2023年高考數(shù)學強基計劃瘋狂特訓14（含解析）

【高考強基計劃】2023年高考數(shù)學強基計劃瘋狂特訓14

(滿分100分，測試時間：60分鐘)

一'填空題(每小題10分)

L整數(shù)p,q滿足p+q=218,/+0%+q=。有整數(shù)根，則滿足這樣條件的整數(shù)對(p,q)的

個數(shù)為.

2Z4BC的三個頂點分別對應(yīng)復(fù)數(shù)Zi，Z2,Z3，已知寒inl+Zi,則△4BC的面積與其最

長邊長的平方的比等于.

3.不等式"三>1且x>3,y>3的正整數(shù)解(x,y)的個數(shù)是.

4.令斯表示距離返最近的正整數(shù)，已知春+卷+…+《=2020,貝切的值等于

5.有種方式可以將正整數(shù)集合N+分拆成兩個不相交的子集的并，使得每個子集都不包

含無窮等差數(shù)列.

6.設(shè)數(shù)列｛an｝滿足%=6,an+1=平的,則以下幾個結(jié)論中正確的有.

3

(l)Vn6N*,an<(n+l);

(2)VnEN*,0n#2020;

(3)3neW*,即為完全平方數(shù)；

(4)3nG/V*,冊為完全立方數(shù).

二'解答題(每小題20分)

7.設(shè)…,。2000)是一個整數(shù)數(shù)列，其中△e[-1000,1000].若+a2+■■■+a2ooo=

求證：存在4的一個非空子數(shù)列，其和為零.

8.設(shè)的=!.,即+i=(1+；)3(n+an),neN*.求證：(1)廝=川(1+￡仁；，)；

(2)IK=I(1+E)<3.

答案

1.【答案】4

【解析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)方程的兩個根為％1，X?,由韋達定理結(jié)合條件可得-(%1+%2)+=218,

整理成—1)=219,即可分析得結(jié)果.

【解答】解：設(shè)方程的兩個根為巧，(X!<X2),所以由韋達定理得-P'

故兩根都是整數(shù)，

再由p+q=218,可得-Qi+%2)+/刀2=218,

則(與-1)(*2-1)=219,

即Qi-l)(x2-1)=1x219=3x73=(-1)X(-219)=(-3)x(-73),

易知結(jié)論為4.

故答案為4.

2.【答案】1

【解析】由復(fù)數(shù)除法的幾何意義可知恐=l+2i的輔角主值表示以4為頂點，以宿，西

為邊的角，把△ABC對應(yīng)的zi移到坐標頂點，再利用相似的三角形相關(guān)比不變性質(zhì)，構(gòu)造一

個邊長石石為1的三角形，進而易求.

3.【答案】5

【解析】本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

利用不等式的性質(zhì)，得(x—2)(y-2)<4,即可求解.

【解答】解：因為X23,y>3,

77

不等式嚏4-->1<=>2y+2%>xyxy—2%—2y<0<=>(x-2)(y—2)<4,

所以。-2,y-2)可以是(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),

77

所以滿足不等式；+;>1且x>3,y>3的正整數(shù)解(x,y)為(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3),

xy

故正整數(shù)解(x,y)的個數(shù)是5.

4.【答案】1021110

【解析】本題考查了數(shù)列的求和，屬于中檔題.

分別求出的,a2)a3,a4,a5,a6,a?的值,可得的,a2>???>a”按照這樣的規(guī)律取值：2個

1,4個2,6個3,…，2k個k,從而可求和.

【解答】解：由題意可得%=1,a2=1，。3=2,a4=2,a5=2,a6=2,a7=3,1■■,

即的,a2,即按照這樣的規(guī)律取值：2個1,4個2,6個3,…，2k個k,…，

所以有(；+：)+G+g+g+g)+(g+…+:)+…=2020=>2+2+…+2=2020.

共有1010組2構(gòu)成等式，故n=2+4+…+2x1010=1021110.

5.【答案】無窮多

【解析】將正整數(shù)集合N+分拆為4B,B=N+/A:任取一正整數(shù)放入集合B中，設(shè)為元素a,

以此為初始元素開始構(gòu)成集合B,a+2作為集合B中的第二個元素，a+5作為第三個，間隔

的距離以每次在前一個長度上再增加一個長度為基準……依此類推，得到的集合B則是滿足

題意的一種分法，由于a的任意性，故有無窮多種.

6.【答案】(1)(2)

【解析】利用數(shù)列的遞推方法，可求得的=6,an+1=手與的通項公式為％+i=n(n+

l)(n+2),

顯然可得(1)和(2)成立.下面考慮(3)(4)不成立.若(3)成立，則存在一個正整數(shù)m,滿足“71+

l)(n+2)=機2.由于n+1與n，n+2均互質(zhì)，則有n+1與n(n+2)必均是完全平方數(shù)，但

是由于“2,在任意兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間不存在其他完全平方數(shù)，故無論兀為何值，an

都不可能是完全平方數(shù).同理，斯也不可能是完全立方數(shù).

7.【答案】可以采用構(gòu)造法，若存在一項為0,則命題成立;若任一項均不為0,則任取整數(shù)

數(shù)列4中一項a作為瓦.令Si=瓦，不妨設(shè)瓦>0,瓦6[1,1000].若瓦=1,則余下的項的和

滿足題意.若瓦>2,由于4+a2+???+a2000=1,故余下的項中必存在取值為負整數(shù)的項，

從中任取一項作為電6[-1000,-1].令$2=b1+b2,則S26[一999,999]若S2>0,則一定

存在負整數(shù)項，令其為壇.若52<0,則必存在正整數(shù)項，令其為壇.令S3=b1+b2+b3,依

此類推，若則必有后續(xù)數(shù)為負.若S2<0,則必有后續(xù)數(shù)為正.如此，若Si，S2,…,

1999有某值為0,則命題成立;若有某值為1，則后續(xù)數(shù)和為0,命題成立.若無0,1,貝US1，Sz，

…，51999e[-999,-1]U[2,1000],且由抽屜原理和16Z可知必存在&=$,i豐j,i,jE

{1,2,…,1999},二者之差則是符合題意的結(jié)論.

8.【答案】⑴由歸納法易得.或令%=翁，則b“+i=bn+今，由累加法知勾=1+￡仁+

即即=〃(1+2憶;*).

1+7**-

(2)因為以=P(1+優(yōu)注)=11N3Ak,所以若=謠￡

1

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