數(shù)學-2022年高考考前20天終極沖刺攻略（三）（新高考地區(qū)專用）

高考數(shù)學高中數(shù)學探究群562298495；新高考資料全科總?cè)?32599440；目錄/contents目錄/contents目錄/contents5月295月29日圓錐曲線的綜合…………026月14日集合與常用邏輯用語…………0155月30日等差數(shù)列與等比數(shù)列……4555月31日數(shù)列的綜合…………………7466月1日排列組合及二項式定理……10566月2日概率小題……………………12166月3日隨機變量及其分布…………14066月4日統(tǒng)計案例……………………167高考高中資料無水印無廣告不加密word版群559164877天天更新②二項展開式中間項的二項式系數(shù)最大.如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間項是第項，其二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間項有兩項，即為第項和第項，它們的二項式系數(shù)和相等并且最大.（3）二項式系數(shù)和與系數(shù)和=1\*GB3①二項式系數(shù)和.奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和，.=2\*GB3②系數(shù)和求所有項系數(shù)和，令；求變號系數(shù)和，令；求常數(shù)項，令。1．（2021·江蘇·高考真題）下圖是某項工程的網(wǎng)絡(luò)圖(單位:天)，則從開始節(jié)點①到終止節(jié)點⑧的路徑共有（）A．14條 B．12條 C．9條 D．7條【答案】B【解析】由圖可知，由①④有3條路徑，由④⑥有2條路徑，由⑥⑧有2條路徑，根據(jù)分步乘法計算原理可得從①⑧共有條路徑.故選：B2．（2021·江蘇·高考真題）已知的展開式中的系數(shù)為40，則等于（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】，所以.故選：A.3．（2021·全國·高考真題（理））將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【解析】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.4．（2020·山東·高考真題）在的二項展開式中，第項的二項式系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】第項的二項式系數(shù)為，故選：A.5．（2020·山東·高考真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔任5門不同學科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．17280【答案】C【解析】首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有種情況，再分別擔任5門不同學科的課代表，共有種情況.所以共有種不同安排方法.故選：C6．（2020·海南·高考真題）要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C【解析】第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法第二步，將2組學生安排到2個村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種，故選：C7．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）．A． B．5 C． D．10【答案】C【解析】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.8．（2020·海南·高考真題）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【解析】首先從名同學中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C9．（2020·全國·高考真題（理））的展開式中x3y3的系數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【解析】展開式的通項公式為（且）所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為所以的系數(shù)為，故選：C10．（2021·浙江·高考真題）已知多項式，則___________，___________.【答案】

;

.【解析】，，所以，，所以.故答案為：.11．（2020·浙江·高考真題）設(shè)，則________；________．【答案】

【解析】的通項為，令，則，故；.故答案為：；.12．（2021·湖南·高考真題）的展開式中常數(shù)項是______．（用數(shù)字作答）【答案】15【解析】解：由．取，得．展開式中常數(shù)項為．故答案為：15．13．（2021·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是__________．【答案】160【解析】的展開式的通項為，令，解得，所以的系數(shù)是.故答案為：160.14．（2020·全國·高考真題（理））4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有__________種.【答案】【解析】4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學先取2名同學看作一組，選法有：現(xiàn)在可看成是3組同學分配到3個小區(qū)，分法有：根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種，故答案為：.1．（2022·河北·模擬預(yù)測）共有10級臺階，某人一步可跨一級臺階，也可跨兩級臺階或三級臺階，則他恰好6步上完臺階的方法種數(shù)是（

）A．30 B．90 C．75 D．602．（2022·福建·三模）的展開式中的常數(shù)項為（

）A． B． C．80 D．1603．（2022·山東煙臺·一模）“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人等測算在一定時間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心計劃派5名專家分別到A，B，C三地指導“碳中和”工作，每位專家只去一個地方，且每地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為（

）A．90 B．150 C．180 D．3004．（2022·湖北·二模）已知的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式中的系數(shù)為（

）A．160 B． C．60 D．5．（2022·湖北·黃岡中學模擬預(yù)測）小林同學喜歡吃4種堅果：核桃?腰果?杏仁?榛子，他有5種顏色的“每日堅果”袋.每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果.小林同學希望五個袋子中所裝堅果種類各不相同，且每一種堅果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（

）A．20160 B．20220 C．20280 D．203406．（2022·湖北·一模）已知的展開式中的系數(shù)為80，則m的值為（

）A． B．2 C． D．17．（2022·湖南岳陽·二模）的展開式中的常數(shù)項為-160，則a的值為（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2（多選題）8．（2022·福建龍巖·一模）已知二項式的展開式中各項系數(shù)之和是，則下列說法正確的有（

）A．展開式共有7項 B．二項式系數(shù)最大的項是第4項C．所有二項式系數(shù)和為128 D．展開式的有理項共有4項9．（2022·河北石家莊·二模）在的展開式中的系數(shù)為___________.10．（2022·河北保定·一模）2022年北京冬奧會的某滑雪項目中有三個不同的運動員服務(wù)點，現(xiàn)需將10名志愿者分配到這三個運動員服務(wù)點處，每處需要至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法一共有______種．11．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）當前新冠肺炎疫情形勢依然嚴峻，防控新冠肺炎疫情需常態(tài)化，某校從含甲、乙、丙在內(nèi)的名行政人員中選取人負責每周周一至周六的疫情防控工作（周日學校放假），每人各負責天，其中甲、乙、丙人必被選中．若甲與乙需安排在相鄰的兩天，乙與丙不安排在相鄰的兩天，且丙不排周一，則不同的安排方法有___種．12．（2022·山東泰安·一模）在的展開式中，含的項的系數(shù)是___________.13．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預(yù)測）設(shè)，則…______．14．（2022·湖南湖南·二模）一次考試后，學校準備表彰在該次考試中排名前10位的同學，其中有2位是高三（1）班的同學，現(xiàn)要選4人去“表彰會”上作報告，若高三（1）班的2人同時參加，則2人作報告的順序不能相鄰，則要求高三（1）班至少有1人參加的作報告的方案共有___________種.（用數(shù)字作答）1．從名高一學生，名高二學生中選出人，分別負責三項不同的任務(wù)，若這人中至少有一名高二學生，則不同的選派方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種2．已知的展開式中各項系數(shù)的和為，則該展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．3．為有效阻斷新冠肺炎疫情傳播徐徑，構(gòu)筑好免疫屏障，從2022年1月13日開始，某市啟動新冠病毒疫苗加強針接種工作，凡符合接種第三針條件的市民，要求盡快接種.該市有3個疫苗接種定點醫(yī)院，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個醫(yī)院至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2940種 B．3000種 C．3600種 D．5880種4．已知，設(shè)，若的展開式中項的系數(shù)為，則（

）A．2 B．5 C．8 D．11（多選題）5．已知，則（

）A． B．C． D．6．已知的展開式共有13項，則下列說法中正確的有（

）A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 B．所有項的系數(shù)和為C．二項式系數(shù)最大的項為第6項或第7項 D．有理項共5項7．設(shè)，則下列說法正確的是（

）A．B．C．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項D．8．的展開式中常數(shù)項為___________.9．某社區(qū)將招募的5名志愿者分成兩組，要求每組至少兩人，分別擔任白天和夜間的網(wǎng)格員，則不同的分配方法種數(shù)為_____________．10．從正四面體的四個面的中心以及四個頂點共八個點中取出四個點，則這四個點不共面的取法總數(shù)為___________種.11．已知在的展開式中，第3項和第10項的二項式系數(shù)相等，則展開式的系數(shù)和為________.12．若的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則___________．（寫出一個即可）13．年月以來，重慶出現(xiàn)新一輪由奧密克戎變異毒株引發(fā)的新冠疫情，有個區(qū)域被判定為中風險地，均在高新區(qū)．為了盡快控制疫情，重慶市政府決定派名專員對這三個中風險地區(qū)的疫情防控工作進行指導．若每個中風險地區(qū)至少派一名專員且人要派完，專員甲、乙需到同一中風險地區(qū)指導，則不同的專員分配方案總數(shù)為_____________．14．的展開式中的系數(shù)為________．名校預(yù)測1．B【解析】由題意可知，完成這件事情分三類；第一類，按照的走法有種；第二類，按照的走法有種；第三類，按照的走法有種；所以他恰好6步上完臺階的方法種數(shù)是.故選：B.2．B【解析】展開式通項為，令，所以，所以常數(shù)項為.故選：B.3．B【解析】根據(jù)題意有兩種方式：第一種方式，有一個地方去3個專家，剩下的2個專家各去一個地方，共有種方法，第二種方式，有一個地方去1個專家，另二個地方各去2個專家，共有，所以分派方法的種數(shù)為，故選：B4．B【解析】由展開式中各項的二項式系數(shù)之和為64，得，得．∵的展開式的通項公式為，令，則，所以其展開式中的系數(shù)為．故選：B.5．A【解析】依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，則每個字母出現(xiàn)2次或4次，分類計算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.若是“8=4+1+1+1+1”，則其中的“4”必須是HYXZ，故1種可能；若是“8=3+2+1+1+1”，則考慮（HYX）（Z※）（※）（※），故有種可能；若是“8=1+1+2+2+2”，則考慮（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有種可能；小計：1+12+12=25；（2）諸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”類型若是“10=4+3+1+1+1”，則四個H無論怎么安排，都會出現(xiàn)某兩個袋僅放H，故0種可能；若是“10=4+2+2+1+1”，則“1+1”中有一個是H，“4+2+2”中各一個H，“2+2”中除了一個H外，另一個互異，故有種可能；若是“10=3+3+2+1+1”，則“1+1”中各有1個H，“3+3+2”中各一個H，可以考慮含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有種可能；若是“10=3+2+2+2+1”，則可用下表進一步分類，有1+種可能；YXZH※H※H※HH※※H※H※H※※H※H※※※H若是“10=2+2+2+2+2”，則四個H至少有兩個出現(xiàn)搭配相同，故0種可能；小計：；（3）諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”類型若是“12=4+4+2+1+1”，則“4+4”必然重復(fù)，故0種可能；若是“12=4+3+3+1+1”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)僅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12=4+3+2+2+1”，則考慮（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），故有種可能；若是“12=3+3+3+2+1”，則有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2種可能；若是“12=3+3+2+2+2”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2種可能.小計；諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”類型若是“14=4+4+*+*+*”，則“4+4”必然重復(fù)，故0種可能；若是“14=4+3+3+3+1”，則“4+3+3+3”中至少有3個Z，故0種可能；若是“14=4+3+3+2+2”，則“4+3+3”至少有2個Z，考慮（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有種可能，故此小類有3種可能；若是“14=3+3+3+3+2”，則“3+3+3+3”中至少有3個Z，故0種可能；小計；（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z”只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1種可能；綜上：共有25+76+54+12+1=168個分堆可能，故不同的方案數(shù)為=種.故選：A6．A【解析】，在的展開式中，由，令，得r無解，即的展開式?jīng)]有的項；在的展開式中，由，令，解得r=3，即的展開式中的項的系數(shù)為，又的展開式中的系數(shù)為80，所以，解得.故選：A.7．A【解析】由已知，展開式的通向為，所以其展開式的常數(shù)項即，，所以常數(shù)項為，解得.故選：A.8．CD【解析】因為二項式的展開式中各項系數(shù)之和是，所以令可得：.A：因為，所以展開式共有項，因此本選項說法不正確；B：因為，所以二項式系數(shù)最大的項是第4項和第項，因此本選項說法不正確；C：因為，所以所有二項式系數(shù)和為，所以本選項說法正確；D：由B可知：，當時，對應(yīng)的項是有理項，故本選項說法正確，故選：CD9．6【解析】，展開式中含的項為故它的展開式中的系數(shù)為6，故答案為：610．22050【解析】根據(jù)題意得，這10名志愿者分配到三個運動員服務(wù)點處的志愿者數(shù)目為2，4，4或3，3，4，所以不同的安排方法一共，故答案為：2205011．【解析】以全集表示“甲與乙需安排在相鄰的兩天”，集合表示“乙與丙安排在相鄰的兩天”，集合表示“丙安排在周一”，如下圖所示：要選人負責每周周一至周六的疫情防控工作，則只需從除甲、乙、丙以外的人中再抽取人，全集表示的排法中，將甲、乙兩人捆綁，則，集合表示的排法中，將甲、乙、丙三人捆綁，且乙在中間，則，集合表示的排法中，丙排在周一，將甲、乙兩人捆綁，則，集合表示的排法中，丙排在周一，且將甲、乙、丙三人捆綁，且乙在中間，則，因此，滿足條件的排法種數(shù)為.故答案為：.12．6【解析】的展開式的通項公式為，的展開式的通項公式為，所以展開式中，含的項為：，所以含的項的系數(shù)為6．故答案為：6.13．1【解析】由題意令，可得令，可得所以，故答案為：114．3024【解析】若高三（1）班只有1人參加，則有種不同的方案；若高三（1）班2人都參加，則有種不同方案，故共有3024種不同的方案.故答案為：3024專家押題1．C【解析】從人中任選人負責三項不同的任務(wù)，共有種選派方法；選出的人中無高二學生有種選派方法；若人中至少有一名高二學生，不同的選派方案共有種.故選：C．2．C【解析】令可得展開式各項系數(shù)和，即，解得：；；展開式通項為：；令，解得：，可得：；令，解得：，可得：；展開式中的系數(shù)為.故選：C.3．A【解析】根據(jù)題意，這8名志愿者人數(shù)分配方案共有兩類：第一類是2，2，4，第二類是3，3，2，故不同的安排方法共有種；故選：A.4．C【解析】令，則有；又令，則有，所以，則.的展開式中第項為，當時，知為偶數(shù)，當，此時系數(shù)為成立，所以.故選：C5．AD【解析】解：因為，令，則，故A正確；令，則，所以，故B錯誤；令，則，所以，故C錯誤；對兩邊對取導得，再令得，故D正確；故選：AD6．BD【解析】因為，所以，所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故A錯誤，令，得所有項的系數(shù)和為，故B正確，由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大的項為第7項，故C錯誤，因為展開式通項為，當為整數(shù)時，，3，6，9，12，共有5項，故D正確．故選：BD．7．ABD【解析】解：因為，令得，故A正確；令得，所以，故B正確；因為二項式展開式共項，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，為，故C錯誤；二項式展開式的通項為，所以，，所以，故D正確；故選：ABD8．【解析】展開式的通項公式為，當81乘以時，令，解得，常數(shù)項為；當乘以時，令，解得常數(shù)項為；所以的展開式中的常數(shù)項為故答案為：9．20【解析】由兩人擔任白天網(wǎng)格員有種，由三人擔任白天網(wǎng)格員有種，所以共有種，故答案為：2010．【解析】如圖所示，從這八個點中任取四個點，共有種，其中在正四面體的四個面上的四個點是共面的，共有4種；因為分別是各個正三角形的中心，可得，此時四點共面，又由正四面體共有6條棱，共有6種情況四點共面，所以這四個點不共面的取法總數(shù)為種.故答案為：.11．【解析】因為第3項和第10項的二項式系數(shù)相等，所以，即令，則展開式的系數(shù)和為.故答案為：12．（答案不唯一）【解析】由題意，二項式的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，可得，即，解得，所以或或.故答案為：（答案不唯一）.13．【解析】將人分成三組，每組至少一人，則各組人數(shù)分別為、、或、、.①若三組人數(shù)分別為、、，則甲、乙所在組的人數(shù)為，此時還需從另外人中選人到這組，此時不同的分配方案種數(shù)為；②若三組人數(shù)分別為、、，則其中一組有人的為甲、乙所在的一組，此時不同的分配方案種數(shù)為.綜上所述，不同的分配方案種數(shù)為.故答案為：.14．【解析】解：由題意可知，展開式的通項公式為由于要求展開式中的系數(shù)，所以，.則展開式中的系數(shù)為.故答案為：.

時間：6月2日 今日心情：核心考點解讀——概率小題1.本節(jié)內(nèi)容與排列組合密切相關(guān)，同時在隨機事件的運算中可對比集合的運算.較少與其他知識點關(guān)聯(lián)出題.本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現(xiàn).出題多會集中在隨機事件的關(guān)系以對應(yīng)的概率求解.全概率公式將會是一個新的出題點，思維難度會略大.但整體而言，本節(jié)內(nèi)容在高考中的難度處于中等偏易.2.經(jīng)常出應(yīng)用型題目，與生活實際相結(jié)合，要善于尋找合理的數(shù)學語言簡化語言描述，凸顯數(shù)學關(guān)系，通過分析隨機事件的關(guān)系，找到適合的公式計算概率.一、古典概型條件：1、基本事件空間含有限個基本事件2、每個基本事件發(fā)生的可能性相同二、互斥事件的概率1、互斥事件在一次實驗中不能同時發(fā)生的事件稱為互斥事件。事件A與事件B互斥，則。2、對立事件事件A,B互斥，且其中必有一個發(fā)生，稱事件A,B對立，記作或..3、互斥事件與對立事件的聯(lián)系對立事件必是互斥事件，即“事件A，B對立”是”事件A，B互斥“的充分不必要條件。三、條件概率與獨立事件（1）在事件A發(fā)生的條件下，時間B發(fā)生的概率叫做A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率，記作，條件概率公式為.（2）若，即,稱與為相互獨立事件。與相互獨立，即發(fā)生與否對的發(fā)生與否無影響，反之亦然。即相互獨立，則有公式。（3）在次獨立重復(fù)實驗中，事件發(fā)生次的概率記作，記在其中一次實驗中發(fā)生的概率為，則.1．（2021·全國·高考真題（文））將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【解析】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.2．（2021·全國·高考真題（理））將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.3．（2021·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【答案】B【解析】，故選：B4．（2020·山東·高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進入同一間教室的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】5位老師，每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，共有種方法，其中恰好全都進入同一間教室，共有2種方法，所以.故選：B5．（2020·全國·高考真題（文））設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，從5個點中任取3個有共種不同取法，3點共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計算公式知，取到3點共線的概率為.故選：A6．（2020·天津·高考真題）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為_________．【答案】

【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子的概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.故答案為：；.【點睛】本題主要考查獨立事件同時發(fā)生的概率，以及利用對立事件求概率，屬于基礎(chǔ)題.7．（2020·江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是_____.【答案】【解析】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個.點數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個.∴出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為.故答案為：.8．（2021·天津·高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為____________，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為______________．【答案】

【解析】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為；則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為.故答案為：；.9．（2021·江蘇·高考真題）已知關(guān)于的二次函數(shù).（1）若，，求事件在上是增函數(shù)}的概率;（2）若，，求事件“方程沒有實數(shù)根”的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意有：，且對稱軸．基本事件總數(shù)為，滿足事件的事件數(shù)為，，，，共有5個，（A）；（2）方程無實根，則，，又，，，，，如圖，．10．（2020·全國·高考真題（理））甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）記事件甲連勝四場，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，所以，需要進行第五場比賽的概率為；（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，則甲贏的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲贏的概率為.由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為.1．（2022·重慶·二模）已知王大爺養(yǎng)了5只雞和3只兔子，晚上關(guān)在同一間房子里，清晨打開房門，這些雞和兔子隨機逐一向外走，則恰有2只兔子相鄰走出房子的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022·重慶市育才中學模擬預(yù)測）有4名大學生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務(wù).冬奧會志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個項目比賽的志愿服務(wù)，則每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務(wù)的概率（

）A． B． C． D．3．（2022·海南·模擬預(yù)測）新高考按照“3+1+2”的模式設(shè)置，其中“3”為語文、數(shù)學、外語3門必考科目，“1”由考生在物理、歷史2門科目中選考1門科目，“2”由考生在化學、生物、政治、地理4門科目中選考2門科目，則學生甲選考的科目中包含物理和生物的概率是（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）某國家級示范高職院校為做好春季高考招生工作，決定邀請省內(nèi)部分高中優(yōu)秀高三學生到校進行職業(yè)生涯體驗.若育才高中將獲得的6個體驗名額隨機分配給高三年級4個班級，則每個班均獲得體驗名額的概率為（

）A． B． C． D．（多選題）5．（2022·遼寧丹東·一模）事件與互斥，若，則（

）A． B．C． D．6．（2022·廣東珠?！じ呷谀┙臃N疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法．我國自年月日起實施全民免費接種新冠疫苗．截止到年月底，國家已推出了三種新冠疫苗（腺病毒載體疫苗、新冠病毒滅活疫苗、重組新冠病毒疫苗）供接種者選擇，每位接種者任選其中一種．若人去接種新冠疫苗，恰有人接種同一種疫苗的概率為______．7．（2022·重慶·模擬預(yù)測）冰壺被喻為冰上的“國際象棋”，是以團隊為單位在冰上進行的投擲性競賽項目，每場比賽共10局，在每局比賽中，每個團隊由多名運動員組成，輪流擲壺、刷冰、指揮．兩邊隊員交替擲壺，可擊打本方和對手冰壺，以最終離得分區(qū)圓心最近的一方冰壺數(shù)量多少計算得分，另外一方計零分，以十局總得分最高的一方獲勝．冰壺運動考驗參與者的體能與腦力，展現(xiàn)動靜之美，取舍之智慧．同時由于冰壺的擊打規(guī)則，后投擲一方有優(yōu)勢，因此前一局的得分方將作為后一局的先手擲壺．已知甲、乙兩隊參加冰壺比賽，在某局中若甲方先手擲壺，則該局甲方得分概率為；若甲方后手擲壺，則該局甲方得分概率為，每局比賽不考慮平局．在該場比賽中，前面已經(jīng)比賽了六局，雙方各有三局得分，其中第六局乙方得分．(1)求第七局、第八局均為甲方得分的概率；(2)求當十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．8．（2022·遼寧·一模）北京時間2021年11月7日凌晨1點，來自中國賽區(qū)的EDG戰(zhàn)隊，捧起了英雄聯(lián)盟S11全球總決賽的冠軍獎杯．據(jù)統(tǒng)計，僅在bilibili平臺，S11總決賽的直播就有3.5億人觀看．電子競技作為正式體育競賽項目已經(jīng)引起越來越多的年輕人關(guān)注．已知該項賽事的季后賽后半段有四支戰(zhàn)隊參加，采取“雙敗淘汰賽制”，對陣表如圖，賽程如下：第一輪：四支隊伍分別兩兩對陣（即比賽1和2），兩支獲勝隊伍進入勝者組，兩支失敗隊伍落入敗者組．第二輪：勝者組兩支隊伍對陣（即比賽3），獲勝隊伍成為勝者組第一名，失敗隊伍落入敗者組；第一輪落入敗者組兩支隊伍對陣（即比賽4），失敗隊伍（已兩敗）被淘汰（獲得殿軍），獲勝隊伍留在敗者組．第三輪：敗者組兩支隊伍對陣（即比賽5），失敗隊伍被淘汰（獲得季軍);獲勝隊伍成為敗者組第一名．第四輪：敗者組第一名和勝者組第一名決賽（即比賽6），爭奪冠軍．假設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率均為0.5，每場比賽之間相互獨立．問：(1)若第一輪隊伍A和隊伍D對陣，則他們?nèi)阅茉跊Q賽中對陣的概率是多少？(2)已知隊伍B在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中，敗了兩場，求在該條件下隊伍B獲得亞軍的概率．9．（2022·江蘇·海安高級中學二模）我國某芯片企業(yè)使用新技術(shù)對一款芯片進行試產(chǎn)，設(shè)試產(chǎn)該款芯片的次品率為p（0＜p＜1），且各個芯片的生產(chǎn)互不影響．(1)試產(chǎn)該款芯片共有兩道工序，且互不影響，其次品率依次為，．①求p；②現(xiàn)對該款試產(chǎn)的芯片進行自動智能檢測，自動智能檢測為次品（注：合格品不會被誤檢成次品）的芯片會被自動淘汰，然后再進行人工抽檢已知自動智能檢測顯示該款芯片的合格率為96%，求人工抽檢時，抽檢的一個芯片是合格品的概率．(2)視p為概率，記從試產(chǎn)的芯片中隨機抽取n個恰含m（n＞m）個次品的概率為，求證：在時取得最大值．10．（2022·廣東東莞·高三期末）已知某次比賽的乒乓球團體賽采用五場三勝制，第一場為雙打，后面的四場為單打.團體賽在比賽之前抽簽確定主客隊.主隊三名選手的一單、二單、三單分別為選手、、，客隊三名選手的一單、二單、三單分別為選手、、.比賽規(guī)則如下：第一場為雙打（對陣）、第二場為單打（對陣）、第三場為單打（對陣）、第四場為單打（對陣）、第五場為單打（對陣）.已知雙打比賽中獲勝的概率是，單打比賽中、、分別對陣、、時，、、獲勝的概率如下表：選手選手(1)求主、客隊分出勝負時恰進行了3場比賽的概率；(2)客隊輸?shù)綦p打比賽后，能否通過臨時調(diào)整選手為三單、選手為二單使得客隊團體賽獲勝的概率增大？請說明理由.1．寫算，是一種格子乘法，也是筆算乘法的一種，用以區(qū)別籌算與珠算，它由明代數(shù)學家吳敬在其撰寫的《九章算法比類大全》一書中提出，是從天元式的乘法演變而來.例如計算89×61，將被乘數(shù)89計入上行，乘數(shù)61計入右行，然后以乘數(shù)61的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每位數(shù)字，將結(jié)果計入相應(yīng)的格子中，最后從右下方開始按斜行加起來，滿十向上斜行進一，如圖，即得5429.類比此法畫出354×472的表格，若從表內(nèi)的18個數(shù)字（含相同的數(shù)字，表周邊數(shù)據(jù)不算在內(nèi)）中任取2個數(shù)字，則它們之和大于10的概率為（

）A． B． C． D．2．甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋此賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為i的方框表示第i場比賽，方框中是進行該場此賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者i”，負者稱為“負者”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙，丙、丁之間相互比賽，每人勝負的可能性相同.則甲獲得冠軍的概率為（

）A． B． C． D．3．若將整個樣本空間想象成一個1×1的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個子集，且事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積.則如圖所示的涂色部分的面積表示（

）A．事件A發(fā)生的概率 B．事件B發(fā)生的概率C．事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的既率 D．事件A?B同時發(fā)生的概率4．我們通常所說的ABO血型系統(tǒng)是由A，B，O三個等位基因決定的，每個人的基因型由這三個等位基因中的任意兩個組合在一起構(gòu)成，且兩個等位基因分別來自于父親和母親，其中AA，AO為A型血，BB，BO為B型血，AB為AB型血，OO為O型血.比如：父親和母親的基因型分別為AO，AB，則孩子的基因型等可能的出現(xiàn)AA，AB，AO，BO四種結(jié)果，已知小明的爺爺、奶奶和母親的血型均為AB型，不考慮基因突變，則小明是A型血的概率為（

）A． B． C． D．（多選題）5．一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．設(shè)事件“第一次摸到紅球”，事件“第二次摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，“兩個球中有紅球”，則（

）A．B．C．D．（多選題）6．某人有6把鑰匙，其中n把能打開門.如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，設(shè)第二次才能打開門的概率為p，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，（多選題）7．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以表示沒有出現(xiàn)連續(xù)3次正面向上的概率，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當時， D．（多選題）8．某市組織2022年度高中校園足球比賽，共有10支球隊報名參賽.比賽開始前將這10支球隊分成兩個小組，每小組5支球隊，其中獲得2021年度冠、亞軍的兩支球隊分別在第一小組和第二小組，剩余8支球隊抽簽分組.已知這8支球隊中包含甲、乙兩隊，記“甲隊分在第一小組”為事件，“乙隊分在第一小組”為事件，“甲、乙兩隊分在同一小組”為事件，則（

）A． B．C． D．事件與事件相互獨立9．A，B，C，D四位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：先將四位同學平均分成兩組，每組進行一場比賽決出勝負，獲勝者進入勝者組，失敗者進入敗者組.勝者組和敗者組中再各自進行一場比賽，勝者組中獲勝者獲得冠軍，失敗者獲得亞軍，敗者組中獲勝者獲得季軍.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為.(1)求同學A獲得冠軍的概率；(2)求A，B兩人能夠在比賽中相遇的概率.10．冬季兩項是第24屆北京冬奧會的比賽項目之一，它把越野滑雪和射擊兩種特點不同的競賽項目結(jié)合在一起.其中男子個人賽的規(guī)則如下：①共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射擊一次，每次5發(fā)子彈；②射擊姿勢及順序為：第1圈滑行后臥射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后臥射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直達終點；③如果選手有發(fā)子彈未命中目標，將被罰時分鐘；④最終用時為滑雪用時、射擊用時和被罰時間之和，最終用時少者獲勝.已知甲、乙兩人參加比賽，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙兩人每發(fā)子彈命中目標的概率分別為和.假設(shè)甲、乙兩人的射擊用時相同，且每發(fā)子彈是否命中目標互不影響.(1)若在前三次射擊中，甲、乙兩人的被罰時間相同，求甲勝乙的概率；(2)若僅從最終用時考慮，甲、乙兩位選手哪個水平更高？說明理由.名校預(yù)測1．D【解析】解：5只雞，只兔子走出房門，共有種不同的方案，其中恰有2只兔子相鄰走出房子的方案為：先排5只雞，會產(chǎn)生6個空隙，再從3只兔子中選2只捆綁排列，最后與剩下的兔子排列到6個空隙中共有：種方案，故恰有2只兔子相鄰走出房子的概率為：.故選：D.2．D【解析】先將4人分成3組，其一組有2人，另外兩組各1人，共有種分法，然后將3個項目全排列，共有種排法，所以每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務(wù)的方法數(shù)為種，因為4名志愿者參加3個項目比賽的志愿服務(wù)的總方法數(shù)種，所以每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務(wù)的概率為，故選：D3．B【解析】根據(jù)題意，從物理、歷史中選擇1門，從化學、生物、政治、地理選擇2門，所有的可能有如下12種；物理，化學，生物；物理，化學，政治；物理，化學，地理；物理，生物，政治；物理，生物，地理；物理，政治，地理；歷史，化學，生物；歷史，化學，政治；歷史，化學，地理；歷史，生物，政治；歷史，生物，地理；歷史，政治，地理；學生甲選擇科目中包含物理和生物，則有如下3種；物理，化學，生物；物理，生物，政治；物理，生物，地理.故滿足題意的概率.故選：.4．B【解析】由題意可知，將6個體驗名額隨機分配給高三年級4個班級，一共會出現(xiàn)以下4種情況：①6個名額分到1個班，共有（種）；②6個名額分到2個班，共有（種）；③6個名額分到3個班，共有（種）；④6個名額分到4個班，共有（種）；所以6個體驗名額隨機分配給高三年級4個班級，一共出現(xiàn)種情況，滿足題意條件分到4個班的共有10種情況，所以每個班均獲得體驗名額的概率為.故選：B.5．AC【解析】因為與互斥，所以是必然事件，故，所以A正確，因為與互斥，所以，因此，所以B錯誤，因為，所以C正確，因為，所以，于是，所以D錯誤，故選：AC6．【解析】由題意，每位接種者等可能地從種任選一種接種，由分步乘法計算原理知，共有不同的結(jié)果，恰有人接種同一種疫苗，可先從5人中任選3人并成一組，有種結(jié)果，這個小團體有種疫苗可選，另外兩人各有種疫苗可選，故共有種，故恰有三人接種同一種疫苗共有種不同結(jié)果，由古典概型概率計算公式得：．故答案為：.7．【解析】(1)解：第六局乙方得分，所以第七局乙方先擲壺，甲方后擲壺，則第七局甲方得分概率為；第七局甲方得分，則第八局甲先擲壺，乙后擲壺，第八局甲方得分的概率為，所以第七局、第八局均為甲方得分的概率為.(2)解：前面已經(jīng)比賽了六局，雙方各有三局得分，所以后面四局甲全勝或者甲勝三局.后面四局甲全勝，且第七局乙先擲壺，則概率為；后面四局甲勝三局，且第七局乙先擲壺，分為第七局乙得分或者第八局乙得分或第九局乙得分或第十局乙得分，所以概率為則當十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率為.8．【解析】(1)由題意可知，第一輪隊伍A和隊伍D對陣，則獲勝隊伍需要贏得比賽3的勝利，失敗隊伍需要贏得比賽4和比賽5的勝利，他們才能在決賽中對陣，所以所求的概率為(2)設(shè)表示隊伍B在比賽i中勝利，表示隊伍B在比賽i中失敗，設(shè)事件E：隊伍B獲得亞軍，事件F：隊伍B所參加的所有比賽中敗了兩場，則事件F包括，，，，，且這五種情況彼此互斥，進而事件包括，且這兩種情況互斥，進而所以所求事件的概率為9．【解析】(1)①因為兩道生產(chǎn)工序互不影響，法一：所以．法二：所以．答：該款芯片的次品率為；②記該款芯片自動智能檢測合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，且．則人工抽檢時，抽檢的一個芯片恰是合格品的概率：．答：人工抽檢時，抽檢的一個芯片恰是合格品的概率為；(2)因為各個芯片的生產(chǎn)互不影響，所以，所．令，得，所以當時，為單調(diào)增函數(shù)；當時，為單調(diào)減函數(shù)，所以，當時，取得最大值．10．【解析】(1)解：設(shè)“主、客隊分出勝負時恰進行了3場比賽”事件為事件A，則事件A包含“主隊3場全勝”和“客隊3場全勝”兩類事件，“主隊3場全勝”的概率為，“客隊3場全勝”的概率為，所以，所以主、客隊分出勝負時恰進行了3場比賽的概率為.(2)能，理由如下：設(shè)“剩余四場比賽未調(diào)整Y、Z出場順序，客隊獲勝”為事件M，第二場單打（X對陣A）、第三場單打（Z對陣C）、第四場單打（Y對陣A）、第五場單打（X對陣B）的勝負情況分別為：勝勝勝、勝負勝勝、勝勝負勝、負勝勝勝；則，設(shè)“剩余四場比賽調(diào)整Y、Z出場順序，客隊獲勝”為事件N，第二場單打（X對陣A）、第三場單打（Y對陣C）、第四場單打（Z對陣A）、第五場單打（X對陣B）的勝負情況分別為：勝勝勝、勝負勝勝、勝勝負勝、負勝勝勝；則，因為，所以客隊調(diào)整選手Y為三單、選手Z為二單獲勝的概率更大.專家押題1．D【解析】畫出的表格，如圖所示，則表內(nèi)不同的數(shù)有，從中任取個，共有種不同的取法，其中與各個，與各個，從中任取個，它們之和大于的取法為，故所求概率為故選：D.2．D【解析】甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：1勝3勝6勝；1勝3負5勝6勝；1負4勝5勝6勝；所以甲獲得冠軍的概率為,故選：D3．A【解析】由題意可知：陰影部分面積為：,故選：A4．C【解析】因小明的爺爺、奶奶的血型均為AB型，則小明父親的血型可能是AA，AB，BB，它們對應(yīng)的概率分別為，當小明父親的血型是AA時，因其母親的血型為AB，則小明的血型可能是AA，AB，它們的概率均為，此時小明是A型血的概率為，當小明父親的血型是AB時，因其母親的血型為AB，則小明的血型是AA的概率為，此時小明是A型血的概率為，當小明父親的血型是BB時，因其母親的血型為AB，則小明的血型不可能是AA，所以小明是A型血的概率為，即C正確.故選：C5．AD【解析】由題意知：“第一次摸到紅球”，第一次從2個紅球摸1個，第二次從剩下的3個里摸1個，故；“第二次摸到紅球”，若第一次從2個紅球摸1個，第二次直接摸剩下的1個紅球，若第一次從2個綠球摸1個，第二次從2個紅球里摸1個，故；“兩次都摸到綠球”，第一次從2個綠球摸1個，第二次直接摸剩下的1個綠球，故；“兩個球中有紅球”和“兩次都摸到綠球”互為對立事件，故，故，A正確；，B錯誤；，C錯誤；“兩次都摸到綠球”和“第二次摸到紅球”為互斥事件，D正確.故選：AD.6．AC【解析】當時，，選項A正確；當時，，選項B錯誤；當時，，選項C正確；當時，，選項D錯誤.故選：AC7．ACD【解析】當時，，A正確；當時，又投擲四次連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的情況只有：正正正正或正正正反或反正正正，，B錯誤；要求，即拋擲n次沒有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率，分類進行討論；如果第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是；如果第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是；如果第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，這時候不出現(xiàn)三次連續(xù)正面的概率是，綜上，，D正確；由上式可得，則，易知，所以，，故當時，．又，，，滿足當時，，C正確．故選：ACD．8．ABD【解析】對于A，因為甲隊分在第一小組和第二小組的概率相等，且兩種情況等可能，所以，故A正確；對于B，8支球隊抽簽分組共有種不同方法，甲、乙兩隊分在同小組共有種不同方法，所以甲、乙兩隊分在同一小組的概率，故B正確；對于C，因為，所以，故C錯誤；對于D，因為，，所以，所以事件與事件相互獨立，故D正確.故選：ABD.9．【解析】(1)同學A獲得冠軍的概率為.(2)A，B兩人在第一輪相遇的概率為，A，B兩人在敗者組相遇的概率為，A，B兩人在勝者組相遇的概率為，所以A，B兩人能夠在比賽中相遇的概率為.10．【解析】(1)解：甲滑雪用時比乙多秒分鐘，因為前三次射擊，甲、乙兩人的被罰時間相同，所以在第四次射擊中，甲至少要比乙多命中4發(fā)子彈.設(shè)“甲勝乙”為事件A，“在第四次射擊中，甲有4發(fā)子彈命中目標，乙均未命中目標”為事件，“在第四次射擊中，甲有5發(fā)子彈命中目標，乙至多有1發(fā)子彈命中目標”為事件，依題意，事件和事件是互斥事件，，，，所以，.即甲勝乙的概率為.(2)解：依題意得，甲選手在比賽中未擊中目標的子彈數(shù)為，乙選手在比賽中未擊中目標的子彈數(shù)為，則，，所以甲被罰時間的期望為（分鐘），乙被罰時間的期望為（分鐘），又在賽道上甲選手滑行時間慢3分鐘，所以甲最終用時的期望比乙多2分鐘.因此，僅從最終用時考慮，乙選手水平更高.

時間：6月3日 今日心情：核心考點解讀——隨機變量及其分布1.本節(jié)內(nèi)容與排列組合有密切關(guān)系，獨立性是涉及較多的核心概念.同時，本節(jié)內(nèi)容也可以與函數(shù)、數(shù)列、不等式等內(nèi)容相結(jié)合.隨著計算機技術(shù)和人工智能的發(fā)展，概率統(tǒng)計逐步成為應(yīng)用最廣泛的數(shù)學內(nèi)容之一.這部分內(nèi)容作為高考數(shù)學的主干內(nèi)容之一，會越來越受到重視.2.主要以解答題形式出現(xiàn)，一般難度為中等，但是也可能出現(xiàn)與函數(shù)、數(shù)列等其他知識點綜合的情形，難度較大.3.主要以應(yīng)用題的方式出現(xiàn)，多與經(jīng)濟、生活實際相聯(lián)系，需要在復(fù)雜的題目描述中找出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學模型，并且運用數(shù)學模型解決實際問題.一、離散型隨機變量分布列、期望、方差及其性質(zhì)（1）離散型隨機變量的分布列.…=1\*GB3①;=2\*GB3②.（2）表示的期望：，反應(yīng)隨機變量的平均水平，若隨機變量滿足，則.（3）表示的方差：，反映隨機變量取值的波動性。越小表明隨機變量越穩(wěn)定，反之越不穩(wěn)定。若隨機變量滿足，則。二、幾種特殊的分布列、期望、方差（1）兩點分布（又稱0，1分布）011-=，=.（2）二項分布：若在一次實驗中事件發(fā)生的概率為，則在次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生次概率，稱服從參數(shù)為的二項分布，記作，=，=.（3）超幾何分布：總數(shù)為的兩類物品，其中一類為件，從中取件恰含中的件，，其中為與的較小者，，稱服從參數(shù)為的超幾何分布，記作，此時有公式。三、正態(tài)分布（1）若是正態(tài)隨機變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達式為，（其中是參數(shù)，且，）。其圖像如圖所示，有以下性質(zhì)：=1\*GB3①曲線在軸上方，并且關(guān)于直線對稱；=2\*GB3②曲線在處處于最高點，并且此處向左右兩邊延伸時，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；=3\*GB3③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”；=4\*GB3④圖像與軸之間的面積為1.（2）=，=，記作.當時，服從標準正態(tài)分布，記作.（3），則在，，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態(tài)分布的原則。1．（2021·全國·高考真題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【解析】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.故選：D.（多選題）2．（2020·海南·高考真題）信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（

）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當時，，當時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機變量的所有可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC3．（2020·浙江·高考真題）盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設(shè)此過程中取到黃球的個數(shù)為，則_______；______．【答案】

【解析】因為對應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以，隨機變量，，，所以.故答案為：.4．（2021·湖南·高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.設(shè)一盤中裝有6個粽子，其中肉粽1個，蛋黃粽2個，豆沙粽3個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個.（1）用表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求的分布列；（2）求選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列見解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先求隨機變量，再利用古典概型求概率；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求概率.【詳解】（1）由條件可知，，，，所以的分布列，如下表，（2）選取的2個中至少有1個豆沙粽的對立事件是一個都沒有，則選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.5．（2021·全國·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．【解析】（1）.（2）設(shè)，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.6．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)【解析】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.7．（2021·全國·高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【解析】【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學期望，比較兩個期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．8．（2020·江蘇·高考真題）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用n表示)．【解析】（1），，.（2），，因此，從而，即.又的分布列為012故.9．（2019·全國·高考真題（理））為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．【解析】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：

是以為首項，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.（多選題）1．（2022·河北·模擬預(yù)測）某工廠加工一種零件，有兩種不同的工藝選擇，用這兩種工藝加工一個零件所需時間t（單位：h）均近似服從正態(tài)分布，用工藝1加工一個零件所用時間；用工藝2加工一個零件所用時間，X，Y的概率分布密度曲線如圖，則（

）A．，B．若加工時間只有ah，應(yīng)選擇工藝2C．若加工時間只有ch，應(yīng)選擇工藝2D．，2．（2022·河北石家莊·二模）北京冬奧會已于2022年2月4日至2月20日順利舉行，這是中國繼北京奧運會.南京青奧會后，第三次舉辦的奧運賽事，為助力冬奧，進一步增強群眾的法治意識.提高群眾奧運法律知識水平和文明素質(zhì)，讓法治精神攜手冬奧走進千家萬戶.某市有關(guān)部門在該市市民中開展了“迎接冬奧·法治同行”主題法治宣傳教育活動.該活動采取線上線下相結(jié)合的方式，線上有“知識大闖關(guān)”冬奧法律知識普及類趣味答題，線下有“冬奧普法”知識講座，實現(xiàn)“冬奧+普法”的全新模式.其中線上“知識大闖關(guān)”答題環(huán)節(jié)共計30個題目，每個題目2分，滿分60分，現(xiàn)在從參與作答“知識大闖關(guān)”題目的市民中隨機抽取1000名市民，將他們的作答成績分成6組：.并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)請估計被抽取的1000名市民作答成貨的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)視頻率為概率.現(xiàn)從所有參與“知識大闖關(guān)”活動的市民中隨機取20名，調(diào)查其掌握各類冬奧法律知識的情況.記k名市民的成績在的概率為，，…，20.請估計這20名市民的作答成績在的人數(shù)為多少時最大？并說明理由.3．（2022·河北邯鄲·一模）在一次活動課上，老師準備了4個大小完全相同的紅包，其中只有一個紅包里面有100元，其余三個里面都是白紙.老師邀請甲上臺隨機抽取一個紅包，但不打開紅包，然后老師從剩下的三個紅包中拿走一個裝有白紙的紅包，甲此時可以選擇將自己選中的紅包與剩下的兩個紅包中的一個進行置換.(1)若以獲得有100元的紅包概率的大小作為評判的依據(jù)，甲是否需要選擇置換？請說明理由.(2)以（1）中的結(jié)果作為置換的依據(jù)，記表示甲獲得的金額，求的分布列與期望.4．（2022·福建三明·高三期末）為樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的理念，三明市某公司將于2022年3月12日開展植樹活動，為提高職工的積極性，活動期間將設(shè)置抽獎環(huán)節(jié)，具體方案為：根據(jù)植樹的棵數(shù)可以選擇在甲箱或乙箱中摸獎，每箱內(nèi)各有除顏色外完全相同的10個球，甲箱內(nèi)有紅、黃、黑三種顏色的球，其中a個紅球、b個黃球、5個黑球（），乙箱內(nèi)有6個紅球、4個黃球．若在甲箱內(nèi)摸球，則每次摸出一個球后放回原箱，摸得紅球獎100元，摸得黃球獎50元，摸得黑球則沒有獎金；若在乙箱內(nèi)摸球，則每次摸出兩球后放回原箱，兩球均為紅球獎150元，否則沒有獎金．(1)據(jù)統(tǒng)計，每人的植樹棵數(shù)X服從正態(tài)分布N（15，25），現(xiàn)有1000位植樹者，請估計植樹的棵數(shù)X在區(qū)間（10，25）內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；(2)根據(jù)植樹的棵數(shù)，某職工可選擇以下兩種方案摸獎，方案一：三次甲箱內(nèi)摸獎機會；方案二：兩次乙箱內(nèi)摸獎機會．請根據(jù)獎金的數(shù)學期望分析該職工如何選擇摸獎方案．附參考數(shù)據(jù)：若，則，．5．（2022·山東棗莊·一模）已知有一道有四個選項的單項選擇題和一道有四個選項的多項選擇題，小明知道每道多項選擇題均有兩個或三個正確選項．但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．這樣，小明在做多項選擇題時，可能選擇一個選項，也可能選擇兩個或三個選項，但不會選擇四個選項．(1)如果小明不知道單項選擇題的正確答案，就作隨機猜測．已知小明知道單項選擇題的正確答案和隨機猜測的概率都是，在他做完單項選擇題后，從卷面上看，在題答對的情況下，求他知道單項選擇題正確答案的概率．(2)假設(shè)小明在做該道多項選擇題時，基于已有的解題經(jīng)驗，他選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知該道多項選擇題只有兩個正確選項，小明完全不知道四個選項的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機選擇．記表示小明做完該道多項選擇題后所得的分數(shù)．求：（i）；（ii）的分布列及數(shù)學期望．6．（2022·山東濟南·一模）第56屆世界乒乓球錦標賽將于2022年在中國成都舉辦，國球運動又一次掀起熱潮.現(xiàn)有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得1分.(1)已知某局比賽中雙方比分為8：8，此時甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時乙得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立，求該局比賽甲以11：9獲勝的概率；(2)已知在本場比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨立.兩人又進行了X局后比賽結(jié)束，求X的分布列與數(shù)學期望.7．（2022·湖北·一模）年月日，中國女足在兩球落后的情況下，以比逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇.(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲?乙?丙?丁名女足隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外人中的人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知，.①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小.8．（2022·湖北·黃岡中學模擬預(yù)測）象棋屬于二人對抗性游戲的一種，在中國有著悠久的歷史，由于用具簡單，趣味性強，成為流行極為廣泛的棋藝活動.馬在象棋中是至關(guān)重要的棋子，“馬起盤格勢，折沖千里余.江河不可障，颯沓入敵虛”將矩形棋盤視作坐標系，棋盤的左下角為坐標原點，馬每一步從移動到或.(1)若棋盤的右上角為，馬從處出發(fā)，等概率地向各個能到達（不離開棋盤）的方向移動，求其步以內(nèi)到達右上角的概率.(2)若棋盤的右上角為，馬從處出發(fā)，每一步僅向方向移動，最終到達棋盤右上角，若選擇每一條可行的道路是等概率的，求馬停留在線段上次數(shù)的數(shù)學期望.9．（2022·湖南湘潭·三模）某?；@球社組織一場籃球賽，參賽隊伍為甲?乙兩隊，比賽實行三局兩勝制，已知甲隊贏得每一局比賽的概率為p（）.(1)若最終甲隊獲勝的概率為，求乙隊贏得每一局比賽的概率.(2)在（1）成立的情況下，在每一局比賽中，贏的隊伍得2分，輸?shù)年犖榈?分.用X表示比賽結(jié)束時兩支球隊的得分總和，求隨機變量x的分布列和期望.10．（2022·湖南師大附中一模）某種電子玩具啟動后，屏幕上的LED顯示燈會隨機亮起紅燈或綠燈．在玩具啟動前，用戶可對（）賦值，且在第1次亮燈時，亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為．隨后若第n（）次亮起的是紅燈，則第n+1次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為；若第n次亮起的是綠燈，則第n+1次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為．(1)若輸入，記該玩具啟動后，前3次亮燈中亮紅燈的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)在玩具啟動后，若某次亮燈為紅燈，且亮紅燈的概率在區(qū)間（，）內(nèi)，則玩具會自動唱一首歌曲，否則不唱歌．現(xiàn)輸入，則在前20次亮燈中，該玩具最多唱幾次歌？1．2020年8月11日，國家主席習近平同志對制止餐飲浪費行為作出重要指示，他指出，餐飲浪費現(xiàn)象，觸目驚心，令人痛心!“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，某中學制訂了“光盤計劃”，面向該校師生開展了一次問卷調(diào)查，目的是了解師生們對這一倡議的關(guān)注度和支持度，得到參與問卷調(diào)查中的2000人的得分數(shù)據(jù).據(jù)統(tǒng)計此次問卷調(diào)查的得分（滿分：100分）服從正態(tài)分布，則（

）若隨機變量，則，A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.477252．冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目之一．冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線MN的左側(cè)）有一個發(fā)球區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心O的遠近決定勝負，甲、乙兩人進行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓O中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)A中，得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．(1)求甲、乙兩人所得分數(shù)相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分數(shù)之和為X，求X的分布列和期望．3．某大學為了鼓勵大學生自主創(chuàng)業(yè)，舉辦了“校園創(chuàng)業(yè)知識競賽”，該競賽決賽局有、兩類知識競答挑戰(zhàn)，規(guī)則為進入決賽的選手要先從、兩類知識中選擇一類進行挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)成功才有對剩下的一類知識挑戰(zhàn)的機會，挑戰(zhàn)失敗則競賽結(jié)束，第二類挑戰(zhàn)結(jié)束后，無論結(jié)果如何，競賽都結(jié)束.、兩類知識挑戰(zhàn)成功分別可獲得萬元和萬元創(chuàng)業(yè)獎金，第一類挑戰(zhàn)失敗，可得到元激勵獎金.已知甲同學成功晉級決賽，面對、兩類知識的挑戰(zhàn)成功率分別為、，且挑戰(zhàn)是否成功與挑戰(zhàn)次序無關(guān).(1)若記為甲同學優(yōu)先挑戰(zhàn)類知識所獲獎金的累計總額（單位：元），寫出的分布列；(2)為了使甲同學可獲得的獎金累計總額期望更大，請幫甲同學制定挑戰(zhàn)方案，并給出理由.4．某地舉行象棋比賽，淘汰賽階段的比賽規(guī)則是：兩人一組，先勝一局者進入復(fù)賽，敗者淘汰.比賽雙方首先進行一局慢棋比賽，若和棋，則加賽快棋；若連續(xù)兩局快棋都是和棋，則再加賽一局超快棋，超快棋只有勝與負兩種結(jié)果.在甲與乙的比賽中，甲慢棋比賽勝與和的概率分別為，，快棋比賽勝與和的概率均為，超快棋比賽勝的概率為，且各局比賽相互獨立.(1)求甲恰好經(jīng)過三局進入復(fù)賽的概率；(2)記淘汰賽階段甲與乙比賽的局數(shù)為X，求X的概率分布列和數(shù)學期望.5．最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗結(jié)果為成功或不成功，且試驗成功的概率為.現(xiàn)對該產(chǎn)品進行獨立重復(fù)試驗，若試驗成功，試驗結(jié)束；若試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最多試驗10次.記X為試驗結(jié)束時所進行的試驗次數(shù)，且每次試驗的成本為元.(1)①寫出的分布列；②證明：；(2)某公司意向投資該產(chǎn)品.若，且試驗成功則獲利元，則該公司如何決策投資，并說明理由.6．在“十三五”期間，我國的扶貧工作進入了“精準扶貧”階段，到2020年底，全國830個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅史上的一大壯舉．重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽