第22講萬有引力定律及其應(yīng)用（練習(xí)）

第22講萬有引力定律及其應(yīng)用（模擬精練+真題演練）1．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）2022年10月15日我國成功將遙感三十六號(hào)衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道。如圖所示為某衛(wèi)星的發(fā)射過程示意圖，Ⅱ?yàn)闄E圓軌道，且與圓形軌道I和III分別相切于點(diǎn)，兩圓形軌道的半徑之比為，則下列說法正確的是（）

A．衛(wèi)星在軌道Ⅰ、II上運(yùn)行周期之比為B．衛(wèi)星在軌道Ⅱ、Ⅲ上運(yùn)行周期之比為C．衛(wèi)星在軌道Ⅱ上經(jīng)過兩點(diǎn)時(shí)的速度大小之比為D．衛(wèi)星在軌道Ⅱ上經(jīng)過兩點(diǎn)時(shí)的加速度大小之比為【答案】B【詳解】AB．由開普勒第三定律得解得；故A錯(cuò)誤，B正確；C．由開普勒第二定律得解得故C錯(cuò)誤；D．由牛頓第二定律得；聯(lián)立解得故D錯(cuò)誤。故選B。2．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考三模）如圖所示，哈雷彗星在近日點(diǎn)與太陽中心的距離為，線速度大小為，加速度大小為；在遠(yuǎn)日點(diǎn)與太陽中心的距離為，線速度大小為，加速度大小為，則（）

A． B．C． D．【答案】A【詳解】AB．由于哈雷彗星做的不是圓周運(yùn)動(dòng)，在近日點(diǎn)做離心運(yùn)動(dòng)，在遠(yuǎn)日點(diǎn)做近心運(yùn)動(dòng)，因此不能通過萬有引力充當(dāng)向心力計(jì)算其在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的線速度之比，需通過開普勒第二定律求解，設(shè)在極短時(shí)間內(nèi)，在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)哈雷彗星與太陽中心的連線掃過的面積相等，即有可得故故A正確，B錯(cuò)誤；CD．對(duì)近日點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有對(duì)遠(yuǎn)日點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有聯(lián)立解得故CD錯(cuò)誤。故選A。3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測）2023年1月21日，神舟十五號(hào)3名航天員在400km高的空間站向祖國人民送上新春祝福，空間站的運(yùn)行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ，設(shè)地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，橢圓軌道Ⅱ?yàn)檩d人飛船運(yùn)行軌道，兩軌道相切與A點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A．在軌道I通過A點(diǎn)的速度大于在軌道Ⅱ通過B點(diǎn)的速度B．載人飛船在A點(diǎn)的加速度大于在B點(diǎn)的加速度C．空間站在軌道I上的速度小于D．載人飛船沿軌道I和軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí)，在相同時(shí)間內(nèi)與地球連線掃過的面積相等【答案】C【詳解】A．如圖軌道Ⅱ與軌道Ⅲ內(nèi)切，沿軌道Ⅲ的運(yùn)行速度大于在軌道Ⅰ通過點(diǎn)的速度，軌道Ⅱ通過B點(diǎn)的速度大于軌道Ⅲ的運(yùn)行速度，則軌道I通過A點(diǎn)的速度小于軌道Ⅱ通過點(diǎn)的速度，故A錯(cuò)誤；

B.根據(jù)萬有引力提供向心力，有解得由圖可知，點(diǎn)到地心的距離大于點(diǎn)到地心的距離，所以在點(diǎn)的加速度小于在點(diǎn)的加速度，故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)萬有引力提供向心力有萬有引力等于重力有可知，是圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度，則空間站在軌道工上的速度小于，故C正確；D．根據(jù)開普勒第二定律可知，在同一條軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，相同的時(shí)間內(nèi)掃過相同的面積，而不同軌道間不滿足該條件，故D錯(cuò)誤。故選C。4．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖所示，從一質(zhì)量為M、半徑為2R的均勻球體的球心O處挖出一半徑為R的小球，將其移至兩球面相距R處，已知引力常量為G，則大球剩余部分和小球間的萬有引力大小為（）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】大球剩余部分和小球的質(zhì)量之比為質(zhì)量之和為所以大球剩余部分和小球的質(zhì)量分別為；所以二者之間的萬有引力大小為故選A。5．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）火星上是否存在液態(tài)水，一直是大眾關(guān)注的焦點(diǎn)。2023年5月5日消息，基于“祝融號(hào)”火星車觀測數(shù)據(jù)，我國科研人員首次發(fā)現(xiàn)“祝融號(hào)”著陸區(qū)的沙丘表面存在結(jié)殼、龜裂、團(tuán)?；⒍噙呅渭?、帶狀水痕等特征．假設(shè)火星為質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的a倍，火星半徑是地球半徑的b倍，火星表面的重力加速度為，地球表面的重力加速度為g，質(zhì)量均勻的球殼對(duì)其內(nèi)部物體的引力為零，則（）

A．B．火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍C．火星表面正下方距表面的深度為火星半徑處的M點(diǎn)的重力加速度為D．火星表面正上方距表面的高度為火星半徑處的N點(diǎn)的重力加速度為【答案】C【詳解】A．在地球表面根據(jù)萬有引力等于重力有可得而由題意知火星的質(zhì)量為，火星的半徑為，則可知火星表面的重力加速度為故A錯(cuò)誤；B．地球的第一宇宙速度即為物體在地球表面環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，有解得由此可知火星的第一宇宙速度為故B錯(cuò)誤；C．設(shè)以火星半徑的為半徑的球體的質(zhì)量為，火星的平均密度為，半徑為，則有，由此可得故C正確；D．設(shè)火星表面正上方距表面的高度為火星半徑處的N點(diǎn)的重力加速度為，則有故D錯(cuò)誤。故選C。6．（2023·湖南·模擬預(yù)測）北京時(shí)間2022年6月5日10時(shí)44分，搭載“神舟十四號(hào)”載人飛船的“長征二號(hào)”F遙十四運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，約577s后，“神舟十四號(hào)”載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功。北京時(shí)間2022年6月5日17時(shí)42分，“神舟十四號(hào)”成功對(duì)接“天和”核心艙徑向端口，整個(gè)對(duì)接過程歷時(shí)約7h。對(duì)接后組合體在距地面高為h的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，環(huán)繞的向心加速度為a，環(huán)繞的線速度為v，引力常量為G，則下列判斷正確的是（）A．組合體環(huán)繞的周期為 B．地球的平均密度為C．地球的第一宇宙速度大小為 D．地球表面的重力加速度大小為【答案】C【詳解】A．組合體的向心加速度解得故A錯(cuò)誤；D．組合體的軌道半徑由；；聯(lián)立解得故D錯(cuò)誤；B．地球的密度故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)地球的第一宇宙速度故C正確。故選C。7．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）2023年春節(jié)，改編自劉慈欣科幻小說的《流浪地球2》電影在全國上映。電影中的太空電梯場景非常震撼。太空電梯的原理并不復(fù)雜，與生活的中的普通電梯十分相似。只需在地球同步軌道上建造一個(gè)空間站，并用某種足夠長也足夠結(jié)實(shí)的“繩索”將其與地面相連，當(dāng)空間站圍繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，繩索會(huì)細(xì)緊，宇航員、乘客以及貨物可以通過電梯轎廂一樣的升降艙沿繩索直入太空，這樣不需要依靠火箭、飛船這類復(fù)雜航天工具。如乙圖所示，假設(shè)有一長度為的太空電梯連接地球赤道上的固定基地與同步空間站，相對(duì)地球靜止，衛(wèi)星與同步空間站的運(yùn)行方向相同，此時(shí)二者距離最近，經(jīng)過時(shí)間之后，第一次相距最遠(yuǎn)。已知地球半徑，自轉(zhuǎn)周期，下列說法正確的是（）

A．太空電梯各點(diǎn)均處于完全失重狀態(tài)B．衛(wèi)星的周期為C．太空電梯停在距地球表面高度為的站點(diǎn)，該站點(diǎn)處的重力加速度D．太空電梯上各點(diǎn)線速度與該點(diǎn)離地球球心距離成反比【答案】C【詳解】A．依題意，太空電梯各點(diǎn)隨地球一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只有位置達(dá)到同步衛(wèi)星的高度的點(diǎn)才處于完全失重狀態(tài)，故A錯(cuò)誤；B．同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等，為當(dāng)兩衛(wèi)星a、b第一次相距最遠(yuǎn)時(shí)滿足解得故B錯(cuò)誤；C．太空電梯長度即為同步衛(wèi)星離地面的高度，根據(jù)萬有引力提供向心力太空電梯停在距地球表面高度為2R的站點(diǎn)，太空電梯上貨物質(zhì)量為m,在距地面高2R站點(diǎn)受到的萬有引力為F，根據(jù)萬有引力公式則貨物繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)太空電梯對(duì)貨物的支持力為FN，合力提供向心力則有在貨梯內(nèi)有解得故C正確；D．太空電梯與地球同步轉(zhuǎn)動(dòng)，各點(diǎn)角速度相等，各點(diǎn)線速度，故各點(diǎn)線速度與該點(diǎn)離地球球心距離成正比，故D錯(cuò)誤。故選C。8．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）2021年5月15日，天問一號(hào)在火星上著陸，首次留下中國印跡，人類探索火星已不再是幻想。已知火星的質(zhì)量約為地球的，半徑約為地球的，自轉(zhuǎn)周期為（與地球自轉(zhuǎn)周期幾乎相同）。地球表面的重力加速度大小為，地球的半徑為。若未來在火星上發(fā)射一顆火星的同步衛(wèi)星，則該同步衛(wèi)星離火星表面的高度為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，由萬有引力等于重力有解得火星表面的重力加速度為由萬有引力提供向心力有解得故選A。9．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）假定月球?yàn)橘|(zhì)量分布均勻的球體，其半徑為，在月球表面測得重力加速度為，設(shè)為距離月球表面高度為時(shí)的重力加速度．當(dāng)比小得多時(shí)，和的關(guān)系式近似為（）[當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)近似公式為]A． B．C． D．【答案】D【詳解】物體在月球表面時(shí)，有物體距離月球表面高度為時(shí)，有聯(lián)立可得可得故選D。10．（2023·河北·模擬預(yù)測）甲、乙兩位同學(xué)分別站在地球的南極和赤道上，用大小相等的初速度將一個(gè)小球豎直向上拋出，小球落回手中的時(shí)間之比為k，不計(jì)空氣阻力。若已知地球密度為ρ，引力常量為G，則乙同學(xué)隨地球自轉(zhuǎn)的角速度大小為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)南極處的重力加速度為，小球落回手中的時(shí)間為t0，赤道處的重力加速度為g，小球落回手中的時(shí)間為t，由小球豎直上拋到達(dá)最高點(diǎn)得所以在南極，由萬有引力提供重力有在赤道，由萬有引力提供小球的重力和小球隨地球自轉(zhuǎn)的向心力有又聯(lián)立以上各式可解得故選A。11．（2023·江蘇徐州·高三聯(lián)考模擬預(yù)測）已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬有引力為零。假設(shè)火星是半徑為R的質(zhì)量分布均勻的球體，在火星內(nèi)挖一半徑為r（）的球形內(nèi)切空腔，如圖所示?，F(xiàn)將一小石塊從切點(diǎn)處由靜止釋放，則小石塊在空腔內(nèi)將做（）A．勻加速直線運(yùn)動(dòng) B．加速度變大的直線運(yùn)動(dòng)C．勻加速曲線運(yùn)動(dòng) D．加速度變大的曲線運(yùn)動(dòng)【答案】A【詳解】已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬有引力為零，那么在火星內(nèi)挖一球形內(nèi)切空腔后，小石塊的受力等于火星對(duì)小石塊的萬有引力減去空腔球體的萬有引力；設(shè)火星密度為，空腔半徑為，兩球心的距離為，那么小石塊受到的合外力為則小石塊的加速度為所以小石塊向球心運(yùn)動(dòng)，加速度不變，即小石塊在空腔內(nèi)將做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。故選A。12．（2023·湖南·高三聯(lián)考模擬預(yù)測）在劉慈欣的科幻小說《帶上她的眼睛》里演繹了這樣一個(gè)故事：“落日六號(hào)”地層飛船深入地球內(nèi)部進(jìn)行探險(xiǎn)，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年輕的女領(lǐng)航員，她只能在封閉的地心度過余生。已知地球可視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，且均勻球殼對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的引力為零。若地球表面的重力加速度為g，當(dāng)“落日六號(hào)”位于地面以下深0.5R處時(shí)，該處的重力加速度大小為（）A．0.25g B．0.5g C．2g D．4g【答案】B【詳解】設(shè)地球的密度為，則在地球表面地球的質(zhì)量為聯(lián)立可得，地表重力加速度表達(dá)式為由題意可知，地面以下深0.5R處的重力加速度相當(dāng)于半球?yàn)?.5R的球體表面的重力加速度，即對(duì)比可得，B正確。故選B。13．（2023·廣東清遠(yuǎn)·?？寄M預(yù)測）如圖所示，天問一號(hào)探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，周期為T。已知火星的半徑為R，火星的第一宇宙速度為v1，引力常量為G，則（）

A．火星的質(zhì)量為B．火星的密度為C．火星表面的重力加速度為D．停泊軌道的半長軸為【答案】BD【詳解】A．設(shè)火星的質(zhì)量為M，天問一號(hào)的質(zhì)量為m，當(dāng)天問一號(hào)繞火星表面運(yùn)行時(shí)，有可得，A錯(cuò)誤；B．又因?yàn)?；解得火星的密度，B正確；C．根據(jù)牛頓第二定律得火星表面的重力加速度，C錯(cuò)誤；D．設(shè)停泊軌道的半長軸為a，由開普勒第三定律有又因?yàn)榻獾肈正確。故選BD。14．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）2021年2月24日，“天問一號(hào)”探測器成功進(jìn)入火星停泊軌道，標(biāo)志著中國正式開始了對(duì)火星表面的探測活動(dòng)。若探測器繞火星做半徑為R、周期為T的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知火星的半徑為R0、自轉(zhuǎn)周期為T0，且火星可視為質(zhì)量均勻的球體，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（）A．火星的質(zhì)量為B．火星的質(zhì)量為C．火星赤道處的重力加速度為D．火星赤道處的重力加速度為【答案】BD【詳解】AB.設(shè)火星的質(zhì)量為M，“天問一號(hào)”的質(zhì)量為m，則由題意根據(jù)牛頓第二定律有解得故A錯(cuò)誤，B正確；CD.火星赤道處質(zhì)量為m0的物體所受重力是萬有引力的一個(gè)分力，萬有引力的另一個(gè)分力提供此物體隨火星自轉(zhuǎn)的向心力。設(shè)赤道處的重力加速度為g，則根據(jù)牛頓第二定律可得解得故C錯(cuò)誤，D正確。故選BD。15．（2022·海南·高考真題）火星與地球的質(zhì)量比為a，半徑比為b，則它們的第一宇宙速度之比和表面的重力加速度之比分別是（）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】由可得知由結(jié)合可得知故BC正確，AD錯(cuò)誤。故選BC。16．（2021·天津·高考真題）2021年5月15日，天問一號(hào)探測器著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下國人的印跡。天問一號(hào)探測器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過軌道調(diào)整，探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運(yùn)行，之后進(jìn)入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運(yùn)行，如圖所示，兩軌道相切于近火點(diǎn)P，則天問一號(hào)探測器（）A．在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài) B．在軌道Ⅰ運(yùn)行周期比在Ⅱ時(shí)短C．從軌道Ⅰ進(jìn)入Ⅱ在P處要加速 D．沿軌道Ⅰ向P飛近時(shí)速度增大【答案】D【詳解】A．天問一號(hào)探測器在軌道Ⅱ上做變速圓周運(yùn)動(dòng)，受力不平衡，故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)開普勒第三定律可知，軌道Ⅰ的半徑大于軌道Ⅱ的半長軸，故在軌道Ⅰ運(yùn)行周期比在Ⅱ時(shí)長，故B錯(cuò)誤；C．天問一號(hào)探測器從軌道Ⅰ進(jìn)入Ⅱ，做近心運(yùn)動(dòng)，需要的向心力要小于提供的向心力，故要在P點(diǎn)點(diǎn)火減速，故C錯(cuò)誤；D．在軌道Ⅰ向P飛近時(shí)，萬有引力做正功，動(dòng)能增大，故速度增大，故D正確。故選D。17．（2021·廣東·高考真題）2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核