四川省遂寧市射洪中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次半月考數(shù)學(xué)試題

射洪中學(xué)高2022級(jí)文科班高二下期第一次半月考試數(shù)學(xué)試題（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.第I卷（選擇題）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)在區(qū)間上的（）A.最小值為0，最大值為B.最小值為0，最大值為C.最小值為，最大值為D.最小值為0，最大值為2【答案】B【解析】【分析】先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而得到在區(qū)間上單調(diào)性，即可求得在區(qū)間上最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此的最小值為，最大值為.故選：B2.已知，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得答案.【詳解】.故選：D3.已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，、分別是它們的前項(xiàng)和，并且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式得出，利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得出，即可得出結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得，由等差數(shù)列的基本性質(zhì)得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)等差數(shù)列項(xiàng)之和的比值，靈活利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.4.在等比數(shù)列中，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由下標(biāo)和性質(zhì)求出，再由下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】由，得，則.故選：B5.若函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可得其在何處取得最值，即可得解.【詳解】，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最值，則有，解得.故選：C.6.若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先計(jì)算出,由存在單調(diào)遞減區(qū)間知在上有解即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且其?dǎo)數(shù)為．由存在單調(diào)遞減區(qū)間知在上有解，即有解．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．故選:B．7.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：C.8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則使得成立的n的最大值為（）A.32 B.33 C.44 D.45【答案】C【解析】【分析】分奇偶項(xiàng)討論，根據(jù)題意利用并項(xiàng)求和求，運(yùn)算求解即可.【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，令，且n為偶數(shù)，解得，故n的最大值為44；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，令，且為奇數(shù)，解得，故n的最大值為43；綜上所述：n的最大值為44.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：并項(xiàng)求和適用的條件和注意事項(xiàng)：1.適用條件：數(shù)列中出現(xiàn)等形式時(shí)，常用利用并項(xiàng)求和求；2.注意分類討論的應(yīng)用，比如奇偶項(xiàng)，同時(shí)還需注意起止項(xiàng)的處理.二?多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值和極值點(diǎn)的概念可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上先減后增，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；因?yàn)樵谧髠?cè)附近導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)附近導(dǎo)數(shù)為負(fù)，所以函數(shù)在處取得極大值，故C正確；因?yàn)樵谧髠?cè)附近導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)附近導(dǎo)數(shù)為正，所以函數(shù)在處取得極小值，因?yàn)樵谧髠?cè)附近導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)附近導(dǎo)數(shù)為正，所以函數(shù)在處取得極小值，則函數(shù)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)，故D正確.故選：BCD10.下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：，則，故A正確；對(duì)于B：，則，故B正確；對(duì)于C：，則，故C正確；對(duì)于D：，則，故D錯(cuò)誤；故選：ABC11.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則下列命題中正確的是（）A.B.C.成等比數(shù)列D.“”是“成等差數(shù)列”的充要條件【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A、B、D，結(jié)合與的關(guān)系，將與互相轉(zhuǎn)化計(jì)算即可得；對(duì)C，舉出反例當(dāng)時(shí)其不成立即可得.【詳解】對(duì)A：，故A正確；對(duì)B：，故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，有，等比數(shù)列不能有項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，故由“”可得“成等差數(shù)列”，當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，可得，即有，即，可得，即由“成等差數(shù)列”可得“”，故“”是“成等差數(shù)列”的充要條件，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.若時(shí)，，則的最小值為D.若方程有兩個(gè)實(shí)根，則【答案】BD【解析】【分析】求導(dǎo)后，結(jié)合正負(fù)可得單調(diào)性；利用零點(diǎn)存在定理可說(shuō)明零點(diǎn)個(gè)數(shù)，知A錯(cuò)誤；根據(jù)極值定義可知B正確；采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得CD正誤.【詳解】定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；對(duì)于A，，，，在區(qū)間和內(nèi)各存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，恒成立；有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由單調(diào)性可知：的極小值為，極大值為，B正確；對(duì)于C，，作出圖象如下圖所示，可知方程存在另一個(gè)解，若當(dāng)時(shí)，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方程有兩個(gè)實(shí)根等價(jià)于與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，作出圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知：，D正確.故選：BD.第II卷（非選擇題）三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列滿足，若，則__________.【答案】##【解析】【分析】由題意可得數(shù)列等比數(shù)列，得到首項(xiàng)與公式后借助等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即可得.【詳解】由，且，故數(shù)列為首項(xiàng)為的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，故.故答案為：.14.已知函數(shù)在處取得極值5，則__________.【答案】【解析】【分析】由極值及極值點(diǎn)的定義可得、，計(jì)算即可得.【詳解】，則有，解得，，解得，故.故答案為：.15.函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】由計(jì)算可得，則有，計(jì)算即可得解.【詳解】，故，則，故.故答案為：.16.若點(diǎn)，則兩點(diǎn)間距離最小值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】由題意可得點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，在曲線上找到與直線平行的切線，則該切線與直線的距離即為的最小值.【詳解】點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，即求的最小值等價(jià)于求直線上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值，過(guò)上的點(diǎn)作的切線，可得，令，可得，故該切線為，則直線與的距離即為的最小值，此時(shí)，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于觀察出點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，則可借助求直線上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值得到的最小值.四?解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分.共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最值.【答案】（1）函數(shù)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為（2）最大值，最小值．【解析】【分析】（1）根據(jù)f(x)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求其單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)f(x)在上的單調(diào)性即可求其最值．【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)，故函數(shù)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由(1)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，則在上的最大值，最小值．18.已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程是.（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性后計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】，則，，解方程組，可得，即，；【小問(wèn)2詳解】由，，故，，，故當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，若函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，則有或，即或.19.記數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：為等差數(shù)列；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和，證明.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）借助與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列定義計(jì)算即可得；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式后借助裂項(xiàng)相消法可求出，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可得證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，故，即，當(dāng)時(shí)，有，即，故數(shù)列是公差、首項(xiàng)均為2的等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由數(shù)列是公差、首項(xiàng)均為2的等差數(shù)列，故，故，則，故，又在時(shí)單調(diào)遞減，故隨的增大而增大，故，即有.20.函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，求出，即可求出參數(shù)的取值范圍；（2）首先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，再分、兩種情況討論，即可得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑒t，依題意在上恒成立，所以在上恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.21.數(shù)列，滿足，且，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（1）求；（2）求的前項(xiàng)和為.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，即可得到的通項(xiàng)公式，即可得到，即，再由作差法計(jì)算可得；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，又?jǐn)?shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，即可，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以（），經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，所以，所以.22.已知函數(shù)