2023-2024學(xué)年上海市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題5（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.若C=c3+c"(,IEN*).則〃=.

【正確答案】5

【分析】結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由C；=C管+C,,所以c：=c；,

又因為CT=GL,所以C；=C；2,所以〃_2=3,BP?=5,

故5.

2.總體是由編號為3,02,,29,30的30個個體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選

取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出

來的第5個個體的編號為.

78161572080263150216431997140198

32049234493682003623486969387181

【正確答案】19

【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表選取編號的方法求解即可.

【詳解】隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字為15,則選取的5個個體依次為：15,

08,02,16,19,故選出來的第5個個體的編號為19.

故答案為:19.

3.已知"C所在平面外一點(diǎn)P,且尸4PB,PC兩兩垂直，則點(diǎn)尸在平面ABC內(nèi)的射影應(yīng)

為ABC的心.

【正確答案】垂

【分析】設(shè)點(diǎn)尸在平面ABC內(nèi)的射影為A，由已知可證明PA?LBC,PAlBC,根據(jù)線面

垂直的判定以及性質(zhì)可得BCLAq.同理可得AC_LB[,ABlC^,即可得出答案.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為R,則尸I-L平面A8C.

又BCu平面ABC,所以Pq,BC.

因為PAVPC,PBCPC=P,P3u平面PBC,PCU平面PBC,

所以PAL平面PBC.又BCU平面PBC,所以。4L8C.

因為PAlP6=p,B4u平面P4<,PAU平面PAe,所以BC/平面RWt

又AqU平面FA《，所以BCJ.AA.

同理可證，AClBf↑,ABLCPt,所以＜是_ABC的垂心.

所以，點(diǎn)尸在平面ABC內(nèi)的射影應(yīng)為，45C的垂心.

故垂.

4.某校要從高一、高二、高三共2023名學(xué)生中選取50名組成志愿團(tuán)，若先用簡單隨機(jī)抽

樣的方法從2023名學(xué)生中剔除23名，再從剩下的2000名學(xué)生中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽

取50名，則每名學(xué)生入選的可能性.

【正確答案】?

【分析】應(yīng)用隨機(jī)抽樣定義,每各個體被抽到的概率相等求解即可.

【詳解】先用簡單隨機(jī)抽樣的方法從2023名學(xué)生中剔除23名，每各個體被抽到的概率相等,

再從剩下的2000名學(xué)生中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取50名，則每名學(xué)生入選的可能性為

50

2023

5.在1-2)的二項展開式中，V項的系數(shù)是.

【正確答案】-672

【分析】由二項式的通項公式即可求解.

(詳解】二項式(X-的通項為=qχ9-r(-∣)r=(-2XG產(chǎn)2"

令9-2r=3,得r=3,

所以√項的系數(shù)是(-2)?=-672.

故答案為.-672

6.已知圓錐的側(cè)面積為2兀，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑是

【正確答案】I

【分析】設(shè)出圓錐底面半徑和母線長，利用側(cè)面展開后，扇形弧長公式和面積公式進(jìn)行求解.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,圓錐的母線長為/,則:π∕=2π,解得：1=2,又

2

2πr=Til-Iit,解得.r-1

故1

7.如圖所示：在直三棱柱ABC-A耳G中，AB上BC,AB=BC=BB1,則平面ABC與平

面ABC所成的二面角的大小為.

【正確答案】?

【分析】通過題意易得直三棱柱ABC-A/B/G即為正方體的一半，直接得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，易得直三棱柱ABC-AfGI即為正方體的一半,

所求即為平面ABC與平面A8C所成的二面角，即為NCfC,

TT

又△4CC為等腰直角三角形，???/CMC=1,

故答案為

4

本題考查二面角的求法，發(fā)現(xiàn)“直三棱柱ABC-A/B/C/即為正方體的一半”是解決本題的

關(guān)鍵，屬于中檔題.

8.有--道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從A點(diǎn)出發(fā)不經(jīng)過C、￡＞點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的最短路徑有

___________利,.

【正確答案】24

【分析】根據(jù)已知，要想避開C、力點(diǎn)，需分步考慮.得到每一步的方法種類，用分步計數(shù)

原理乘起來即可得出答案.

【詳解】

如圖，由已知可得，應(yīng)從A點(diǎn)，先到E點(diǎn)，再到尸點(diǎn)，最后經(jīng)點(diǎn)G到3點(diǎn)即可.

第一步：由A點(diǎn)到E點(diǎn)，最短路徑為4步，最短路徑方法種類為C；.C；=4；

第二步：由E點(diǎn)到F點(diǎn)，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為C；?C；=3；

第三步：由F點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)G到B點(diǎn)，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為C[?C?C=2.

根據(jù)分步計數(shù)原理可得，最短路徑有4x3x2=24種.

故24.

9.從本市某高中全體高二學(xué)生中抽取部分學(xué)生參加體能測試，按照測試成績繪制莖葉圖，

并以[50,60),[6Q70),[70,80),[80,90),[90,100]為分組作出頻率分布直方圖，后來莖

葉圖受到了污損，可見部分信息如圖，則α的值為.

頻率

【正確答案】0.02

【分析】根據(jù)頻率分布圖可得［90,100］組內(nèi)有2個數(shù)據(jù).結(jié)合莖葉圖和頻率分布直方圖可知樣

本容量n=20,即可得出［80,90）組內(nèi)的數(shù)據(jù)有4個，進(jìn)而求出”的值.

【詳解】由頻率分布直方圖可得，［90,100］組內(nèi)數(shù)據(jù)的頻率等于［50,60）組內(nèi)數(shù)據(jù)的頻率，所

以［90,100］組內(nèi)有2個數(shù)據(jù).

2

設(shè)樣本容量為〃，則—=0.01x10,所以〃=20.

n

所以［80,90）組內(nèi)的數(shù)據(jù)有20-2-5-7-2=4,所以［80,90）組內(nèi)數(shù)據(jù)的頻率等于4=0.2,

所以a=米=0.02.

故答案為.0.02

10.如圖，四邊形ABC。為梯形，AD/∕BC,ZABC=90°,圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所

形成的幾何體的體積為

【正確答案】—.

【分析】由題意知：旋轉(zhuǎn)所得兒何體為一個圓臺，從上面挖去一個半球；利用球體、圓臺的

體積公式求幾何體體積.

【詳解】由題意知，所求旋轉(zhuǎn)體是一個圓臺，從上面挖去一個半球；圓臺的上底面面積

Si=4π,下底面面積下=16%,

.?.圓臺的體積為乂=3><（4萬+54萬><16萬+16萬）*3=28萬,

又半球的體積為匕=JXgWX2?=殍，

故旋轉(zhuǎn)體的體積為K-匕=2肪-等=等.

√68;T

故4丁

11.斐波那契數(shù)列是由13世紀(jì)意大利斐波那契提出的，它的通項公式為:

""=不］［—］'〃€“，若S,,=αC+∕C"+”,C,則數(shù)列｛S,,｝通項公

式為.

【正確答案】白［［生瀘］-［三叵］,〃eN*

√5Ll2）I2人

【分析】根據(jù)已知數(shù)列的通項公式,結(jié)合二項式定理,計算可得S”.

又因為

12.在棱長為1的正方體ABS-A片Ge中，F(xiàn),P分別為線段4G和平面AAGR上的動點(diǎn),

點(diǎn)G為線段BC的中點(diǎn)，則,PGF周長的最小值為.

41

【正確答案】-##1-

【分析】若IP尸I取得最小值，則P在線段AG上，將平面AAG繞AG旋轉(zhuǎn)到與ABG共面的

情況，可知過G作GP'J.AG于點(diǎn)p',結(jié)合三角形三邊關(guān)系可知∣PF∣+∣pq的最小值為尸G,

可知所求三角形周長最小值為2|。6；利用二倍角公式可求得sin∕AG8,在RtGP'￡可求

得尸q,由此可得結(jié)果.

若IPFl取得最小值，則P尸，平面A4CQ,又4G在平面4蜴CQ上的投影為ACI,

.?.p在線段AG上,

將平面AAG繞AG旋轉(zhuǎn)到與ABG共面的情況，如圖所示,

過G作GP'IAG于點(diǎn)P,交AG于點(diǎn)F,

.?.∣PF∣+∣FGl≥∣PG∣>∣P,G∣（當(dāng)且僅當(dāng)F,F'重合，RP重合時取等號），

AB=I,BC,=√2,AC1=√3,GC1=~,

在RtABC1φ,SinNAGB=今,COSNAGB=當(dāng)，

.?.sinZAiCtB=sin2AACiB=2sinZAC1BcosZAC1B=??；

則在RlGP'G中，p'G=GC1sinZA1C1B=,

.二PGF的周長IPGl+1PF∣+1FG∣≥21PGl=*

故答案為54

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中到定點(diǎn)和到動點(diǎn)的距離和的最值問題的求解，解題關(guān)鍵是

能夠通過旋轉(zhuǎn)平面將立體幾何中距離之和的問題，轉(zhuǎn)化為平面幾何中的距離之和的問題，進(jìn)

而結(jié)合三角形三邊關(guān)系確定最值取得的情況.

二、單選題

13.設(shè)M,N為兩個隨機(jī)事件，如果M,N為互斥事件,那么（）

A.而UN是必然事件B.MUN是必然事件

C.A7與可一定為互斥事件D.而與后一定不為互斥事件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的定義，再借助維恩圖即可求解.

【詳解】因為M,N為互斥事件，則有以下兩種情況，如圖所示

（第一種情況）

（第二種情況）

無論哪種情況，麻口可均是必然事件.故A正確.如果是第一種情況，MUN不是必然事

件，故B不正確，如果是第一種情況，A7與"不一定為互斥事件，故C不正確，如果是第

二種情況，而與何一定為互斥事件，故D不正確.

故選：A.

14.已知平面a、β?7兩兩垂直，直線a、b、C滿足：aca,bcβ.ccγ,則直線a、b、C不

可能滿足以下哪種關(guān)系

A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩異面

【正確答案】B

【分析】通過假設(shè)a〃6,可得方平行于a,夕的交線，由此可得C與交線相交或異面，由此

不可能存在a〃力〃c,可得正確結(jié)果.

【詳解】設(shè)aQ=/,且/與。,匕均不重合

假設(shè)：alibi/c,由a∕∕b可得：a//β,b//a

又aβ=l,可知a〃/,bill

又a∕∕∕√∕c,可得：dll

因為a,兩兩互相垂直，可知/與7相交，即/與C相交或異面

若/與a或6重合，同理可得/與C相交或異面

可知假設(shè)錯誤，由此可知三條直線不能兩兩平行

本題正確選項：B

本題考查空間中的直線、平面之間的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于能夠通過線面關(guān)系得到第三條直線

與前兩條線之間的位置關(guān)系，從而得到正確結(jié)果.

15.某種疾病可分為兩種類型：第一類占70%,可由藥物A治療，其每一次療程的成功率

為70%,且每一次療程的成功與否相互獨(dú)立；其余為第二類，藥物A治療方式完全無效.在

不知道患者所患此疾病的類型，且用藥物A第一次療程失敗的情況下，進(jìn)行第二次療程成功

的概率最接近下列哪一個選項()

A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4

【正確答案】B

【分析】分別寫出兩次療程概率,再應(yīng)用獨(dú)立事件概率是概率的積，計算即可.

【詳解】用藥物4第一次療程失敗的概率為0.7*O.3+O.3=O.51

用藥物A第一次療程失敗第二次療程成功的概率為0.衿0?3χ0.7M).3?

所以藥物A第一次療程失敗的情況下，進(jìn)行第二次療程成功的概率為

0.3x0.49

=0.3×——≈0.29

0.5151

故選:B.

16.已知隨機(jī)變量4B(2n,p),"∈N",n≥2,O<P<l,記/⑺=Pq=/),其中feN,

t≤2n,現(xiàn)有如下命題：①￡/(〃)<：<￡/(2-1)；②若叩=6,則/(f)≤/(12),下列

r=o2z=∣

判斷正確的是()

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

【正確答案】D

【分析】根據(jù)已知得出"r)=CrP'?(>p廣'.取°=；,根據(jù)二項式定理求出奇數(shù)項和偶

/(r+l)(2nl)p-(∕+l)

數(shù)項和，即可判斷命題①真假；先利用分布列的表達(dá)式得出iι+

/(0。+1)(I-P)

判斷了⑺的增減性.討論(2〃+1)"是否為整數(shù)，得出最大項.最后根據(jù)已知，即可判斷命題②

真假.

【詳解】由已知可得，/(r)=P(J=f)=C>∕Λ(l-p)“ι.

2n-t2n

對于命題①，當(dāng)p=5時，f(t)=p^=t)=c2n-?^?-li-?I=IjI-C,,.

因為

(cθ,,+cL+L+c>)+(c-+c>τ)y+c-+cτ+￠:=(1+1)2"

(cθn+?÷L+GA(G,,+C,,+L+C≡Γ')

0,22n2,,2,,

=(-ι)×cθπ+(-ι)×cL,+(-ι)×?+L+(-ι)-'χC^'+(-ι)×?=(ι-ι)=o,所以

CM+Ct+L+優(yōu)=G“+Ct+L+CT=221.

所以0⑵)=(—+閭?(f=2iQ『哈所以

?∕(2r-l)=∑∕(2∕)=∣,所以①為假命題：

/=1t=o2

對于命題②，若J~8(2",")?

/(+1)_C；；?p~'?(>p)2"TT_(2〃_f)0_(2π+l)p-(∕+l)+(z+1)(1-/7)

∕ω=CrPJ(ITT=(/+DO-p)=(/+/P)

(2n+l)p-(t+l)

^(f+1)(I-P).

當(dāng)f+l<(2"+I)P時，/(z+l)>∕(r),/(f)隨著f的增加而增加；當(dāng)r+l>(2/+l)p時，

f(t+l)<f(t),/⑺隨著r的增加而減小.

當(dāng)(2"+l).為整數(shù)時，f=(2〃+I)P或r=(2"+I)P—1時，有最大值；當(dāng)(2〃+I)P不為

整數(shù)時，，為(2〃+I)P的整數(shù)部分時，/(r)有最大值.因為⑵7+l)p=12+p,O<p<ι,所

以當(dāng)/=12時，/(f)最大，所以有/(f)≤∕(12),所以②為真命題.

故選：D.

三、解答題

17.如圖，在直三棱柱ABC-A8∣G中，AB=AC=2,AA)=4,ABlAC,BELA及交AA

于點(diǎn)E,。為CG的中點(diǎn)?

(2)求直線與。與平面ABtC所成角的大小.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)arcsin-

15

【分析】(1)先證明AAJ?AC,從而可得AC_L平面進(jìn)而可得AC_LBE,再由線

面垂直的判定定理即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC的一個法向量，利用向量法求解即可

【詳解】(1)因為三棱柱ABC-ABC為直三棱柱，

所以AA1，平面ABC,

又ACU平面ABC,

所以AAJ.AC.

因為AeJ_AB,AAtlAC,ABryAAt=A,ABu平面A4∣gB,A4∣u平面Λ41B∣B,

所以Ae，平面AAM8.

因為BEu平面AABI8,

所以ACL5E.

因為BEjL48∣,ACLBE,ACCABl=A,ACU平面ABC,AAU平面AB∣C,

所以BE，平面ABQ.

(2)由(1)知AB,AC,AAl兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

則A(0,0,0),4(2,0,4),C(0,2,0),β(2,0,0),D(0,2,2),

設(shè)E(0,0,o),ΛB,=(2,0,4),BE=(-2,0,a),AC=(0,2,0),

因為所以44-4=(),即a=l,則BE=(-2,0,l),

由(1)平面AgC的一個法向量為8E=(-2,0,1).

又4。=(-2,2,-2)

設(shè)直線BQ與平面ABC所成角的大小為。(o≤e≤,則

BEBPL

Sine=COS(?∣-9拒

BE∣∣BlD15

因此，直線BQ與平面AqC所成角的大小為arcsin巫.

15

18.蘭州牛肉面是人們喜歡的快餐之一，面條的寬度有細(xì)面、二細(xì)、毛細(xì)、韭葉、二寬、大

寬等.現(xiàn)將體積為IOOOCm3的面團(tuán)經(jīng)過第一次拉伸成長為IOOcm的圓柱型面條，再經(jīng)過第二

次對折拉伸成長為2xl(X)Cm的面條，……，小徐同學(xué)喜歡吃的面條的截面直徑不超過0.5cm,

求至少經(jīng)過多少次對折拉伸之后面條才符合小徐同學(xué)的要求？(單位：cm.每次對折拉伸相

等的長度，面條的粗細(xì)是均勻的，拉面師傅拉完面后手中剩余面忽略不計)

【正確答案】至少經(jīng)過7次對折拉伸之后面條才符合小徐同學(xué)的要求

【分析】拉伸之后面條數(shù)列為等比數(shù)列，可得拉伸后面條的數(shù)量；由圓柱的體積公式，結(jié)合

等體積法即可求得拉伸后面條的截面半徑，進(jìn)而得解.

【詳解】經(jīng)過"次對折拉伸之后面條的數(shù)量成等比數(shù)列，

因而可知經(jīng)過”次對折拉伸之后面條的長度為2"TXK)0,

設(shè)拉伸n次后面條的截面半徑為r,由面團(tuán)體積為IOOoCm,可得

IooX2"TχπχJ=1000，

又因為直徑d=2r≤g,

即得戶=-?-≤-?,-≤2呀5,2'-5是單調(diào)遞增的

2'iχπ412π?

且當(dāng)〃=6時，3>2,當(dāng)〃=7時，—≤4,

π兀

所以至少經(jīng)過7次對折拉伸之后面條才符合小徐同學(xué)的要求

(XX.、

19.一個隨機(jī)變量4的概率分布為：[cos2As1iι√8+C)J,其中4，'C為銳角三角形ABC

的三個內(nèi)角.

(1)求A的值；

(2)若%=CoS8,々=SinC,求數(shù)學(xué)期望E7的取值范圍.

【正確答案】(1)夕

0

f√33^

⑵7]

\/

【分析】(1)根據(jù)概率分布的概率性質(zhì)計算即可；

(2)把E7轉(zhuǎn)化為三角函數(shù),根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)的值域可解.

【詳解】(1)由已知可知:cos2A+sinA=l

1-2sin2A+si∏A=1,sinA(l-2sinA)=0,

又因為A為銳角，sinΛ>0jWsinΛ=∕懵A=g

26

(2)因為M=cosB,x2=sinC

所以

Eζ=COSBCOS2A+SinCsinA

1八1?「

=—cosB+-SinC

22

11.πA

=—cosBd+-sinB+-

22I6)

=—cosB+-SinB×+COSB×—

=—SinBX-^-+cosBχ一

√3

sinβ×-+cosβ×

TrirTr

又因為ABC是銳角三角形,且A=E所以=<B<W

632

2ππ5π?(nj](I

336(3J(22J

,√3.(兀1

所rcu以下叫8r+§JeKq

20.《瀑布》（圖1）是最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會源源不斷地落下，落下的水又

逆流而上，荒唐至極，但又會讓你百看不膩，畫面下方還有一位饒有興致的觀察者，似乎他

沒發(fā)現(xiàn)什么不對勁.此時，他既是畫外的觀看者，也是埃舍爾自己.畫面兩座高塔各有一個幾

何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”由三個正方體構(gòu)成，右塔上的幾何體是首次出現(xiàn)，

后稱“埃舍爾多面體”（圖2）

埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個正方形構(gòu)造，設(shè)邊長均為2,定義正方形

AllBnCnDllf"=1,2,3的頂點(diǎn)為“框架點(diǎn)”,定義兩正方形交線為“極軸”，其端點(diǎn)為“極點(diǎn)”，記

為匕，Q“，將極點(diǎn)匕。，分別與正方形AB2GA的頂點(diǎn)連線，取其中點(diǎn)記為E,“，F(xiàn)m,

/n=1,2,3,4,如（圖3）.埃舍爾多面體可視部分是由12個四棱錐構(gòu)成，這些四棱錐頂點(diǎn)均

為“框架點(diǎn)”，底面四邊形由兩個“極點(diǎn)”與兩個“中點(diǎn)'’構(gòu)成，為了便于理解，圖4我們構(gòu)造了

其中兩個四棱錐A-汨崛與4一P2EtP3Fl

?

?

圖3圖4

(1)求異面直線64與QB?成角余弦值；

(2)求平面4AE與平面AEzA的夾角正弦值；

(3)求埃舍爾體的表面積與體積(直接寫出答案).

【正確答案】(l)g;

⑵立；

2

⑶表面積為12a，體積為2.

UUUUUlUUUU

【分析】(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以0,002,。［的方向為％)'，Z軸的正方向，建立空

LILIlOUUUU

間直角坐標(biāo)系.寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出44=(1,T,T),Q1B2=(1,1,1),根據(jù)向量即可結(jié)果；

(2)根據(jù)坐標(biāo)，求出平面EAg與平面AE?匕的法向量，根據(jù)向量法可以求出法向量夾角

的余弦值，進(jìn)而得出結(jié)果；

(3)由已知可得，四邊形6片鳥當(dāng)為菱形.根據(jù)向量法求出四棱錐A一q￡￡燈的體積以及表

面積即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：由題意可知，。鳥,。0，。4兩兩垂直，且。鳥=。。2=。［=1.以點(diǎn)。為坐

UUUUULBlUUUl

標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)R,OQ?,Oq的方向為x，y，Z軸的正方向，如圖5,建立空間直角坐標(biāo)系.

則由題意可得，0(0,0,0),2(1,0,0),。2(0」，。)，^(0,0,1),B2(1,1,0),A(1,0,1)，4(1,-1,0),

Q(0,0,-1).

又耳也分別是勺4,股的中點(diǎn)，所以EJmf????i

IlLllUUUUU

所以44=(1,T,T),QB2=(1,1,1),

UUlBUUUJ

IiuurUUUiiP,A,?Q.B.-11

則CoSV耳4，0出2>=∣?n?ττt!?trτ=—7=--j==—

行MQ聞√3×√33

所以異面直線[A。與。旦成角余弦值為;.

UUUUUir/1IIλUUtiuuua?(?\\

,,

(2)解：由(1)可得，14=0,0,0),UA=(OOl),P^=[~222

設(shè)馬=(Xl,y∣,zj是平面《4芯1的一個法向量,

A=O

則＜

nλ?P1E1=0

x1=0

即"11

-x——y——z=0

12i12121

令y=1,可得/=(OJ-1)是平面6AG的一個法向量.

設(shè)巧=(入2，%，22)是平面的一個法向量,

%?AA=0

則，

M2?P2E2=0

z2=0

即一111一，取々=1，可得％=(1,1,0)是平面AGg的一個法向量.

,-X?y1y<,+~~Z,U

ULU

IU11

則CoSy2>=

所以平面《4月與平面A1E2P2的夾角正弦值為Jl-

UUUUUUllUUir111

(3)解：由(1)(2)可得，EE=(0,1,0),PE=

12il2,2,2

UUUinUUUuum???

PE=,Aq=(TO,0),PE=

22^^2,2,2122,2,^2

IluLunUUU

所以鳥馬=-々月,

所以鳥與〃旦PiE2=PA,所以四邊形PAP2E2為平行四邊形.

UUUUUUU

又6￡與心=(1，。，-1)(。，1，。)=。，

UUUUULUl

所以勺名，EE,即《巴,巴馬,

所以四邊形片片￡七為菱形.

又1,

1IUUirI

所以s的e^=∕χ∣n∣χ

%."=O

設(shè)％=(0%Z3)是平面［E道當(dāng)?shù)囊粋€法向量，則,

n3?P↑E}=O

?-?=°

即,L,J%」。，取口，

[2■2323

則4=(1,0,1)是平面抽崛的一個法向量.

UUirιr

UUU√2

又Aq=(T,0,0),所以點(diǎn)A到平面AEf七的距離4=「『

所以四棱錐4-片￡因外的體積χ=gχs仲國fijχd=;X,X等=

因為IlU福Ll=(-1,0,0),片UU與im=5；司,^UUi,r=lp4?

22

UUiruum1

UUUUllUIi

所以Al在哈方向上的投影為

33

4

uuιruum2

所以點(diǎn)A倒直線根的距離片=陶2_=也.

V"Δ?同??3

同理可得點(diǎn)A到直線PE的距離Λ2=^.

所以四棱錐4-勺g2七的側(cè)面積’=；乂〔聯(lián)卜4*4=3乂**/*4=&.

所以埃舍爾體的表面積為12工=120,體積為12%=2.

21.隨著網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展，電子商務(wù)成為新的經(jīng)濟(jì)增長點(diǎn)，市場競爭也日趨激烈，除了產(chǎn)品

品質(zhì)外，客服團(tuán)隊良好的服務(wù)品質(zhì)也是電子商務(wù)的核心競爭力，衡量一位客服工作能力的重

要指標(biāo)一詢單轉(zhuǎn)化率，是指咨詢該客服的顧客中成交人數(shù)占比，可以看作一位顧客咨誨該客

服后成交的概率，已知某網(wǎng)店共有10位客服，按詢單率分為A,B兩個等級(見表)，且視

A,8等級客服的詢單轉(zhuǎn)化率分別為對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值.

等級AB

詢單轉(zhuǎn)化率[70%,90%)[50%,70%)

人數(shù)64

(1)求該網(wǎng)店詢單轉(zhuǎn)化率的平均值；

(2)現(xiàn)從這10位客服中任意抽取4位進(jìn)行培訓(xùn)，求這4人的詢單轉(zhuǎn)化率的中位數(shù)不低于70%

的概率；

(3)已知該網(wǎng)店日均咨詢顧客約為1萬人，為保證服務(wù)質(zhì)量，每位客服日接待顧客的數(shù)量不

超過1300人.在網(wǎng)店的前期經(jīng)營中，進(jìn)店咨詢的每位顧客由系統(tǒng)等可能地安排給任一位客服

接待，為了提升店鋪成交量，網(wǎng)店實(shí)施改革，經(jīng)系統(tǒng)調(diào)整，進(jìn)店咨詢的每位顧客被任一位4

等級客服接待的概率為4,被任一位B等級客服接待的概率為從若希望改革后經(jīng)咨詢?nèi)站?/p>

成交人數(shù)至少比改革前增加300人，則”應(yīng)該控制在什么范圍？

【正確答案】(1)72%；

【分析】(1)由己知分別求出A、B等級客服的詢單轉(zhuǎn)化率，根據(jù)平均數(shù)公式求出即可；

(2)設(shè)4等級客服的人數(shù)為X,則X的可能取值為OJ2,3,4,對應(yīng)的詢單轉(zhuǎn)化率中位數(shù)分

別為60%,60%,70%,80%,80%,進(jìn)而利用超凡何分布求出對應(yīng)的概率，求出答案；

(3)根據(jù)二項分布的期望公式計算出改革前的日均成交人數(shù)為7