第29講 與圓有關(guān)的證明與綜合題（原卷版）

第29講【技巧點(diǎn)撥】一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1．圓的有關(guān)概念圓、圓心、半徑、等圓；弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等?。蝗切蔚耐饨訄A、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)心、圓心角、圓周角．2．圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸；圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性．3．圓的確定不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．4．垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普撈椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。c(diǎn)詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個(gè)條件有2個(gè)成立，則另外3個(gè)也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作條件時(shí)，應(yīng)限制AB不能為直徑．5．圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等．6．圓周角圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論1在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)P在圓上d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)d＜r．要點(diǎn)詮釋：圓的確定：①過(guò)一點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，如圖所示．②過(guò)兩點(diǎn)A、B的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，如圖所示．③經(jīng)過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓．④不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．如圖所示．2．直線和圓的位置關(guān)系（1）切線的判定切線的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線)（2）切線的性質(zhì)切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．（3）切線長(zhǎng)和切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．3．圓和圓的位置關(guān)系(1)基本概念兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義．(2)請(qǐng)看下表：要點(diǎn)詮釋：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)含．其中相切和相交是重點(diǎn)．②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)圓的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)理解．④“R-r”時(shí)，要特別注意，R＞r．三、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑.）(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角.2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.這個(gè)圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.3、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓.

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.要點(diǎn)詮釋：正n邊形的有n個(gè)相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)；所以正n邊形的中心角等于它的外角.（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長(zhǎng)的比等于它們邊長(zhǎng)（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長(zhǎng)（或半徑、邊心距）平方的比.【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】1．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，已知A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，AB＝AC，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，E、F分別是OM、ON上的點(diǎn)．（1）求證：∠AOM＝∠AON；（2）如果AE∥ON，AF∥OM，求證：OE?OM＝AO2．2．（2022?黃浦區(qū)校級(jí)二模）如圖所示為一個(gè)圓柱形大型儲(chǔ)油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥DC，支點(diǎn)A與B相距8m，罐底最低點(diǎn)到地面CD距離為1m．設(shè)油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D＝56°，求：U型槽的底部CD的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.5，結(jié)果保留整數(shù)）3．（2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖，已知在半圓O中，AB是直徑，CD是弦，點(diǎn)E、F在直徑AB上，且四邊形CDFE是直角梯形，∠C＝∠D＝90°，AB＝34，CD＝30．求梯形CDFE的面積．4．（2022?虹口區(qū)二模）已知：如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，AB＝AC，點(diǎn)M、N分別在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，聯(lián)結(jié)OM、ON．（1）求證：OM＝ON；（2）當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，如果AO2＝AM?AC，求證：四邊形AMON為等腰梯形．5．（2022?奉賢區(qū)二模）圖1是某種型號(hào)圓形車載手機(jī)支架，由圓形鋼軌、滑動(dòng)桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動(dòng)桿AB的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動(dòng)，支撐桿CD的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動(dòng)桿AB的中點(diǎn)，（即當(dāng)支架水平放置時(shí)直線AB平行于水平線，支撐桿CD垂直于水平線），通過(guò)滑動(dòng)A、B可以調(diào)節(jié)CD的高度，當(dāng)AB經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，它的寬度達(dá)到最大值10cm，在支架水平放置的狀態(tài)下：（1）當(dāng)滑動(dòng)桿AB的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時(shí)，求此時(shí)支撐桿CD的高度．（2）如圖3，當(dāng)某手機(jī)被支架鎖住時(shí)，鎖住高度與手機(jī)寬度恰好相等（AE＝AB），求該手機(jī)的寬度．6．（2022?楊浦區(qū)二模）已知在扇形AOB中，點(diǎn)C、D是上的兩點(diǎn)，且．（1）如圖1，當(dāng)OD⊥OA時(shí)，求弦CD的長(zhǎng)；（2）如圖2，聯(lián)結(jié)AD，交半徑OC于點(diǎn)E，當(dāng)OD∥AC時(shí)，求的值；（3）當(dāng)四邊形BOCD是梯形時(shí)，試判斷線段AC能否成為⊙O內(nèi)接正多邊形的邊？如果能，請(qǐng)求出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2022?普陀區(qū)二模）如圖，已知矩形ABCD中，AD＝5，以AD上的一點(diǎn)E為圓心，EA為半徑的圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，并交邊BC于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合）．（1）當(dāng)AE＝4時(shí)，求矩形對(duì)角線AC的長(zhǎng)；（2）設(shè)邊AB＝x，CF＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）設(shè)點(diǎn)G是的中點(diǎn)，且∠GEF＝45°，求邊AB的長(zhǎng)．8．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，已知△ABC外接圓的圓心O在高AD上，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，EC＝AB．（1）求證：∠B＝2∠AEC；（2）當(dāng)OA＝2，cos∠BAO＝時(shí)，求DE的長(zhǎng)．9．（2022?松江區(qū)二模）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC＝8，OA＝5．（1）求∠BAO的正弦值；（2）求弦BC的長(zhǎng)．10．（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，BC＝OB，點(diǎn)D是在半圓O上的點(diǎn)（不與A，B兩點(diǎn)重合），CE⊥CD且CE＝CD，聯(lián)結(jié)DE．（1）如圖1，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果DF＝BF，求證：；（2）如圖2，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果點(diǎn)D平分，求tan∠DFA；（3）聯(lián)結(jié)OE交CD于點(diǎn)G，當(dāng)△DOG和△EGC相似時(shí)，求∠AOD．11．（2022?閔行區(qū)二模）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝26，BC＝42，cosB＝，AD＝DC．點(diǎn)M在射線CB上，以點(diǎn)C為圓心，CM為半徑的⊙C交射線CD于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)MN，交射線CA于點(diǎn)G．（1）求線段AD的長(zhǎng)；（2）設(shè)線段CM＝x，＝y(tǒng)，當(dāng)點(diǎn)N在線段CD上時(shí)，試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)DM，當(dāng)∠NMC＝2∠DMN時(shí)，求線段CM的長(zhǎng)．12．（2022?金山區(qū)二模）如圖，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，O是邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓O與邊AC的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)D，與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作AB的平行線與圓O相交于點(diǎn)P，與BC相交于點(diǎn)Q，DP的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)FQ．（1）求證：DP＝EP；（2）設(shè)OA＝x，△FPQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；（3）如果△FPQ是以FQ為腰的等腰三角形，求AO的長(zhǎng)．13．（2022?寶山區(qū)二模）如圖，已知AB為圓O的直徑，C是弧AB上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AD交BC于點(diǎn)F．（1）求證：＝；（2）如果AF?AD＝AO2，求∠ABC的正弦值；（3）聯(lián)結(jié)OF，如果△AOF為直角三角形，求的值．14．（2022·上海金山區(qū)世界外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）已知：△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，BC=，射線BO交邊AC于點(diǎn)E．(1)如果點(diǎn)E恰好是邊AC的中點(diǎn)，求邊AB的長(zhǎng)；(2)如果△ABE∽△ACB，求的大小；(3)當(dāng)△AEO為等腰三角形時(shí)，求的大?。?5．（2022·上海理工大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)一模）如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），射線CE與射線BA交于點(diǎn)G．(1)當(dāng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求CP的長(zhǎng)；(2)聯(lián)結(jié)AP，當(dāng)時(shí)，求弦EF的長(zhǎng)；(3)當(dāng)△AGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長(zhǎng)．16．（2022·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知⊙O經(jīng)過(guò)菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C,且與CD相切，直徑CF交AB于點(diǎn)E．(1)求證：AD與⊙O相切；(2)若,求的值．17．（2022·上海·位育中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是OA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)線段OP的中點(diǎn)H作OP的垂線交弧AB于點(diǎn)C，射線PC交弧AB于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OD．(1)如圖，當(dāng)弧AC＝弧CD時(shí)，求弦CD的長(zhǎng)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在弧AD上時(shí)，設(shè)PA＝x，CD＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；(3)設(shè)CD的中點(diǎn)為E，射線HE與射線OD交于點(diǎn)F，當(dāng)DF時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠P的余切值．18．（2020·上海中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長(zhǎng)交邊AC于點(diǎn)D．（1）求證：∠BAC=2∠ABD；（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，求∠BCD的大?。唬?）當(dāng)AD=2，CD=3時(shí)，求邊BC的長(zhǎng)．19（2022?上海中學(xué)模擬B卷）數(shù)學(xué)家龐斯萊發(fā)明過(guò)一種玩具（如圖1），這種玩具用七根小棍做成，各結(jié)點(diǎn)均可活動(dòng)，AD＝AF，CD＝DE＝EF＝FC，且OC＜AF﹣CF．使用時(shí)，將A，O釘牢在平板上，使A，O間的距離等于木棍OC的長(zhǎng)，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)C，則點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在直線BG上運(yùn)動(dòng)，BG⊥AB．圖2是該玩具轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的一幅示意圖．（1）判斷