河北省高三下學期3月高考模擬考試數(shù)學

按秘密級事項管理★啟用前2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學模擬測試本試卷共150分 考試時間120分鐘注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復數(shù)的實部為（）A． B． C． D．2．已知集合，，，則集合P的子集共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．8個3．已知向量與的夾角為，且，，則（）A． B． C．4 D．4．已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中間，則不同的站法種數(shù)為（）A．32 B．36 C．40 D．425．已知在三棱錐中，，則直線與平面所成的角的正弦值為（）A． B． C． D．6．某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．157．已知拋物線的焦點為F，直線l交拋物線T于A，B兩點，M為線段的中點，過點M作拋物線T的準線的垂線，垂足為N，若，則的最大值為（）A．1 B． C． D．8．某包裝設計部門為一球形塑料玩具設計一種正四面體形狀的外包裝盒（盒子厚度忽略不計），已知該球形玩具的直徑為2，每盒需放入10個塑料球，則該種外包裝盒的棱長的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知圓，圓，則下列選項正確的是（）A．直線的方程為B．圓和圓共有4條公切線C．若P，Q分別是圓和圓上的動點，則的最大值為10D．經(jīng)過點，的所有圓中面積最小的圓的面積為10．已知函數(shù)在上有且僅有5個零點，則（）A．的取值范圍是B．的圖象在上有且僅有3個最高點C．的圖象在上最多有3個最低點D．在上單調(diào)遞增11．已知函數(shù)，則（）A．當時，有極小值 B．當時，有極大值C．若，則 D．函數(shù)的零點最多有1個題序1234567891011答案三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則______．13．自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因組合而成的，這種生物在生育下一代時，成對的基因相互分離形成配子，配子隨機結合形成下一代的基因型．若某生物群體的基因型為，在該生物個體的隨機交配過程中，基因型為的子代因無法適應自然環(huán)境而被自然界淘汰．例如當親代只有的基因型個體時，其子一代的基因型如下表所示：雌雄由上表可知，子一代中，子一代產(chǎn)生的配子中A占，a占，以此類推，子七代中的個體所占的比例為______．14．已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓T上一點，且，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓T的離心率______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）求的最大值．16．（15分）如圖，已知在圓柱中，A，B，C是底面圓O上的三個點，且線段為圓O的直徑，，為圓柱上底面上的兩點，且矩形平面，D，E分別是，的中點．（1）證明：平面．（2）若是等腰直角三角形，且平面，求平面與平面的夾角的正弦值．17．（15分）某景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務水平，現(xiàn)對當日購票的120人征集意見，當日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．（1）若按購票類型采用分層隨機抽樣的方法從這120人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，求隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負責人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標為A，否則該組標為B，記詢問的某組被標為B的概率為p．（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標為B的概率，試求的最大值及此時m的值．18．（17分）已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．19．（17分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點F到漸近線的距離為．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）若雙曲線上動點Q處的切線交C的兩條漸近線于A，B兩點，其中O為坐標原點，求證：的面積S是定值．2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學模擬測試參考答案1．A【命題意圖】本題考查復數(shù)的運算和復數(shù)的概念，要求考生會求復數(shù)的實部．【解題分析】，故A項正確．2．C【命題意圖】本題考查集合的運算，要求考生理解交集和子集的含義．【解題分析】因為，，所以，所以，則集合P的子集共有個．3．A【命題意圖】本題考查向量的數(shù)量積，要求考生會進行向量數(shù)量積的運算．【解題分析】由題意可得，，所以．4．C【命題意圖】本題考查排列組合，要求考生會進行簡單的排列組合計算．【解題分析】先排前排，有種站法，后排3人中身高最高的站中間，則兩邊的人有種站法，則有種站法．5．D【命題意圖】本題考查線面角，要求考生利用幾何體的性質求線面角的正弦值．【解題分析】設A，B，C，O是正四面體的4個頂點，則點A在平面的射影是正三角形的中心D．設，則，可得，高，則直線與平面所成的角的正弦值．6．D【命題意圖】本題考查指、對數(shù)的運算，要求考生能利用指、對數(shù)的運算解決實際問題．【解題分析】由題意知，，當時，，故，，故．由，得，即，則，而，故，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要15次．7．B【命題意圖】本題考查拋物線，要求考生能利用拋物線的性質和基本不等式解決問題．【解題分析】設，，因為，所以，所以，過點A，B分別作，垂直準線于點G，W，由拋物線的定義可知，，由梯形的中位線可知．因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以所以，故的最大值為．8．C【命題意圖】本題考查幾何體的內(nèi)切問題，要求考生具有較強的直觀想象素養(yǎng)，能靈活應用簡單幾何體的性質求空間幾何體的內(nèi)切問題．【解題分析】易知正四面體的高等于其棱長的，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長的．如圖，10個直徑為2的小球放進棱長為a的正四面體中，構成三棱錐的形狀，有3層，從上到下每層的小球個數(shù)依次為1，3，6．當a取得最小值時，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的側面相切，底層的每個球都與正四面體的底面相切，任意相鄰的兩個小球都外切，位于底層正三角狀頂點的所有相鄰小球的球心連線為一個正四面體，則該正四面體的棱長為，可求得其高為，，所以正四面體的高為，進而可求得其棱長a的最小值為．9．ACD【命題意圖】本題考查圓與圓的位置關系，要求考生了解圓的定義與方程，能利用圓的性質解決簡單的問題．【解題分析】由題意可知圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，直線的方程為，即，故A正確；因為，可知圓與圓外切，所以兩圓的公切線共有3條，故B錯誤；因為，所以的最大值為，故C正確；當為圓的直徑時，該圓在經(jīng)過點，的所有圓中面積最小，此時圓的面積為．故D正確．10．BC【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質，要求考生理解三角函數(shù)的圖象與性質，熟練使用三角函數(shù)的性質及不等式的性質求解相關問題．【解題分析】由，，得，，所以函數(shù)在上由小到大的第5個零點為，第6個零點為，由題知，，解得，A項錯誤．令，解得，，當時，，因為，所以，，當且僅當，1，2時，，故在上有且僅有3個最高點，B項正確．令，解得，，同上可知，，，當，2時，，當時，令，解得，所以當時，在上有3個最低點，C項正確．由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為，所以，又因為，所以在區(qū)間上不單調(diào)，D項錯誤．11．AC【命題意圖】本題考查導數(shù)的綜合應用，要求考生能通過導數(shù)有無變號的零點來判斷函數(shù)的極值，能通過構造函數(shù)的方法討論函數(shù)的零點問題．【解題分析】當時，，令，變形可得，結合函數(shù)圖象（圖略）可知，存在，使得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故A項正確，B項錯誤．若，即，則．設，則．設，可知，則，．若，則，為減函數(shù)，注意到，可知當時，，不合題意．若，則，當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，所以．設，，則，．當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，則，所以只有當時，才能成立．綜上所述，，故C項正確．由C項可知，，，則，所以為增函數(shù)．當時，，當t無限趨近于0時，無限趨近于，且，即此時有兩個零點，因為為增函數(shù)，且，所以此時有兩個零點．同理可得，當時，有兩個零點．當時，，此時有一個零點1，所以有一個零點．當時，為減函數(shù)，，此時有一個零點1，即只有一個零點．綜上，函數(shù)最多有兩個零點，故D項錯誤．12．【命題意圖】本題考查三角恒等變換，要求考生能熟練地使用兩角和的余弦公式及二倍角公式解決問題．【解題分析】因為，整理得，所以，所以，所以．13．【命題意圖】本題考查數(shù)列的綜合應用，要求考生能從實際問題中抽象出數(shù)列的遞推關系式，能利用等差數(shù)列解決實際問題．【解題分析】設子n代中占比為，則占比為，所以，則子代的基因型如下表所示：雌雄由表可知，表格中總份數(shù)為（其中淘汰了份），因此子代中的占比為，化簡得，即，即，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，，因此．14．【命題意圖】本題考查橢圓的離心率，要求考生能利用橢圓的相關性質求解橢圓焦點三角形的外接圓與內(nèi)切圓的半徑問題．【解題分析】因為，且，，所以，所以，所以的面積．設的外接圓的半徑為R，內(nèi)切圓的半徑為r，由正弦定理可得，可得．易知的周長，利用等面積法可知，解得．又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，即，所以，即，所以，故離心率．15．【命題意圖】本題考查解三角形，要求考生能利用正弦定理與余弦定理求解三角形的相關問題．【解題分析】（1）因為，結合正弦定理得，移項得，所以．又因為，所以．（2）因為，所以，由基本不等式得，所以，當且僅當時，等號成立，解得，所以的最大值為．16．【命題意圖】本題考查線面平行與空間向量在立體幾何中的應用，要求考生能運用線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質定理證明線面平行，熟悉向量的方法在研究立體幾何問題中的應用．【解題分析】（1）如圖，取的中點F，連接，，因為D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，所以，．又因為平面，平面，平面，平面，所以平面，平面．因為，，平面，所以平面平面．又因為平面，所以平面．（2）如圖，連接，．因為E，O分別為，的中點，所以，且，又因為D為的中點，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為平面，所以平面．又因為平面，所以，可得．因為是等腰直角三角形，所以．以A為原點，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，可得，，，，則，，，．設平面的法向量為，則，取，可得，，所以．設平面的法向量為，則，取，可得，，所以．，所以平面與平面的夾角的正弦值為．17．【命題意圖】本題考查分層隨機抽樣、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望、獨立事件的概率，要求考生能有使用統(tǒng)計、概率知識解決實際問題的能力．【解題分析】（1）因為購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為，所以這10人中，購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：，，，故隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中購票類型相同的有種選法，則詢問的某組被標為B的概率．（ii）由題意，5組中恰有3組被標為B的概率，所以，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，且最大值為．由，且，得．當時，5組中恰有3組被標為B的概率最大，且的最大值為．18．【命題意圖】本題考查導數(shù)的綜合應用，要求考生能利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，會使用分離變量的方法求參數(shù)的范圍．【解題分析】（1）函數(shù)，的定義域為，且．當時，，恒成立，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，令，解得，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）設，則，易知在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，所以