響應(分量)。否那么，在僅知道全響應的表達式時，無法將零輸入響應(分量)和零狀態(tài)響應(分量)分開。非要知道電路，畫出零輸入的圖或零狀態(tài)的圖，求出零輸入響應或零狀態(tài)響應來才行。例16電路原處于穩(wěn)定狀態(tài)。求t

0的vC(t)和i(t)，并畫波形圖。解：1，計算初始值uC(0+)、i(0+)開關閉合前，電路已穩(wěn)定，電容相當于開路，電流源電流全部流入4

電阻中，uC+-0.1F4

4

2

i10V+-2At=0由于開關轉(zhuǎn)換時，電容電流有界，電容電壓不能躍變，故

畫0+圖如右8V+-4

4

2

i(0+)10V+-2A2，計算穩(wěn)態(tài)值uC(

)、i(

)

10VuC(

)+-4

4

2

i(

)+-2A換路后，經(jīng)一段時間，重新穩(wěn)定，電容開路，終值圖如右，運用疊加定理得3，計算時間常數(shù)

計算與電容相連接的電阻單口網(wǎng)絡的輸出電阻，它是三個電阻的并聯(lián)時間常數(shù)為10Vi(t)uC+-4

4

2

+-2A4，將初始值、終值及時間常數(shù)代入三要素公式，得到響應表達式：下面看響應過程——波形ti(t)1.5

15/3uC(t)t8

70例17求u(t)和i(t)。：uC(0-)=0uC-4

0.01F4

+2Ai+2i-+u-t=0解：1，計算初始值uC(0+)、i(0+)零狀態(tài)電路，由換路定那么得：畫0+圖如右,用節(jié)點法4

4

2Ai(0+)+2i(0+)-+u(0+)-ab解得：那么：2，計算穩(wěn)態(tài)值u(

)、i(

)

t，電路重新到達穩(wěn)定，電容開路，終值圖如右，得：4

4

2Ai(

)+2i(

)-+u(

)-u(

)=0i(

)=2A時間常數(shù)為代入三要素公式得：

3，計算時間常數(shù)

電容相連接的電阻網(wǎng)絡如右圖，用加壓求流法得：4

4

i+2i-Req例18求u(t)。：解：電路可分成兩局部分別求響應，然后迭加。uC-1

0.5F2

+1A+u-t=01HiL2

+u(t)_RC局部：uC-1

0.5F2

+1At=01H2

+u(t)_uL-+uC+-0.5F2

1A所以RL局部：uC-1

0.5F2

+1At=01H2

+u(t)_uL-+所以uL+-1H2

1A例19開關在a時電路已穩(wěn)定。t=0倒向b,t=R1C倒向c，求t

0的iC(t)并畫波形解：t<0時，uC(0-)=0。第一次換路后由換路定那么得：iC(t)CR2R1Us+-abciC(t)CR1Us+-iC(t)CR1Us+-t=R1C時，第二次換路,由換路定那么得：iC(R1C+)R1R2+US(1-e-1)-得t=R1C+圖如上：tiCUS/R1例20原電路已穩(wěn)定。求t

0的iC(t)和uC(t)。

解：求初始狀態(tài)uC-0.5F1

iL6

10V+-t=00.1H+2V-+3

2

換路后，電路可分成兩局部uC-0.5F1

iL6

10V+-0.1H+2V-+3

2

2V-+所以5-7一階電路的特殊情況分析1.R＝0或G＝0的情況；2.特殊情況——電路含全電容回路或全電感割集；電容電壓和電感電流不連續(xù)，即跳變——換路定那么失效。求初試值依據(jù)——瞬間電荷守恒，磁鏈守恒3.所謂“陷阱”。例如：電路原已穩(wěn)定，求開關動作后的電流i。+10V-iiLt=05

5

1H解：由換路定那么：得如果認為用三要素公式，得取極限，得最后，得可見，采取極限的方法，三要素公式仍然是成立的。對偶地，儲存電場能電容的情況。

+－2V例21:uC1(0-)=U1,uC2(0-)=U2，試求uC1(0+),uC2(0+)解：開關閉合后，兩個電容并聯(lián)，按照KVL的約束，兩個電容電壓必相等，即：再根據(jù)在開關閉合前后節(jié)點的總電荷守恒定律，可得t=0C1C2+uC1(t)

-+uC2(t)

-聯(lián)立求解以上兩個方程，代入數(shù)據(jù)得當U1U2時，兩個電容的電壓都發(fā)生了跳變，uC1(t)由U1變?yōu)閡C(0+),uC2(t)那么由U2變?yōu)閡C(0+)。從物理上講，這是因為兩個電容上有電荷移動所形成的結(jié)果，由于電路中電阻為零，電荷的移動迅速完成而不需要時間，從而形成無窮大的電流，造成電容電壓發(fā)生躍變。如果，改變?yōu)榈刃щ娐返姆椒ā+－原題目的圖簡化為C+－+－+－C1C2+－例22原電路已穩(wěn)定，試求iL1(t),iL2(t),t>0L1L2+US-R1iL1iL2R2t=0解：〔1〕求初始值：換路前，電路已穩(wěn)定：換路后，全電感割集，磁鏈守恒同理，改變?yōu)榈刃щ娐返姆椒??！?/p>

I0I0〔2〕求穩(wěn)態(tài)值：圖：由于電感電流發(fā)生跳變時，電感電壓為無窮大。得圖為〔3〕求時間常數(shù)：〔4〕代入三要素公式例23圖示RC分壓器電路原已穩(wěn)定。試求t>0時uC2(t).R1R2C1C2t=0+US-+uC2(t)-+uC1(t)-a解：將圖中的電壓源置零后，電容C1

和C2并聯(lián)等效于一個電容，說明該電路是一階電路，三要素法仍適用。為使uC2(t)無過度過程，C1取何值？〔1〕求時間常數(shù)：換路后，電源置零得以下圖。其時間常數(shù)為R1//R2C1+C2〔2〕求初始值：在t<0時，電路處于零狀態(tài)，uC1(0-)=uC2(0-)=0。此式說明電容電壓的初始值不再為零，發(fā)生躍變，因為含全電容回路，換路定那么失效，要用電荷守恒。對節(jié)點a可得換路后，在t=0+時刻，兩個電容電壓應滿足KVL聯(lián)立解得：R1R2+US-+uC2(t)-a〔3〕求終值t時，電路到達新的穩(wěn)定，電容開路，得終值圖如下〔4〕代入三要素公式，得：uC2(t)R1C1>R2C2R1C1=R2C2R1C1<R2C2t0〔5〕由上式看出，輸出電壓的穩(wěn)態(tài)分量由兩個電阻的比值確定，其暫態(tài)分量還與兩個電容的比值有關。改變電容C1可得到三種情況，當R1C1=R2C2時，暫態(tài)分量為零，輸出電壓馬上到達穩(wěn)態(tài)值，這種情況稱為完全補償；當R1C1<R2C2或R1C1>R2C2時，暫態(tài)分量不為零，輸出電壓要經(jīng)過一段時間才到達穩(wěn)態(tài)值，前者稱為欠補償，后者稱為過補償。這就是在很多高頻測量儀器的輸入RC分壓電路(例如示波器的探頭)中設置一個微調(diào)電容器的原因，用戶可以調(diào)節(jié)這個電容器來改變時間常數(shù)，令R1C1=R2C2，從而得到?jīng)]有失真的輸出波形。例24求t>0時的uC1(t),uC2(t)和i(t)，畫出它們的波形。uC1(0-)=10V，uC2(0-)=0V。t=03FC12FC2+uC1(t)

-+uC2(t)

-i(t)R=10

解：含全電容割集，兩個電容可等效為一個獨立電容。是一階電路，用三要素法〔1〕求時間常數(shù)t=03FC12FC2+uC1(t)

-+uC2(t)

-i(t)R=10

〔2〕求初始值〔3〕求終值由KVL，得：由電荷守恒：t

，電路穩(wěn)定：也可以再次應用電容或電感的等效圖。+－C1C2+－+－畫終了圖如下：聯(lián)立解得：〔4〕代三要素公式，得：10V6V1A0tuC1(t)i

(t)uC2(t)波形圖：兩個電容上的6V電壓，象掉入“陷阱”一樣，永遠跑不掉。5－8階躍信號和階躍響應

5－8-1階躍信號

定義：0t(t)1延遲單位階躍信號：

0t0t(t-t0)1階躍信號用途：

1.描述開關動作t=0+2V-電路+2(t)V-電路2.表示各種信號0t0tAf(t)012t21f(t)0/2tAf(t)f(t)=(t)-(t-1)-2(t-1)f(t)=Asint[(t)-(t-)]5－8-2階躍響應

單位階躍響應s(t)：零狀態(tài)時電路在單位階躍信號鼓勵下的響應。t=0+1V-+v-t=01Ai把(t)看作以下圖開關動作，那么求解階躍響應〔零狀態(tài)〕可用三要素法圖(a)RC串聯(lián)電路，初始值uC(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值uC(

)=1，時間常數(shù)

=RC。圖(b)RL并聯(lián)電路，初始值iL(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值iL(

)=1，時間常數(shù)

=L/R?？煞謩e得到uC(t)和iL(t)的階躍響應如下。

例25用階躍函數(shù)表示左圖所示的方波電流，再求iL，并畫出波形。iSiL1HLR2

01t2iS解法一：左圖所示的方波電流，可以用兩個階躍函數(shù)表示:iS(t)=2

(t)-2

(t-1)A

由于是線性電路，根據(jù)動態(tài)電路的疊加定理，其零狀態(tài)響應等于2

(t)和-2

(t-1)兩個階躍電源單獨作用引起零狀態(tài)響應之和。

〔1〕先求單位階躍響應s(t)

(t)s(t)1HLR2

所以：s(t)=(1-e-2t)

(t)τ=L/R=0.5Ss(∞)=1s(0+)=s(0-)=

0〔2〕應用線性及時不變性〔3〕疊加，2(t)-2(t-1)作用的零狀態(tài)響應為iL(t)=2s(t)-2s(t-1)由于：

(t)→

s(t)=(1-e-2t)

(t)A由線性：2

(t)→2

s(t)=2(1-e-2t)

(t)A-2

(t)→-2s(t)=-2(1-e-2t)

(t)A時不變：

(t-1)→s(t-1)=[1-e-2(t-1)]

(t-1)A=2(1-e-2t)

(t)-2[1-e-2(t-1)]

(t-1)A黃線和紫線分別表示2s(t)和-2s(t-1)。它們相加得到iL(t)波形，如紅線所示iL(t)201t-2解法二：將鼓勵看作兩次開關動作2AiL1HLR2

t=0t=1iL(t)201t第一次換路，充電第二次換路，放電。例26求t>0時的i(t)，uC(0-)=2V。0.5F+uS-2

+uC-i(t)uS2-1012t先求零輸入響應izi(t).izi(0+)=-1A，時間常數(shù)

=RC=1s。解：〔1〕所以：izi(t)=-e-tA,t>0〔2〕求零狀態(tài)響應iCzs(t).先求單位階躍響應s(t).0.5F+uS-2

+uC-i(t)初始值uC(0+)=0,iC(0+)=0.5A，由于uS(t)=-

(t)+3

(t-1)-2

(t-2),所以，零狀態(tài)響應為s(t)=0.5e-t

(t)〔3〕全響應i(t)=izs(t)+izi(t)

izs(t)=-s(t)+3s(t-1)-2s(t-2)=-0.5e-t

(t)+1.5e-(t-1)

(t-1)-e-(t-2)A=-0.5e-t

(t)+1.5e-(t-1)

(t-1)-e-(t-2)A-e-tA,t>05-9脈沖序列作用下的一階電路分析C+uS-R+uC-+uR-0T2T3T4TtuS(t)US1.當T>4

時：在0<t<T，電容由零狀態(tài)充電，t=T時達穩(wěn)態(tài)值US；在T<t<2T，電容由US放電，直至0。0T2T3T4TtuS(t)US0T2T3T4T

tuC(t)US02T4T

tuR(t)US-UST微分電路：(輸出等于輸入的微分)當＝RC<<T

,(即＝RC很小時)2.T<4

時：在0<t<T，電容由零狀態(tài)充電，t=T時，uC(T)尚未至穩(wěn)態(tài)值US；在T<t<2T，電容由uC(T)放電，uC(2T)不為0。第二周期由uC(2T)開始充電。0T2T3T4T

tuC(t)US假設干周期后，充放電過程達穩(wěn)態(tài)。0T2T3T4T

tuC(t)USUAUB-UB對照式(5-55):解得：可見：積分電路：(輸出等于輸入的積分)當T<<

時，(即=RC很大時)摘要1、線性時不變電容元件的特性曲線是通過q-v平面坐標原點的一條直線，該直線方程為

電容的電壓電流關系由以下微分或積分方程描述

可見，電容電壓隨時間變化時才有電容電流。假設電容電壓不隨時間變化，那么電容電流等于零，電容相當于開路。因此電容是一種動態(tài)元件。它是一種有記憶的元件，又是一種儲能元件。儲能為電容的儲能取決于電容的電壓，與電容電流值無關

2、線性時不變電感元件的特性曲線是通過-i平面坐標原點的一條直線，該直線方程為

電感的電壓電流關系由以下微分或積分方程描述

可見，電感電流隨時間變化時才有電感電壓。假設電感電流不隨時間變化，那么電感電壓等于零，電感相當于短路。因此電感是一種動態(tài)元件。它是一種有記憶的元件，又是一種儲能元件。儲能為電感的儲能取決于電感的電流，與電感電壓值無關

3、電容和電感的一個重要性質(zhì)是連續(xù)性——假設電容電流iC(t)在閉區(qū)間[t1,t2]內(nèi)有界，那么電容電壓uC(t)在開區(qū)間(t1,t2)內(nèi)是連續(xù)的。例如電容電流iC(t)在閉區(qū)間[0+,0-]