2.1 圖形的軸對(duì)稱（原卷版）

2.1圖形的軸對(duì)稱1、了解軸對(duì)稱圖形的概念；

2、理解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：（1）對(duì)稱軸垂直平分連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)之間的線段；

（2）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形

知識(shí)點(diǎn)一軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形,這條直線就是它的對(duì)稱軸.也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱2.常見軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸名稱圖形及其對(duì)稱軸對(duì)稱軸的條數(shù)對(duì)稱軸角1角平分線所在的直線等腰三角形1底邊上的高(頂角平分線或底邊上的中線)所在的直線等邊三角形3各邊上的高(內(nèi)角平分線或中線)所在的直線等腰梯形1上、下底的中點(diǎn)的連線所在的直線圓無數(shù)過圓心的直線正方形4①對(duì)角線所在的直線;②對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在的直線正五邊形5頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在的直線正六邊形6①相對(duì)的兩頂點(diǎn)的連線所在的直線;②對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在的直線注意(1)對(duì)稱軸是一條直線,不是射線或線段.(2)一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以有1條,也可以有多條,還可以有無數(shù)條(3)軸對(duì)稱圖形是對(duì)于一個(gè)圖形而言的，反映的是其自身的對(duì)稱性對(duì)稱圖形有下面的性質(zhì):對(duì)稱軸垂直平分連結(jié)兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段即學(xué)即練（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

知識(shí)點(diǎn)二軸對(duì)稱1.兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱,這條直線叫做對(duì)稱軸,折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)2.成軸對(duì)稱的圖形和軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系成軸對(duì)稱的圖形軸對(duì)稱圖形區(qū)別意義不同兩個(gè)圖形之間的特殊位置關(guān)系一個(gè)形狀特殊的圖形圖形個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)對(duì)稱軸的位置不同可能在兩個(gè)圖形的外部,也可能經(jīng)過兩個(gè)圖形的內(nèi)部或它們的公共邊(點(diǎn))一定經(jīng)過這個(gè)圖形對(duì)稱軸的數(shù)量只有一條有一條或多條聯(lián)系(1)如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體,那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形;(2)如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形,那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱3.圖形的軸對(duì)稱有下面的性質(zhì)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形即學(xué)即練1（2023春·四川遂寧統(tǒng)考期末）一位交警在執(zhí)勤過程中，從汽車的后視鏡中看見某車牌的后5位號(hào)碼是，該車牌的后5位號(hào)碼實(shí)際是即學(xué)即練2（2023春·安徽宿州·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC和△AB'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，小明觀察圖形得出下列結(jié)論：①△ABC≌△AB'C'；②∠BAC=∠B'AC'；③直線l

題型一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別例1（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)校考期末）下面是科學(xué)防控新冠知識(shí)的圖片，其中的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B．

C． D．

舉一反三1（2023春·浙江寧波·八年級(jí)浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)?？计谀┫铝欣诸悎D標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

舉一反三2（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)世界奇妙無窮，其中曲線是微分幾何的研究對(duì)象之一，下列坐標(biāo)系里的數(shù)學(xué)曲線既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．題型二成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的識(shí)別例2（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，小手蓋住的是兩個(gè)三角形中的一個(gè)，若這兩個(gè)三角形軸對(duì)稱，則小手蓋住的三角形是（）

A． B． C． D．

舉一反三1（2023秋·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列交通標(biāo)識(shí)圖案中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．舉一反三2（2023秋·河北保定·八年級(jí)校聯(lián)考期末）下列說法正確的是（

）A．能夠完全重合的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱B．全等的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱C．形狀一樣的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱D．沿著一條直線對(duì)折能夠重合的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱題型三根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷例3（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線A．A'B' B．B'C' C．BC舉一反三1（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．軸對(duì)稱圖形必有對(duì)稱軸 B．兩個(gè)能完全重合的圖形必是軸對(duì)稱圖形C．軸對(duì)稱圖形可能有無數(shù)條對(duì)稱軸 D．關(guān)于某直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形必能互相重合舉一反三2（2023秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．面積相等的兩個(gè)三角形成軸對(duì)稱；B．兩個(gè)等邊三角形是全等圖形；C．關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)三角形全等；D．成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形一定面積相等，且位于對(duì)稱軸的兩側(cè)．題型四根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解例4（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC．(1)若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則△ABC的面積為__________．(2)在直線MN上找一點(diǎn)P，使PA+PB最短．舉一反三1（2021秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州采荷實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，CD是△ABC的角平分線，△ABC的面積為12，BC長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2舉一反三2（2022秋·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC和△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，BC與DE的交點(diǎn)F在直線MN上．(1)若∠BAC=100°，∠CAD=30°，求∠EAF的度數(shù)．(2)若BC∥AD，AE平分∠BAM，∠BFE+∠C=81°，求題型五臺(tái)球桌面上的軸對(duì)稱問題例5（2020秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是一個(gè)經(jīng)過改造的臺(tái)球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出，該球最后落入1號(hào)袋，經(jīng)過反射的次數(shù)是()A．4次 B．5次 C．6次 D．7次舉一反三1（2022秋·北京·八年級(jí)101中學(xué)校考期中）操作題：臺(tái)球桌的形狀是一個(gè)長(zhǎng)方形，當(dāng)母球被擊打后可能在不同的邊上反彈，為了使母球最終擊中目標(biāo)球，擊球者需作出不同的設(shè)計(jì)，確定擊球方向．如圖，目標(biāo)球從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)B點(diǎn)到C點(diǎn)，相當(dāng)于從A'點(diǎn)出發(fā)直接擊打目標(biāo)球C(1)如下圖，小球起始時(shí)位于點(diǎn)3,0處，沿所示的方向擊球，小球運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．如果小球起始時(shí)位于點(diǎn)2,0處，仍按原來方向擊球，那么在點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H中，小球會(huì)擊中的點(diǎn)是___________；(2)在下圖中，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條路徑，使得球P依次撞擊臺(tái)球桌邊AB，BC反射后，撞到球Q．（不寫作法，保留作圖痕跡．）舉一反三2（2022秋·黑龍江雙鴨山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（

）A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋題型六軸對(duì)稱中的光線反射問題例6（2022秋·北京海淀·八年級(jí)?？计谥校┕皇兰o(jì)，正在亞歷山大城學(xué)習(xí)的古希臘數(shù)學(xué)家海倫發(fā)現(xiàn)：光在鏡面上反射時(shí)，反射角等于入射角．如圖1，法線NO垂直于反射面，入射光線與法線的夾角為入射角，反射光線與法線的夾角為反射角．臺(tái)球碰撞臺(tái)球桌邊后反彈與光線在鏡面上反射原理相同．如圖2，長(zhǎng)方型球桌ABCD上有兩個(gè)球P，Q．請(qǐng)你嘗試解決臺(tái)球碰撞問題：(1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條路徑，使得球P撞擊臺(tái)球桌邊AB反射后，撞到球Q．在圖2中畫出，并說明做法的合理性．(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一路徑，使得球P連續(xù)三次撞擊臺(tái)球桌邊反射后，撞到球Q，在圖3中畫出一種路徑即可．舉一反三1（2023秋·黑龍江鶴崗·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，則∠AEF=．舉一反三2（2021秋·湖南婁底·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩平面鏡α、β的夾角∠θ，入射光線AO平行于β，入射到α上，經(jīng)兩次反射后的出射光線CB平行于α，則∠θ等于（

）A．30° B．45° C．60° D．90°題型七折疊問題例7（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABD的周長(zhǎng)為20cm，把△ABC的邊AC對(duì)折，使頂點(diǎn)C和點(diǎn)A重合，折痕交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)E，連接AD，若AE=4cm，則△ABC的周長(zhǎng)是舉一反三1（2023秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一張三角形紙片ABC，∠ABC=90°，點(diǎn)M是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C落在邊AC上的點(diǎn)D處，若MD=BC，則∠BCA=（

）A．18° B．54° C．60° D．72°舉一反三2（2022春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將一張正方形紙片按如圖步驟①,②沿虛線對(duì)折兩次,然后沿③中平行于底邊的虛線剪去一個(gè)角,展開鋪平后的圖形是（

）A． B． C． D．單選題1.（2023秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：△ABC紙片，將紙片分別按以下兩種方法翻折：①如圖1．沿著∠BAC的平分線AD翻折△ABD，得到△AED，設(shè)△CDE的周長(zhǎng)為m．②如圖2，沿著AB的垂直平分線翻折△BFG，得到△AFG，設(shè)△AGC的周長(zhǎng)為n．線段AB的長(zhǎng)度用含m，n的代數(shù)式可表示為（）A．n-m B．m+n2 C．m D．2．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┈F(xiàn)有一直角三角形紙片，先將共一個(gè)侻角∠ABC折疊（如圖1），?點(diǎn)A落在斜邊BC上的A'處，折痕與邊AC交于點(diǎn)D．再將另一銳角∠DCB折疘（如圖2），使CD也落在斜邊上，折痕與A'D交于點(diǎn)P，量得DP=32A'A．4 B．3 C．2 D．33.（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用數(shù)學(xué)的眼光觀察下面的網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)，其中可以抽象成軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．二、填空題1.（2023春·廣西桂林·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形紙帶ABCD，AD∥CB，將ABCD沿EF折疊，C、D兩點(diǎn)分別與C'、D'對(duì)應(yīng)，若∠1=2∠2，則∠AEF的度數(shù)為2．（2023秋·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對(duì)稱，連接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一個(gè)角是50°，則∠B=度．3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線AD是三角形ABC的對(duì)稱軸，點(diǎn)E，F(xiàn)是線段AD上的兩點(diǎn)．若BD=2，AD=3，則圖中陰影部分的面積是．三、解答題1.（2023秋·甘肅蘭州·八年級(jí)蘭州十一中校考期末）如圖1，一張三角形ABC紙片，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)．研究（1）：如果沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在CE上的點(diǎn)A'處，則∠BDA'與∠A的數(shù)量關(guān)系是研究（1）：如果折成