2.7 探究勾股定理 第2課時(shí) 勾股定理應(yīng)用與逆定理（原卷版）

2.7探索勾股定理第2課時(shí)勾股定理的應(yīng)用與逆定理1.掌握勾股定理的逆定理，會(huì)運(yùn)用其判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形,能夠理解勾股定理及其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系2.了解幻股數(shù)，會(huì)判斷三個(gè)數(shù)是不是一組幻股數(shù)3.通過勾股定理逆定理的探索過程,學(xué)會(huì)用三角形全等證明勾股定理的逆定理知識(shí)點(diǎn)一勾股定理的應(yīng)用（1）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)求第三邊長(zhǎng)（2）已知非直角三角形的邊長(zhǎng)，通過添加輔助線，把求非直角三角形邊的問題轉(zhuǎn)化為求直角三角形邊的問題（3）通過建模，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，運(yùn)用勾股定理來解決即學(xué)即練1（2023秋·山東棗莊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一架云梯長(zhǎng)25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，如果梯子的頂端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑動(dòng)了(

)

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米即學(xué)即練2（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面半徑為4.5cm，內(nèi)壁高為12cm．若這支鉛筆的長(zhǎng)為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分的長(zhǎng)度不可能是

A．2cm B．3cm C．4cm即學(xué)即練3（2023春·北京懷柔·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在我軍某次海上演習(xí)中，兩艘航母護(hù)衛(wèi)艦從同一港口O同時(shí)出發(fā)，1號(hào)艦沿東偏南60°方向以9節(jié)（1節(jié)=1海里/小時(shí)）的速度航行，2號(hào)艦沿南偏西60°方向以12節(jié)的速度航行，離開港口2小時(shí)后它們分別到達(dá)A，B兩點(diǎn)，此時(shí)兩艦的距離是（

）A．9海里 B．12海里 C．15海里 D．30海里知識(shí)點(diǎn)二勾股定理的逆定理1.定義如果三角形的三邊長(zhǎng)滿足,那么這個(gè)三角形是直角三角形,我們稱它為勾股定理的逆定理2.運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷直角三角形的一般步驟(1)找:確定三角形的最長(zhǎng)邊；(2)算:分別計(jì)算出最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和;(3)比:通過比較來判斷最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和是否相等；(4)判:作出結(jié)論,若相等,則說明這個(gè)三角形是直角三角形,否則不是直角三角形.(1)如果用勾股定理的逆定理來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形，則其中最長(zhǎng)邊所對(duì)的角是直角，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為邊所對(duì)的角必是直角.例如:當(dāng)時(shí),則邊所對(duì)的角是直角，我們一般記作：大邊對(duì)大角或者大角對(duì)大邊，不要簡(jiǎn)單地用字母對(duì)應(yīng)邊.(2)勾股定理的逆定理在敘述時(shí)不能說成“當(dāng)斜邊長(zhǎng)的平方等于兩條直角邊長(zhǎng)的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形”,在未判定三角形為直角三角形前，不能稱最長(zhǎng)邊為“斜邊”較短的兩邊為“直角邊”.3.股定理與其逆定理的聯(lián)系與區(qū)別(1)勾股定理和勾股定理的逆定理的題設(shè)和結(jié)論互換;(2)勾股定理是直角三角形的性質(zhì)，而其逆定理是直角三角形的判定拓展三角形的三邊長(zhǎng)分別是(其中是最長(zhǎng)邊)(1)若,則這個(gè)三角形是直角三角形;(2)若,則這個(gè)三角形是鈍角三角形;(3)若,則這個(gè)三角形是銳角三角形.即學(xué)即練1（2023春·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列條件中，不能判斷一個(gè)三角形是直角三角形的是（）A．三個(gè)角的比是2：3：5 B．三條邊a，b，c滿足關(guān)系a2＝c2﹣b2C．三條邊的比是2：3：5 D．三邊長(zhǎng)為1，2，3即學(xué)即練2（2023秋·廣東佛山·八年級(jí)佛山市高明區(qū)滄江中學(xué)?？计谀└鶕?jù)下列條件，分別判斷以a，b，c為三邊的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2=a2C．∠C=∠A-∠B D．a(chǎn):b:c=12:13:5即學(xué)即練3根據(jù)下列條件，分別判斷以a，(1)a=7，b=8，c=10．(2)a=35，b=12，c=37．(3)a=41，b=4，c=5(4)a=3n，b=4n，c=5n（n為正整數(shù)）(5)a:b:c=5:12:13．判定三角形為直角三角形的方法(1)用角判斷:①兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形;②有一個(gè)角是90°的三角形是直角三角形.(2)用邊判斷:如果已知條件與邊有關(guān)，則可通過勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷知識(shí)點(diǎn)三勾股數(shù)1.勾股數(shù)的概念能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù),即中,a,b,c為正整數(shù)時(shí),稱a,b,c為一組勾股數(shù)【注意：小數(shù)（含分?jǐn)?shù)）、無理數(shù)就算滿足，也不能稱為勾股數(shù)，因?yàn)樗鼈儾皇钦麛?shù).】2.常見的勾股數(shù)①3,4,5;②6,8,10;③8,15,17;④7,24,25;⑤5,12,13;⑥9.12,15;⑦9,40,41.這些勾股數(shù)同學(xué)們請(qǐng)背誦下來，我們熟悉了常見的勾股數(shù)之后，將有利于我們快速判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形.3.勾股數(shù)的求法(1)如果a為一個(gè)大于1的奇數(shù)，b，c是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且有a2=b+c,那么a,b,c為一組勾股數(shù).如3為大于1的奇數(shù)，4,5為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù),且32=4+5,則3,4,5為一組勾股數(shù),還有5,12,13；7,24,25；9,40,41；11,60,61……(2)如果a,b,c為一組勾股數(shù),則na,nb,nc也是一組勾股數(shù),其中n(n≥1)為自然數(shù).例如3,4,5是一組勾股數(shù),那么6,8,10也是一組勾股數(shù),9,12,15也是一組勾股數(shù).判斷勾股數(shù)的方法步驟是什么？確定三個(gè)數(shù)是正整數(shù);確定出最大數(shù)與另外兩個(gè)較小的數(shù),計(jì)算最大數(shù)的平方與另外兩個(gè)較小數(shù)的平方和;(3)進(jìn)行比較,若相等,則是勾股數(shù),否則不是即學(xué)即練1（2023春·廣東東莞·八年級(jí)校考階段練習(xí)）下列幾組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）A．4，5，6 B．12，16，18C．7，24，25 D．0.8，1.5，1.7即學(xué)即練2（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．5，6，7 B．3，4，5 C．1，2，5 D．0.6，0.8，1題型一求梯子滑落高度(勾股定理的應(yīng)用)例1（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）一架梯子AC長(zhǎng)25米，斜靠在一面墻上，梯子底端C離墻7米，

(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了4米到A'舉一反三1（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，斜靠在墻上的一根竹竿，AB=5m，OB=3m．若B端沿地面OB方向外0.5m，則A端沿垂直于地面AC方向下移（

）A．等于0.5m B．小于0.5m C．大于0.5m D．不確定舉一反三2（2021秋·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為(

)A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米題型二求旗桿高度(勾股定理的應(yīng)用）例2（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）學(xué)過《勾股定理》后，某班興趣小組來到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿AB的高度，得到如下信息：①測(cè)得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)1米（如圖1）；②當(dāng)將繩子拉直時(shí)，測(cè)得此時(shí)拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為6米（如圖2）．根據(jù)以上信息，求旗桿AB的高度．舉一反三1（2019秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距大廈10米處（車尾到大廈墻面），升起云梯到火災(zāi)窗口，已知云梯長(zhǎng)26米，云梯底部距地面AE=1.5米，問：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面多高？舉一反三2（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)余姚市梨洲中學(xué)?？计谥校┤鐖D，花果山上有兩只猴子在一棵樹CD上的點(diǎn)B處，且BC=5m，它們都要到A處吃東西，其中一只猴子甲沿樹爬下走到離樹10m處的池塘A處，另一只猴子乙先爬到樹頂D處后再沿纜繩DA線段滑到A處.已知兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，設(shè)BD為xm.(1)請(qǐng)用含有x的整式表示線段AD的長(zhǎng)為m；(2)求這棵樹高有多少米？題型三求小鳥飛行距離(勾股定理的應(yīng)用)例3（2023秋·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有兩棵垂直于地面的樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（）米．A．6 B．8 C．10 D．12舉一反三1（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，有兩只猴子在一棵樹CD高6m的點(diǎn)B處，他們都要到A處的池塘去喝水，其中一只猴子沿樹爬下去到離樹12m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直線越向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，這棵樹高有多少米？舉一反三2（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，兩樹高分別為10米和4米，相距8米，一只鳥從一樹的樹梢飛到另一樹的樹梢，則小鳥至少要飛（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米題型四求大樹折斷前的高度(勾股定理的應(yīng)用)例4（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）海洋熱浪對(duì)全球生態(tài)帶來了嚴(yán)重影響，全球變暖導(dǎo)致華南地區(qū)汛期更長(zhǎng)、降水強(qiáng)度更大，使得登錄廣東的臺(tái)風(fēng)減少，但是北上的臺(tái)風(fēng)增多．如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中距地面5m處折斷，倒下后樹頂端著地點(diǎn)A距樹底端B的距離為12m，這棵大樹在折斷前的高度為（

A．10m B．15m C．18m舉一反三1（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）一棵大樹在離地面6m高的B處斷裂，樹頂A落在離樹底部C的8

舉一反三2（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．“折竹抵地”問題源自《九章算術(shù)》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一陣風(fēng)將竹子折斷，某竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部5尺遠(yuǎn)，則折斷處離地面的高度是（

）A．53尺 B．6.25尺 C．4.75尺 D．3.75題型五解決水杯中筷子問題(勾股定理的應(yīng)用)例5舉一反三1（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示的是一個(gè)長(zhǎng)方體筆筒，底面的長(zhǎng)、寬分別為8cm和6cm，高為10cm，將一支長(zhǎng)為18

A．10cm B．18-102cm C．8舉一反三2（2019秋·浙江杭州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，將一根長(zhǎng)24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度是為hcm，則h的取值范圍是（）A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13題型六解決航海問題(勾股定理的應(yīng)用）例6（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)校考開學(xué)考試）甲船和乙船分別從A港口和B港口同時(shí)出發(fā)，各沿圖中箭頭所指的方向航行(如圖所示)，現(xiàn)已知甲、乙兩船的速度分別為16海里/時(shí)和12海里/時(shí)，且A，B兩港口之間的距離為10海里，則經(jīng)過小時(shí)甲船和乙船之間的距離最近．

舉一反三1（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，一艘輪船位于燈塔B的正西方向A處，且A處與燈塔B相距50海里，輪船沿東北方向勻速航行，到達(dá)位于燈塔B的北偏東15°方向上的C處．

(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)求燈塔B到C處的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）舉一反三2（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號(hào)．已知A、B兩船相距1003+1海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得船C正好在觀測(cè)點(diǎn)D的南偏東（1）分別求出A與C，A與D之間的距離AC和AD（如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào)，請(qǐng)保留根號(hào)）．（2）已知距觀測(cè)點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線AC去營(yíng)救船C，在去營(yíng)救的途中有無觸暗礁危險(xiǎn)﹖請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3≈1.7，精確到題型七求河寬(勾股定理的應(yīng)用)例7（2023春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)，測(cè)得AC=18m,BC=30m．求A

舉一反三1（2023·浙江衢州·三模）某工程隊(duì)負(fù)責(zé)挖掘一處通山隧道，為了保證山腳A，B兩處出口能夠直通，工程隊(duì)在工程圖上留下了一些測(cè)量數(shù)據(jù)（此為山體俯視圖，圖中測(cè)量線拐點(diǎn)處均為直角，數(shù)據(jù)單位：米）．據(jù)此可以求得該隧道預(yù)計(jì)全長(zhǎng)米．舉一反三2（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為了測(cè)量池塘的寬度DE，在池塘周圍的平地上選擇了A、B、C三點(diǎn)，且A、D、E、C四點(diǎn)在同一條直線上，∠C=90°，已測(cè)得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，則池塘的寬度A．80m B．60m C．50m題型八求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度(勾股定理的應(yīng)用)例8（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m、長(zhǎng)13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要元．

舉一反三1（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為8dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為dm．舉一反三2（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺(tái)階面爬行的最短路程是（

）A．6 B．8 C．9 D．15題型九判斷汽車是否超速(勾股定理的應(yīng)用)例9（2022秋·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，有兩條公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向離O點(diǎn)160米處有一所學(xué)校A，當(dāng)重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛時(shí)，在以P為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為36千米/時(shí)，則對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車P與學(xué)校A的距離是米；重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來噪聲影響的時(shí)間是秒．舉一反三1（2019·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明與小亮約好去圖書館（D），一小明行走的路線是A→C→D，小亮行走的路線是B→C→D，已知AB=3km，BC=4km，CD=5km，∠ABC=90°，已知小明騎自行車速度為akm/分鐘，小亮走路，速度為0.1km分鐘。小亮出發(fā)20分鐘后小明再出發(fā)，若小明在路上遇到小亮，則帶上小亮一起去圖書館，為了使小亮能坐上小明的順風(fēng)車，則a舉一反三2（2021秋·浙江溫州·八年級(jí)溫州市第二十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A處的正前方30m的C處，過了2s后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為50m，則這輛小汽車的速度是m/s．題型十判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響(勾股定理的應(yīng)用)例10（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大．隨著中國(guó)科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機(jī)灑水的方式撲滅火源．如圖，△ABC區(qū)域內(nèi)是一片森林，有一臺(tái)救火飛機(jī)沿東西方向AB，由點(diǎn)A飛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為其中一個(gè)著火點(diǎn)，且點(diǎn)C與點(diǎn)A，B的距離分別為600m和800m，又AB=1000m，飛機(jī)中心周圍(1)求△ABC的面積．(2)著火點(diǎn)C能否受到灑水影響？為什么？舉一反三1（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，∠OPN=30°，點(diǎn)A處有一所學(xué)校．AP=240m．假設(shè)汽車在公路MN上行駛時(shí)，周圍150m舉一反三2（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）為了積極響應(yīng)國(guó)家新農(nóng)村建設(shè)的號(hào)召，遂寧市某鎮(zhèn)政府采用了移動(dòng)宣講的形式進(jìn)行廣播宣傳．如圖，筆直的公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊到公路MN的距離為600m，假使宣講車P周圍1000m以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車P在公路MN上沿(1)村莊能否聽到廣播宣傳?請(qǐng)說明理由．(2)已知宣講車的速度是200m/題型十一選址使到兩地距離相等(勾股定理的應(yīng)用)例11（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A

舉一反三1（2020秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過計(jì)算說明．舉一反三2（2019秋·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）某公路上有一隧道，頂部是圓弧形拱頂，圓心為O，隧道的水平寬AB為24m，AB離地面的高度AE=10m，拱頂最高處C離地面的高度CD為18m，在拱頂?shù)腗，N處安裝照明燈，且M，N離地面的高度相等都等于17m，則MN=題型十二求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用）例12（2023秋·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第四十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6，4，4，點(diǎn)A是上底面中心，點(diǎn)B是棱CD的中點(diǎn)，一只螞蟻由A處爬到B處，最短路程為．

舉一反三1（2023秋·廣東佛山·八年級(jí)佛山市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，圓柱的高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是cm．

舉一反三2（2023秋·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A

題型十三判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形例13（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，CD⊥AB，AB=5，BC=5，CD=2

(1)求DB的長(zhǎng)；(2)求證：AC⊥BC．舉一反三1（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（

）A．∠B=∠C+∠A B．a(chǎn)C．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D．a(chǎn):b:c=5:12:13舉一反三2（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎猘、b、c為△ABC的三邊，且滿足a-ba2+A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形題型十四在網(wǎng)格中判斷直角三角形例14（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┰谡叫尉W(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形，現(xiàn)有A，B兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)以AB為邊分別畫出符合下列要求的格點(diǎn)三角形．(1)在圖甲中畫一個(gè)面積為4的直角三角形；(2)在圖乙中畫一個(gè)等腰（非直角）三角形，且這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為_______________．舉一反三1（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，要求只用一把無刻度的直尺作圖．(1)在圖1中作一個(gè)以AB為腰的等腰三角形，其頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(2)在圖2中作所有以AB為一邊的直角三角形，其頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．舉一反三2（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校﹫D1與圖2均為5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B均落在格點(diǎn)上，在圖1、圖(1)在圖1的格點(diǎn)中取一點(diǎn)C，使△ABC為等腰直角三角形；(2)在圖2的格點(diǎn)中取一點(diǎn)E，使△ABE是與△ABD面積相等的等腰三角形．題型十五利用勾股定理的逆定理求解例15（2022春·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，

(1)求AC的長(zhǎng)．(2)求四邊形ABCD的面積．舉一反三1（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，AB⊥BC，AB=23，CD=5，AD=3，BC=2，則∠A=（

A．30° B．45° C．60° D．75°舉一反三2（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，小明爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算這塊土地的面積，AB=3m，AD=4m，CD=12m，BC=13

題型十六勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用例16（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm

舉一反三1（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米．(1)△ABC是直角三角形嗎？為什么？(2)小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米100元，試問鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元？舉一反三2（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）如圖，AB⊥BC,AB=4,BC=3,DC=12,AD=13．請(qǐng)你連結(jié)AC．(1)求線段AC的長(zhǎng)；(2)求四邊形ABCD的面積題型十七勾股定理逆定理的拓展問題例17（2023春·廣西柳州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一條河流，為方便運(yùn)輸貨物，現(xiàn)要從公路AB上的D處建一座橋梁到達(dá)C處，已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的直線距離為9km，與公路上另一?？空綛的直線距離為12km，公路AB的長(zhǎng)度為15km(1)求證：AC⊥BC；(2)求修建的橋梁CD的長(zhǎng)．舉一反三1（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)直接寫出線段AC、CD、AD的長(zhǎng)；(2)求∠ACD的度數(shù)；(3)求四邊形ABCD的面積．舉一反三2（2023春·福建廈門·八年級(jí)校考期中）定義：如圖，點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在N的左側(cè)）把線段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的購股分割．(1)已知M、N把線段AB分割成AM，MN，BN，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2.0，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由；(2)已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB=30，AM=5，求BN的長(zhǎng)．單選題1.（20