2023-2024學(xué)年湖南省株洲市炎陵縣高二年級下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年湖南省株洲市炎陵縣高二下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2},5={x|-l<x<2|,則408=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.“x=l”是“。-1)(》-2)=0”的()條件

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)2=烏上，則|司=()

1

A.72B.y/5C.2D.5

4.不等式2*-'>4的解集為()

A.(-00,-1)B.(-1,2)

C.(-co,-1)0(2,+co)D.(-00,2)5-1,+°°)

5.已知矩形力8CD中，E為NB邊中點,，線段NC和。E交于點尸，則麗=()

A.一一AB+-ADB.-AB---AD

3333

2—1—2—

C.—AB——ADD.

3333

6.己知實數(shù)a>b>0>c,則下列結(jié)論一定正確的是()

A-公B.(J>(3

C.—<-D.a2>c2

ac

7.已知{。〃}是等差數(shù)列，且4+/=4叼4=-6,則該數(shù)列的公差是()

A.3B.-C.—4D.-14

4

8.過點(。,3)且與曲線y=x3-2x+l相切的直線方程為()

A.x-y-3=0B.x-y+3=0C.x+y+3=0D.x+y-3=0

二、多選題

9.下列命題正確的是()

A.垂直于同一個平面的兩平面平行

B.兩條平行直線被兩個平行平面所截得的線段相等

C.一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，這兩平面平行

D.一條直線與兩平行平面中的一平面平行，則與另一平面也平行

10.函數(shù)/(x)=Nsin(0x+g)(/>0,。>0,04s42兀)的部分

圖像如圖所示，則下列說法正確的是()

71%

A.<y=-B.7=12C.(p=~

66

11.已知圓。:/+/-2》-8=0,直線/：y=Mx+l)+l,貝ij

()

A.圓C的圓心為(1,0)B.點(T,D在/上

C./與圓C相交D./被圓C截得的最短弦長為4后

12.函數(shù)

/(x)=ax3+bx2+cx+d*0)的圖

象如圖所示，設(shè)/'(x)是函數(shù)“X)的

導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

人./編)>0的解集是(2,5)

B.3Q+26+C=0

C.X=2時，/'(X)取得最大值

D./(x)/(x)>0的解集是(e,-l)U(1,2)U(3,5)

三、填空題

13.函數(shù)/(x)=j2+3x+f的定義域為

兀

14.己知ae2，nsina=—,則COS(?！猘)=

15.已知事件/發(fā)生的概率為0(4)=0.3,則它的對立事件彳發(fā)生的概率

P(A)=.

16.某公司開發(fā)了一款手機應(yīng)用軟件，為了解用戶對這款軟件

的滿意度，推出該軟件3個月后，從使用該軟件的用戶中隨機

抽查了1000名，將所得的滿意度的分數(shù)分成7組：[30,40),

[40,50),…，[90,100],整理得到如下頻率分布直方圖.這1000

名用戶滿意度的第25百分位數(shù)是.

四、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=sinxcosx+gsiifx.

(1)求函數(shù)/(X)的最小正周期T;

(2)求函數(shù)/(x)的最大值，并求出使該函數(shù)取得最大值時的自變量x的值.

18.已知等差數(shù)列｛%｝滿足：6=10,且%+1。,%+8,%+6成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛〃.｝的通項公式；

，、,1

(2)若數(shù)列也｝的通項公式為?=S_8)(“一6)求數(shù)列也｝的前〃項和S,,.

19.如圖，四邊形是正方形，平面NBC。，EB//PA,

AB=PA=4,EB=2,尸為尸。的中點.

⑴求證:AF1PC；

(2)求二面角。-尸C-E的大小.

20.已知橢圓C:1+y2

l(a>6>0)的左右焦點分別為片，鳥,橢圓C經(jīng)過點次0焦),且直

aF

線”尸2，與圓/+/=2相切.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線了=6+1(左>0)與橢圓C交于P,0兩點，點〃在x軸上，且滿足礪?聞+說?網(wǎng)=0,

求點M橫坐標的取值范圍.

21.某校在2022年的綜合素質(zhì)冬令營初試成績中隨機抽取40

名學(xué)生的筆試成績，并將成績共分成五組：第1組［75,80),第

2組［80,85),第3組［85,90),第4組［90,95),第5組［95,100］,

得到的頻率分布直方圖如圖所示.且同時規(guī)定成績小于85分的

學(xué)生為“良好”，成績在85分及以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，且只有成

績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格，面試通過者將進入復(fù)試

(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)；

(2)如果用分層抽樣的方法從“良好”和“優(yōu)秀”的學(xué)生中共選出5人,再從這5人中選2人發(fā)言,

那么這兩人都“優(yōu)秀”的概率是多少？

(3)如果第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列，規(guī)定初試時筆試成績得分從高到低排名在前22%

的學(xué)生可直接進入復(fù)試，根據(jù)頻率分布直方圖估計初試時筆試成績至少得到多少分才能宜接

進入復(fù)試？

3

22.已知函數(shù)/(》)=4111丫+5/-(4+3)》,4€1^.

(1)若曲線y=〃x)在點(2,7(2))處的切線的斜率為4,求。的值；

(2)當a>0時，求"X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)已知/(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(l,e)上存在零點.求證：當xe(l,e)時，

答案:

1.A

【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.

【詳解】因為/={-2,-1,0,1,2},8={x[-l<x<2},

所以4門8={0』},

故選：A.

2.A

【分析】根據(jù)題意，由充分性必要性的定義，分別驗證即可得到結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，顯然當x=-l,可得(x-lg-2)=0成立，所以充分性滿足；

當(x-l)(x-2)=0時，可得x=l或x=2,所以必要性不滿足；

即“x=—1”是“紅-12-2)=0”的充分不必要條件.

故選:A.

3.B

【分析】將復(fù)數(shù)化簡后再求共輾復(fù)數(shù)的模長，

一2+il

【詳解】解：z=—=l+2i,Z=l-2i,/.|z|=^5.

i

故選:B.

4.C

【分析】由題意可得—-x-2>0,解此不等式即可.

【詳解】解：因為2**>402/-、>220》2-工>20/-》_2>0，

所以(x-2)(x+1)>0,

解得x>2或x<-l,

所以不等式的解集為.(-8,-1)7(2,”)

故選：C.

5.D

【分析】取CO中點G,可證得四邊形8EDG為平行四邊形，得到BG//DE,結(jié)合三角形中

位線性質(zhì)可確定尸為/C上靠近A的三等分點，從而根據(jù)向量線性運算推導(dǎo)得到結(jié)果.

【詳解】取C。中點G,連接BG,交“C于點”，

,:BE=DG,8E=OG,.,.四邊形8EOG為平行四邊形，

BG//DE,又E為中點、，；.AF=FH,同理可得：CH=FH,

.?.萬==存+砌，

:.BF^BA+JF^-AB+-(AB+Ab'\^--AB+-Ab.

3、>33

故選：D.

6.A

【分析】由不等式的性質(zhì)，逐個驗證選項的結(jié)果.

【詳解】A選項中，因為a>6>0>c,所以；>0>色，故A選項正確；

bc

B選項中，因為函數(shù)》=(；]在R上單調(diào)遞減且”>c,所以故B選項錯誤：

C選項中，因為a>O>c,則工>0>1,故C選項錯誤；

ac

D選項中，若a=l,c=-2,滿足a>O>c,但〃2<《2,故D選項錯誤.

故選：A.

7.A

【分析】設(shè)數(shù)列｛即｝公差為力首項為％,則由4+%=4%%=-6可得關(guān)于q和d的

方程組.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛"〃｝公差為力首項為％,貝I」由4+〃9=4叼4=-6可得：

+10d=4q+16d1q=一9

[a.+d=-6=[1=3.

故選：A

8.B

【分析】設(shè)切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)表示出切線斜率，得到切線方程，代入切線過的點，求出未

知數(shù)即可得到方程.

【詳解】由y=r-2x+l,則J/=312一2，

設(shè)切點坐標為(%,與3-2%+1),則切線的斜率4=3/2-2,切線方程為

32

y-(X0-2X0+1)=(3X0-2)(X-X0),

由切線過點(0,3),代入切線方程解得％=-1,則切線方程為y-2=x+l,即x-y+3=0.

故選：B

9.BC

【分析】AD考慮包含、相交、平行的可能即可判斷；BC由性質(zhì)定理判斷即可.

【詳解】對A,垂直于同一個平面的兩平面可能平行，也可能相交，A錯；

對B,兩條平行直線被兩個平行平面所截得的線段相等(性質(zhì)推論)，B對；

對C,一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，這兩平面平行(判定定理)，C對；

對D,一條直線與兩平行平面中的一平面平行，則與另一平面也平行或在另一平面內(nèi)，D錯.

故選：BC.

10.ABCD

【分析】由圖像最高點可得Z及T,由7可得勿，后由5①+<p=n+2&",kGZ可得。.

【詳解】對于AB,由圖可得，/(X)周期為=又T=12,>。，得刃=工,

同

故AB正確;

由圖可得，5。+9=口+2后n,左eZ,即0=巴+2依，又04042兀，得/=色，故C正確；

66

對于D,由圖可得，圖像最高點對應(yīng)縱坐標為5,又/>0,則4=5,故D正確.

故選：ABCD

11.ABC

【分析】根據(jù)圓的標準方程可判斷A,直線方程的點斜式表示方法判斷B,根據(jù)點與圓的位

置關(guān)系判斷C,根據(jù)弦長公式判斷D.

【詳解】圓C:(X—1)2+/=9,所以圓心為C(l,0),A正確；

因為/:y=A:(x+l)+l,所以y-1=Hx+l),所以直線過點N(T,1),B正確；

因為只。="71=若<3=J所以點4-1,1)在圓C內(nèi)，

所以/與圓C相交，C正確；

因為圓心C(l,0)到直線/：夕=”(》+1)+1的距離〃4|/。=百，

所以/被圓C截得的弦長為2尸彳22M二=4,D錯誤，

故選:ABC.

12.BC

【分析】根據(jù)圖象可得出/(x)<0以及/(x)>0的解集，根據(jù)圖象的上升下降可得/網(wǎng)x)>0

以及/'(力<0的解集.由此可判斷A、D項；由圖象分析可知。<0,1和3是函數(shù)/(x)的兩

個極值點，所以有/'(1)=0以及/'(3)=0,代入可判斷B項，聯(lián)立即可得到a,b,c的關(guān)系，

代入導(dǎo)函數(shù)整理可得到/'(X)=34X-2)2-3a,即可判斷C項.

【詳解】對于A項，由圖象可得，函數(shù)/(x)在(1,3)上單調(diào)遞增,所以/卜)>0的解集是(1,3),

故A項錯誤；

對于B項，因為/'(x)=3ax2+26x+c.又由圖象知，函數(shù)〃x)在x=l處取得極小值，

所以有/'(l)=3a+2&+c=0,故B項正確；

對于C項，由圖象知，當x?l,3)時，“X)單調(diào)遞增，則/(x)>0；當時，/(x)

單調(diào)遞減，則/'(力<0;

當xe(3,+oo)時，/(x)單調(diào)遞減,則/'(》)<0.所以/'(力<0的解集為(-8,1)33,+8),

H(x)>0的解集為(1,3).

又/'(x)=3"?+2bx+c為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知。<0.因為函數(shù)/(x)在x=l

以及x=3處取得極值，

f/,(l)=013a+2b+c=0_[6=-6a

所以有八，即”々八，所以0，

[/(3)=0〔27a+6b+c=0[c=9a

所以/'(力=？。X2+2/?x+c=3ax2-12ax+9a=34X-才-3d,

因為。<0,所以、=2時，/'(x)取得最大值，故C項正確；

對于D項,由/(x"(x)>0可得，,(j)>I或[,(：)：；.由圖象知,

(x)<0

當XWu(2,5)時，/(x)>0.又"(x)>0的解集為(1,3).所以由匕,(?>:可得

J(V〉u

.re(2,3)；

由圖象知，當X?-1,2)U(5,E)時,/卜)<0.又/。)<0的解集為(7,1)33，”).

所以由可得》?-1,1川(5,+<?).所以，/(力/'(力>0的解集是

(-1,1)U(2,3)U(5,-H?),故D項錯誤.

故選：BC.

13.(-<?,-2]U[-!,+<?)

【分析】利用根式有意義及一元二次不等式的解法即可求解.

【詳解】要使函數(shù)/(x)=J2+3X+Y有意義,

只需2+3》+/20,即(x+l)(x+2)20,解得x￡—2或xN—1,

所以函數(shù)/（切=垃4不:7的定義域為（-8,-2］U［-l,+8）.

故答案為.(_8,-2]U[-l,+8)

4

14.

5

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式求解.

3/----------------4

【詳解】因為兀sincr=—,所以cosa=-vl-sin2a=——,

4

又因為cos（4一a）=-cosa,所以cos（兀一a）=不，

4

故答案為：一.

5

15.0.7

【分析】根據(jù)對立事件的知識求得正確答案.

【詳解】依題意，尸（1）=1一尸（4）=1-0.3=0.7.

故0.7

16.54

【分析】利用頻率分布直方圖結(jié)合百分位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】由已知可得，樣本中滿意度在區(qū)間［30,40）內(nèi)的樣本的頻率為0.005x10=0.05,

樣本中滿意度在區(qū)間［40,50）內(nèi)的樣本的頻率為0.010x10=0.1,

樣本中滿意度在區(qū)間［50,60）內(nèi)的樣本的頻率為0.025x10=0.25,

所以樣本中滿意度在區(qū)間［30,50）內(nèi)的樣本的頻率為0.15,滿意度在區(qū)間［30,60）內(nèi)的樣本的

頻率為0.40,故用戶滿意度的第25百分位數(shù)在區(qū)間［50,60）內(nèi)，

設(shè)用戶滿意度的第25百分位數(shù)為x,則

0.15+（x-50）x0.025-0.25,所以“54,

所以這1000名用戶滿意度的第25百分位數(shù)是54.

故54.

17.（1）7=兀

（2）最大值1+立，x=—+kn,kGZ

212

-2兀

【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式變形化簡，然后根據(jù)公式7=同可得周期.

（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得/（x）的最大值及取最大值時x的值.

【詳解】(1)由已知

/'3=sinxcosx+6sin、=—sin2x+

2

所以函數(shù)/(x)的最小正周期r=

(2)由(1)/(x)=sin(2x-g)+日得

二函數(shù)/(x)的最大值為1+日，

TTTTJTT

止匕時有2%一§二耳+2癡,％GZ,即x=—4-kn,keZ.

18.⑴?！?2〃+8

⑵s”二扁

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項公式和等比中項求解即可；

(2)利用裂項相消法求解即可.

【詳解】(1)等差數(shù)列｛%｝的首項6=10,公差設(shè)為"，

由〃2+10，/+8,4+6成等比數(shù)列可得

3+8)2=(%+10)(%+6),即(4+24+8)2=(%+"+10)(6+31+6),

即(18+2d)2=(20+d)(16+3d),解得d=2,

所以4=q+(〃-l)d=2〃+8.

11]

(2)由(1)得b〃=

2〃(2〃+2)4\nn+\)

所以s〃=；(i21111n

223n7+1

19.(1)證明見解析;

/八\5九

(2)—;

o

(3)〃,E重合時，符合題意，|麗|=2店.

【分析】(1)以A為原點，力，萬，萬分別為x，乃z軸正方向，建立空間直角坐標系.利用

向量法證明；

(2)利用向量法求出二面角D-PC-E的余弦值，得到二面角。-PC-E的大小；

（3）利用向量法判斷出當也與E重合時，符合題意，進而求出|麗

【詳解】（1）因為四邊形是正方形，尸/_!_平面458,所以以A為原點，JD,AB,AP

分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標系.

因為/8=尸/=4,EB=2,尸為尸。的中點，所以

4（0,0,0）,P（0,0,4）,0（4,0,0）,C（4,4,0）,5（0,4,0）,E（0,4,2）,F（2,0,2）.

所以巨心=（4,4,-4）,/=（2,0,2）.

因為正?礪=（2,0,2）=4x2+0+-4x2=0,所以定1萬，即//FPC.

（2）因為P/_L平面”88,COu平面/8C。，所以「NLCO.

又ZF_LPC,"04=/,4尸<=平面尸49,/>/<=平面?/。，

所以CD_L平面P/O.

因為ZFu平面所以CD_L/F.

又AFLPC,8（"|氏？=（?,"）<=平面尸。,尸。匚平面「。，

所以/F_L平面PCD,即萬^⑵。,2）為面尸CD的一個法向量.

-/、，-，A,-HPC=4x+4y-4z=0

設(shè)〃=x,y,z為面尸CE的一個法向量，則_",

n-PE=0x+4y-2z=0

不妨設(shè)V=l,則3=（1,1,2）.

由圖示，二面角。-尸C-E為鈍角，設(shè)其為0,所以

C0S^,￡gL=.|lx2+0xl+2x^=巫

卜卜|AFyVl2+12+22x>/22+02+222

因為ee[0,7t],所以。="，即二面角。-尸C-E為”.

66

（3）假設(shè)在棱PE上存在點使得直線。必與平面PCE所成角的正弦值為好.

9

設(shè)麗=2萬=（0,42,-24）,（04441）,則麗=而+兩=（-4,42,4-24）.

因為直線。M與平面PCE所成角的正弦值為如，

9

所以卜聞的,小逅，即用邛，所以/卜：+：+8_邛,解

I\/I9\DM\x^9J16+16%2+(4-2/l)xJl+1+49

得.2=1

所以當A1與E重合時，直線?！ㄅc平面尸CE所成角的正弦值為逅.

9

此時，|所卜|而卜|(0,4,-2)|=新+4?+(一2『=2A/5.

2,,2

20.(1)—+—=1

84

(2)［一半,0)

4

【分析】⑴根據(jù)橢圓過點4。,2)可得b=2,然后再利用直線/工與圓x2+/=2相切得到c,

進而求解方程；

(2)由已知條件可得：MNLPQ,進而得到&將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋

K

達定理和中點坐標公式得到點N橫坐標的表達式，根據(jù)直線AW的方程和基本不等式即可

求出點M橫坐標的取值范圍.

【詳解】(1)???橢圓C經(jīng)過點40,2),.?"=2,

由題意得直線工廠,的方程為2+4=1，即2x+cy-2c=0,

c2

??,直線力工與圓一+『=2相切,

22

*,*/=〃+（工=8,工橢圓。的方程為---1--—=1；

84

(2)設(shè)尸(石,必)0(工2，%)，點8(%,%)是「。的中點,

y=kx+1,

-4k.2k

由//，得（1+2-卜2+4kx-6=0

—+—=1

84

*/MP?PQ+MQ?PQ=（MP+MQ）-PQ=2MN?PQ=0,

___一1

K

直線的的方程為y-%=-幺…。），

K

.?.點用的橫坐標為'=如+'。=.2+丸+%=一含=一亡;,

十乙K

k

,：k>0,：.j-+2k>2-j2,AXe[--,0).

二“點M的橫坐標的取值范圍為[-名,0).

21.(1)82.5

⑵3

10

(3)92分

【分析】(1)根據(jù)最高小長方形底邊中點對應(yīng)的橫坐標為眾數(shù)，即可得到答案；

(2)先計算出5人中“良好”的學(xué)生和“優(yōu)秀”的學(xué)生的人數(shù)，再列出樣本空間，確定事件這兩

人都“優(yōu)秀”所包含的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型的公式即可求解；

(3)由條件列方程組求出加，〃，接著判斷出初試時筆試成績得分從高到低排名在22%的

學(xué)生分數(shù)在第四組，設(shè)為至少x分能進入面試，列方程即可求解.

【詳解】(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)為：；(80+85)=82.5

(2)“良好”的學(xué)生頻率為(0.01+0.07)x5=0.4,“優(yōu)秀”學(xué)生頻率為1-0.4=0.6；

由分層抽樣可得“良好”的學(xué)生有5x04=2人，“優(yōu)秀”的學(xué)生有3人，

將三名優(yōu)秀學(xué)生分別記為Z,B,C,兩名良好的學(xué)生分別記為a,b,

則這5人中選2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10種，

其中事件這兩人都“優(yōu)秀”包含的基本事件有：/8,/C,8c共3種，

所以事件這兩人都“優(yōu)秀”的概率尸=百

(3)由第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列得

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