正弦定理、余弦定理（第1課時）高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第1課時

余弦定理正弦定理、余弦定理課程目標

1．掌握余弦定理的表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題；2．培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.一個三角形含有各種各樣的幾何量，例如三邊邊長、三個內(nèi)角的度數(shù)、面積等，它們之間存在著確定的關(guān)系，例如，在初中，我們得到過勾股定理、銳角三角函數(shù)，這是直角三角形中的邊、角定量關(guān)系.對于一般三角形，我們已經(jīng)定性地研究過三角形的邊、角關(guān)系，得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法，這些判定方法表明，給定三角形的三個角、三條邊這六個元素中的某些元素，這個三角形就是唯一確定的。那么三角形的其他元素與給定的某些元素有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若已知三角形的兩邊及其夾角，如何求其他的邊角呢？下面我們來研究一下這個問題。CABabCABabc我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.這說明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示.復(fù)習(xí)三角形中的邊角關(guān)系1、角的關(guān)系2、邊的關(guān)系3、邊角關(guān)系大角對大邊，小邊對小角三角形中的邊角關(guān)系

一般地,把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.一、什么叫做解三角形

在三角形ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？ABCabcbac二、余弦定理二、余弦定理

三角形任一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．應(yīng)用：已知兩邊和一個夾角，求第三邊．二、余弦定理的變形應(yīng)用：已知三條邊求角度．應(yīng)用：配方法的使用變形二變形一(角變互化）想一想：

余弦定理在直角三角形中是否仍然成立？

cosC=

a2+b2-c2

2abC=90°

a2+b2=c2

cosA=

b2+c2-a2

2bc

cosB=

c2+a2-b2

2cacosA=—cosB=—acbc余弦定理與勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一個三角形兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角．(2)如果一個三角形兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角．(3)如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角．1.用余弦定理判斷三角形的類型：

2.在ΔABC中，等式AC=AB+BC兩邊同乘AC，可得AC2=AB·AC+BC·AC

三、余弦定理的應(yīng)用（射影定理）【練習(xí)】【練習(xí)】【練習(xí)】鞏固練習(xí)BC等腰三角形作業(yè)：2.在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷三角形的形狀．作業(yè)：

2.在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷三角形的形狀．【思路點撥】利用余弦定理把邊與角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系．通分整理得：a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0.展開整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根據(jù)勾股定理，知△ABC是直角三角形．余弦定理及其推論：利用余弦定理可以解決的問題：1、已知兩邊和夾角求第三邊。