2023-2024學(xué)年河北省滄州市示范名校高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年河北省滄州市示范名校高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2019年10月17日是我國(guó)第6個(gè)“扶貧日”，某醫(yī)院開(kāi)展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動(dòng)，現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院，醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院，醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有()A．18種 B．20種 C．22種 D．24種2．己知集合，，則（）A． B． C． D．3．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，，且，則（）A．128 B．65 C．64 D．634．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．205．已知正四面體的內(nèi)切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．276．計(jì)算等于()A． B． C． D．7．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，則△的內(nèi)切圓的半徑為（）A． B． C． D．8．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．9．函數(shù)的大致圖象是A． B． C． D．10．已知集合，則為（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]11．已知向量，則（）A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥()12．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．假設(shè)10公里長(zhǎng)跑，甲跑出優(yōu)秀的概率為，乙跑出優(yōu)秀的概率為，丙跑出優(yōu)秀的概率為，則甲、乙、丙三人同時(shí)參加10公里長(zhǎng)跑，剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為_(kāi)_______．14．已知復(fù)數(shù)，且滿足（其中為虛數(shù)單位），則____.15．若函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像.則在區(qū)間上的最小值為_(kāi)_______.16．已知，，，則的最小值是__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.18．（12分）第7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)，329個(gè)小項(xiàng).共有來(lái)自100多個(gè)國(guó)家的近萬(wàn)名現(xiàn)役軍人同臺(tái)競(jìng)技.前期為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開(kāi)，武漢市很多單位和部門(mén)都開(kāi)展了豐富多彩的宣傳和教育活動(dòng)，努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí)，并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對(duì)軍運(yùn)會(huì)知識(shí)的知曉情況，在全市開(kāi)展了網(wǎng)上問(wèn)卷調(diào)查，民眾參與度極高，現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者，他們得分（滿分100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：組別頻數(shù)5304050452010（1）若此次問(wèn)卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布，用樣本來(lái)估計(jì)總體，設(shè)，分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表），求，的值（，的值四舍五入取整數(shù)），并計(jì)算；（2）在（1）的條件下，為感謝大家參與這次活動(dòng)，市體育局還對(duì)參加問(wèn)卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分低于的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分不低于的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，在一次抽獎(jiǎng)中，抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品A的概率為，抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問(wèn)卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者，記Y為他參加活動(dòng)獲得紀(jì)念品的總價(jià)值，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.（參考數(shù)據(jù)：；；.）19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）如圖，平面四邊形中，，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）記，若存在實(shí)數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)，求證：．22．（10分）武漢有“九省通衢”之稱(chēng)，也稱(chēng)為“江城”，是國(guó)家歷史文化名城.其中著名的景點(diǎn)有黃鶴樓、戶部巷、東湖風(fēng)景區(qū)等等.（1）為了解“五·一”勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日江城某旅游景點(diǎn)游客年齡的分布情況，從年齡在22歲到52歲的游客中隨機(jī)抽取了1000人，制成了如圖的頻率分布直方圖：現(xiàn)從年齡在內(nèi)的游客中，采用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)某槿〉?0人中隨機(jī)抽取4人，記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為，求；（2）為了給游客提供更舒適的旅游體驗(yàn)，該旅游景點(diǎn)游船中心計(jì)劃在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量（單位：萬(wàn)人）都大于1.將每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量數(shù)據(jù)分成3個(gè)區(qū)間整理得表：勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量頻數(shù)（年）244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個(gè)區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率，且每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用，但每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日型游船最多使用量（單位：艘）要受當(dāng)日客流量（單位：萬(wàn)人）的影響，其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表：勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入且被使用，則游船中心當(dāng)日可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元；若某艘型游船勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入?yún)s不被使用，則游船中心當(dāng)日虧損0.5萬(wàn)元.記（單位：萬(wàn)元）表示該游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)，的數(shù)學(xué)期望越大游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)越大，問(wèn)該游船中心在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘型游船才能使其當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)最大？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分兩類(lèi)：一類(lèi)是醫(yī)院A只分配1人，另一類(lèi)是醫(yī)院A分配2人，分別計(jì)算出兩類(lèi)的分配種數(shù)，再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類(lèi)：第一類(lèi)：若醫(yī)院A只分配1人，則乙必在醫(yī)院B，當(dāng)醫(yī)院B只有1人，則共有種不同分配方案，當(dāng)醫(yī)院B有2人，則共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院A只分配1人時(shí)，共有種不同分配方案；第二類(lèi)：若醫(yī)院A分配2人，當(dāng)乙在醫(yī)院A時(shí)，共有種不同分配方案，當(dāng)乙不在A醫(yī)院，在B醫(yī)院時(shí)，共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院A分配2人時(shí)，共有種不同分配方案；共有20種不同分配方案.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用，在做此類(lèi)題時(shí)，要做到分類(lèi)不重不漏，考查學(xué)生分類(lèi)討論的思想，是一道中檔題.2、C【解析】

先化簡(jiǎn)，再求.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)，得到，即，由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列，然后再利用前n項(xiàng)和公式求.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列，又因?yàn)椋裕?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.4、C【解析】

利用等差通項(xiàng)，設(shè)出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，則，，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的球心為，則，解得：；設(shè)外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問(wèn)題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，求得所求表達(dá)式的值.【詳解】原式.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

設(shè)左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由AB的弦長(zhǎng)可得a的值，進(jìn)而可得雙曲線的方程，及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個(gè)三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設(shè)左焦點(diǎn)，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長(zhǎng)為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長(zhǎng)周長(zhǎng)的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.8、C【解析】

設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，得出的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角，根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角可知，.作BC中點(diǎn)Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查異面直線夾角，關(guān)鍵點(diǎn)通過(guò)平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.9、A【解析】

利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及函數(shù)值的符號(hào)即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，可排除D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，可排除C選項(xiàng)，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，屬于中檔題．10、B【解析】

先求出，得到，再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以，則，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，得出結(jié)論.【詳解】∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例，故、不平行，故排除A；顯然，?3+2≠0，故、不垂直，故排除B；∴（﹣2，﹣1），顯然，和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例，故和不平行，故排除C；∴?（）＝﹣2+2＝0，故⊥（），故D正確，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】由題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分跑出優(yōu)秀的人為：甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計(jì)算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況：其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為；其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為；其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類(lèi)方法求解事件概率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

計(jì)算出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，列方程組求解.【詳解】，所以，所以.故答案為：-8【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.15、【解析】

注意平移是針對(duì)自變量x，所以，再利用整體換元法求值域（最值）即可.【詳解】由已知，，，又，故，，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.16、．【解析】

因?yàn)?，展開(kāi)后利用基本不等式，即可得到本題答案.【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào).故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)詳解；(2).【解析】

(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?，和菱形?nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€，所以易證.(2)在圖中找到對(duì)應(yīng)的平面角，再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線，發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線也垂直于.按照此思路即證.【詳解】(1)證：，，又因?yàn)楹驼吃谝黄?，A，C，G，D四點(diǎn)共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得證.(2)過(guò)B作延長(zhǎng)線于H，連結(jié)AH，因?yàn)锳B平面BCGE，所以而又，故平面，所以.又因?yàn)樗允嵌娼堑钠矫娼?，而在中，又因?yàn)楣?，所?而在中,，即二面角的度數(shù)為.【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題．首先是多面體粘合問(wèn)題，考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是不變的．再者粘合后的多面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾何方法．最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問(wèn)題考查考生的空間想象能力．18、（1），，；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布表計(jì)算出平均數(shù)，進(jìn)而計(jì)算方差，從而X～N（65，142），計(jì)算P（51＜X＜93）即可；（2）列出Y所有可能的取值，分布求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算期望，進(jìn)而可得需要的總金額．【詳解】解：（1）由已知頻數(shù)表得：，，由，則，而，所以，則X服從正態(tài)分布，所以；（2）顯然，，所以所有Y的取值為15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列為：Y15304560P所以，需要的總金額為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率分布表計(jì)算平均數(shù)，方差，考查了正態(tài)分布，考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，主要考查數(shù)據(jù)分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用可得，故可利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng).（2）利用分組求和法可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，①，②所以，即，又因?yàn)?，故，所以，所以是首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由得：數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，，.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，注意數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.20、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形，又由于是的中點(diǎn)，所以，從而可證得結(jié)論；（2）由于在中，，而平面平面，所以點(diǎn)在平面的投影恰好為的中點(diǎn)，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）由，所以平面四邊形為直角梯形，設(shè)，因?yàn)?所以在中，，則，又，所以，由，所以為等邊三角形，又是的中點(diǎn)，所以，又平面，則有平面，而平面，故平面平面.（2）解法一：在中，，取中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，由得取，則設(shè)直線與平面所成角大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.解法二：在中，，取中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，過(guò)作于，連，則由平面平面，所以，又，則平面，又平面所以，在中，，所以，設(shè)到平面的距離為，由，即，即，可得，設(shè)直線與平面所成角大小為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線面角，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想