數(shù)列的極限與連續(xù)

關(guān)于數(shù)列的極限與連續(xù)2024/4/112§2.1數(shù)列的極限(LimitsofSequences)二收斂數(shù)列的性質(zhì)一數(shù)列極限的定義三小結(jié)與思考判斷題CH2極限、連續(xù)第2頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1132.1.1數(shù)列概念例如第3頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/114注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)第4頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/115定義2.數(shù)列單調(diào)性定義單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列同樣,定義3：數(shù)列有界性定義第5頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/116幾何意義:由于|xn|

M

M

xn

M

xn[M,M].故,所謂xn有界,就是xn要全部落在某個(gè)對(duì)稱(chēng)區(qū)間[

M,M]內(nèi).看圖0Mxxn

M][第6頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1172.1.2數(shù)列極限的概念第7頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/118圖形演示第8頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/119圖形演示第9頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1110圖形演示第10頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1111圖形演示第11頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1112圖形演示第12頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1113圖形演示第13頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1114圖形演示第14頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1115圖形演示第15頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1116圖形演示第16頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1117圖形演示第17頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1118圖形演示第18頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1119圖形演示第19頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1120圖形演示第20頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1121問(wèn)題:當(dāng)

無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀(guān)察:第21頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1122第22頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1123如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：定義3

如果對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多么小)總存在正數(shù)，使得對(duì)于時(shí)的一切不等式都成立,那末就稱(chēng)常數(shù)為數(shù)列的極限，或者稱(chēng)數(shù)列收斂于,記為第23頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1124注①定義1習(xí)慣上稱(chēng)為極限的ε—N定義，它用兩個(gè)動(dòng)態(tài)指標(biāo)ε和N刻畫(huà)了極限的實(shí)質(zhì)，用|xn－a|＜ε定量地刻畫(huà)了xn與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標(biāo)志著“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。這個(gè)定義有三個(gè)要素：10，正數(shù)ε，20，正整數(shù)N，30，不等式|xn－a|＜ε（n

＞N）②定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對(duì)固定性。ε的二重性體現(xiàn)了xn逼近a時(shí)要經(jīng)歷一個(gè)無(wú)限的過(guò)程（這個(gè)無(wú)限過(guò)程通過(guò)ε的任意性來(lái)實(shí)現(xiàn)），但這個(gè)無(wú)限過(guò)程又要一步步地實(shí)現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的（這個(gè)有限的變化通過(guò)ε的相對(duì)固定性來(lái)實(shí)現(xiàn)）。第24頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/11251.我們用符號(hào)“”表示“任取”或“對(duì)于任意的”或“對(duì)于所有的”,符號(hào)“”稱(chēng)為全稱(chēng)量詞.2.我們用符號(hào)“”表示“存在”.符號(hào)“”稱(chēng)為存在量詞.符號(hào)：第25頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1126幾何解釋:第26頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1127當(dāng)

x

=n,則相應(yīng)的點(diǎn)都落在綠色區(qū)域內(nèi)nf(n)0AN123N+1N+2數(shù)列的極限演示對(duì)一切n>N

自然數(shù)

N

A的

鄰域第27頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1128當(dāng)

x

=n,則nf(n)0AN123N+1N+2

數(shù)列的極限演示.相應(yīng)的點(diǎn)都落在綠色區(qū)域內(nèi)對(duì)一切n>N

自然數(shù)

N

A的

鄰域第28頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1129當(dāng)

x

=n,則nf(n)0AN123N+1N+2數(shù)列的極限演示.相應(yīng)的點(diǎn)都落在綠色區(qū)域內(nèi)對(duì)一切n>N

自然數(shù)

N

A的

鄰域第29頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1130當(dāng)

x

=n,則nf(n)0AN123N+1N+2.相應(yīng)的點(diǎn)都落在綠色區(qū)域內(nèi)對(duì)一切n>N

自然數(shù)

N

A的

鄰域數(shù)列的極限演示第30頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1131當(dāng)

x

=n,則nf(n)0A123NNNNNN+1N+2因此，數(shù)列的極限定義也稱(chēng)數(shù)列極限的

—N定義.相應(yīng)的點(diǎn)都落在綠色區(qū)域內(nèi)對(duì)一切n>N

自然數(shù)

N

A的

鄰域數(shù)列的極限演示第31頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1132例1.

若xn=c(常數(shù)),則證:

>0.由于|xn–c|=|c–c|=0取N=1,當(dāng)n>N時(shí),有|xn–c|=0<

故即常數(shù)的極限就是常數(shù)本身.數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：第32頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1133例2證所以,第33頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1134例3證注:

用定義證明數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是從主要不等式出發(fā),由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).第34頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1135例4、第35頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1136所以取要,只要使第36頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1137二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.收斂數(shù)列的唯一性定理1收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證由定義,第37頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1138例5證由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi).第38頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1139定理2收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,2.收斂數(shù)列的有界性注1

有界性是數(shù)列收斂的必要條件.注2

無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.數(shù)列注3

有界數(shù)列不一定收斂.數(shù)列第39頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/11403.收斂數(shù)列的保號(hào)性第40頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1141第41頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1142數(shù)列的子數(shù)列(略)子數(shù)列(子列):在數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng),并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序得到的數(shù)列,稱(chēng)為原數(shù)列的子列.記作即其中例如自然數(shù)列第42頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/11434.收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系(略)

axknn=￥?lim這就證明了NnnKkNnKKk=>>=.,時(shí)，有則當(dāng)取

證axnk<-\.||

eaxNnn<->;||時(shí)恒有當(dāng)eNaxxxknnnn$>"=￥?,,0,lim

}{}{使得由定義，的任一子數(shù)列.是數(shù)列設(shè)數(shù)列eQ第43頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1144例如數(shù)列

因?yàn)樗袃蓚€(gè)子列分別收斂于1和-1兩個(gè)不同的數(shù)值.第44頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1145定理5.

設(shè)數(shù)列xn和yn

的極限都存在.且則(1)(2)(3)設(shè)C為常數(shù)，有(4)當(dāng)b0時(shí)，有三、數(shù)列極限的運(yùn)算法則第45頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1146第46頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1147定理4.

若證：由于注意到不等式

||A||B|||A

B|從而||xn||a|||xn

a|<故反之不對(duì).注意：若，則結(jié)論成立。見(jiàn)教材P32習(xí)題7第47頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1148例6解先變形再求極限.第48頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1149例7.

求解：注意到從而所以，原式=第49頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/11501、夾逼（擠）準(zhǔn)則（定理4）2.1.4數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則第50頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/11511.夾逼（擠）準(zhǔn)則

(準(zhǔn)則1)證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故第51頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1152注意:(2)兩者的極限相等.特別,若在夾逼定理中,yn

和zn

中有一個(gè)為常數(shù)列,并滿(mǎn)足定理?xiàng)l件.定理仍然成立.即若a

xn

zn,

這一方法能解決很多較為困難的求極限問(wèn)題.第52頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1153例8解由夾逼定理得第53頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1154例9

證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由第54頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1155例10.

求解：用夾逼定理求解，記適當(dāng)放大和縮小，形成定理要求的連不等式考慮將xn由于所以第55頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/11562單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)增加且有上界數(shù)列必有極限單調(diào)減少且有下界數(shù)列必有極限即：第56頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1157例11證(舍去)第57頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1158證明2:

首先注意到,當(dāng)a>b>0時(shí),有移項(xiàng),有即第58頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1159第59頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1160第60頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1161由于單調(diào)有界,從而必有極限.為一無(wú)理數(shù)第61頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1162注：第62頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1163例13.

設(shè)x0=1,證明xn

的極限存在，并求之.證：通常要證明某數(shù)列極限存在可考慮用:(1)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.(2)夾逼定理(條件中往往有不等式).此例用(1)注意到0<xn2,即xn有界.且x1

x0第63頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1164同理，

=即xn

單調(diào)遞增.第64頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/1165因xn>0,故a0.第65頁(yè),共72頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/