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近世代數(shù)§24/18/202010:59元素的指數(shù)在群中，由于結(jié)合律成立，有意義，據(jù)此,可定義群的元素的指數(shù):

設(shè)為正整數(shù),則規(guī)定:顯然有，，其中為任意整數(shù).4/18/202010:59定義1設(shè)為群的一個元素，使的最小正整數(shù)叫做元素的階，記作；若不存在這樣的，則稱的階顯然，群中單位元的階為1，其他元的階為無限.都大于1，

4/18/202010:59例1關(guān)于數(shù)的普通乘法做成4次單位根群.4/18/202010:59例2正有理數(shù)乘群單位元的階是1，其他元的階均為無限.例3非零有理數(shù)乘群1的階是1，-1的階是2，其余元的階均為無限.4/18/202010:59定理1有限群中每個元素的階均有限.，在中必有相等的.設(shè)則，從而階有限.證明：設(shè)4/18/202010:59注：無限群中元素的階可能無限，也可能有限，，其中是次單位根群關(guān)于普通乘法作成無限交換群，甚至可能都有限.例4，則其中每個元素的階都有限.4/18/202010:59定理2若群中，則證明：令，，則.證明中，只需證.（2）若4/18/202010:59定理3若群中，則，其中為任意的整數(shù).設(shè)，則證明：4/18/202010:59兩個推論：推論1在群中，若,則，其中s，t均為正整數(shù).推論2在群中，若，則4/18/202010:59定理4在群中，若，，則當(dāng)且時，證明：，，，于是若同理，4/18/202010:59例5|ab|一定等于|a||b|嗎？是有理數(shù)域Q上的全體二階滿秩方陣關(guān)于矩陣乘法做成的群.4/18/202010:59例5|ab|一定等于|a||b|嗎？是有理數(shù)域Q上的全體二階滿秩方陣關(guān)于矩陣乘法做成的群.4/18/202010:59思考題：設(shè)G是群，且|G|>1.證明：若G中除e外其余

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