重慶市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

重慶一中高2026級高一上期數(shù)學(xué)12月月考2023.12命題人：張星宇審題人：朱海軍一、單選題（每題5分，共計40分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，按照集合的交運算進行運算即可.【詳解】因，，所以，故選：B.2.已知函數(shù)，則的定義域為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域的求法列不等式，由此求得的定義域.【詳解】依題意或，所以的定義域為.故選：B3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層計算可得的值.【詳解】由已知可得，則.故選：D.4.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：可以求得，所以函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)．故選C．考點：零點存在性定理．5.為了給地球減負，提高資源利用率，2020年全國掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時尚，假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類的資金為5000萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長20%，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)增長模型列式求解.【詳解】設(shè)2020后第x年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元，則，即，解得，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是2026．故選：C．6.函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)解析式的特征,選擇特殊值代入即可判斷選項.【詳解】函數(shù)當(dāng)時,,所以排除C、D選項;當(dāng)時,,所以排除A選項;所以B圖像正確故選:B【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的應(yīng)用,根據(jù)解析式判斷函數(shù)圖像可結(jié)合奇偶性、單調(diào)性、特殊值等方法,屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù).若，使得成立，則實數(shù)的范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求得，結(jié)合題意知，解出即可.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)，且即時等號成立，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，由題意可知，即，所以，故選：C.8.設(shè)函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，恒有，則稱點為函數(shù)圖象的對稱中心.利用對稱中心的上述定義，研究函數(shù)，可得到（）A.0 B.2023 C.4046 D.4047【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中定義可知的圖象關(guān)于點對稱，然后根據(jù)對稱性即可求值.【詳解】因為，則，故的圖象關(guān)于點對稱，所以，故選：D.二、多選題（每題5分，共計20分）9.若，則下列命題正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.的圖象關(guān)于點（0，0）中心對稱C.沒有最小值 D.沒有最大值【答案】AD【解析】【分析】由題意得出的奇偶性，從而可判斷選項A,B;由，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項C,D.【詳解】，所以為偶函數(shù).則選項A正確，選項B不正確.設(shè)，所以（當(dāng)時取得等號）當(dāng)或時，，則，所以沒有最大值.所以選項C不正確，選項D正確.故選：AD10.下列四個函數(shù)中過相同定點的函數(shù)有（）A. B.C D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合冪指對函數(shù)的性質(zhì)確定各函數(shù)所過的定點坐標(biāo)，即可判斷過相同定點的函數(shù).【詳解】A：必過；B：，由知函數(shù)必過；C：，由知函數(shù)必過；D：，由知函數(shù)必過；∴A、B、C過相同的定點.故選：ABC.11.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，函數(shù)有3個零點B.當(dāng)時，若函數(shù)有三個零點，則C.若函數(shù)恰有2個零點，則D.若存在實數(shù)m使得函數(shù)有3個零點，則【答案】ABD【解析】【分析】A選項，令與，解出方程的根，得到零點個數(shù)；B選項，畫出與的圖象，得到要想有三個零點，則，進而得到，，求出的范圍即可；C選項，求出當(dāng)時，函數(shù)零點的個數(shù)，即可判斷；D選項，要想存在實數(shù)m使得函數(shù)有3個零點，則要保證對稱軸左側(cè)部分存在，從而求出的范圍.【詳解】對于A，當(dāng)時，，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，令，解得或，綜上，當(dāng)時，函數(shù)有3個零點，故A正確；對于B，當(dāng)時，，令，則，如圖，畫出與的圖象如下：要想有三個零點，則，不妨設(shè)，則，，故，則，則，故B正確；對于C，因為時，，或4時，，當(dāng)時，不存在零點，而有兩個零點，此時函數(shù)恰有2個零點，則當(dāng)時，函數(shù)也恰有2個零點，故C錯誤；對于D，畫出與的圖象如下：要想存實數(shù)m使得函數(shù)有3個零點，則要保證對稱軸左側(cè)部分存在，故，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．12.定義且.則下列關(guān)于函數(shù)的四個命題正確的是（）A.函數(shù)的定義域為，值域為B.函數(shù)是偶函數(shù)且在上是增函數(shù)：C.函數(shù)滿足：對任意的，都有為常數(shù)且成立；D.函數(shù)有2個不同零點.【答案】BCD【解析】【分析】畫出函數(shù)的草圖，根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】函數(shù)的草圖如下：由圖象可知：且為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，且，故A錯誤，B正確；由圖象可知，函數(shù)的周期為1,又為偶函數(shù)，，所以，故C正確；對于D，為偶函數(shù)，當(dāng)，有一個零點1，且，故在上有唯一零點，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，故共有兩個零點，故D正確，故選：BCD.三、填空題（每題5分，共計20分）13.若冪函數(shù)是偶函數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得，解得或，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得.【詳解】解：因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，，為奇函數(shù)，不滿足，舍；當(dāng)時，，為偶函數(shù)，滿足條件.所以.故答案為：14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________【答案】【解析】【分析】先求函數(shù)定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定單調(diào)增區(qū)間.【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞減，而也單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，故答案為：【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是7，則__________.【答案】或【解析】【分析】設(shè)，把函數(shù)化為關(guān)于的一元二次函數(shù)，分離討論的范圍，根據(jù)函數(shù)最大值建立方程，解出即可.【詳解】設(shè)，又，若，則，函數(shù)，對稱軸為，則，即時，，解得或（舍）；若時，，函數(shù)，對稱軸為，則，即時，，解得或（舍）；故答案為：或.16.已知函數(shù)，若、、、、滿足，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，可得，利用對稱性可得，由可求得，進而可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，當(dāng)時，，由圖象可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有五個交點，且點、關(guān)于直線對稱，可得，同理可得，由，可求得，所以，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題（共70分）17.設(shè)集合.（1）若時，求.（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；或.（2）【解析】【分析】（1）解出集合,按照集合的運算法則進行運算即可；（2）由題意得，分和兩種情況討論，列出不等式組，解出即可.【小問1詳解】因為，當(dāng)時，,所以，或，故或.【小問2詳解】因為，所以,當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，綜上知，的取值范圍為.18.已知且.（1）求的值；（2）若，解關(guān)于的不等式：（其中）.【答案】（1）12（2）當(dāng)t=0時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)不等式的解集為.【解析】【分析】（1）先把對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解．

（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可求出a的值，再對t分情況討論，分別求出不等式的解集．【小問1詳解】且，【小問2詳解】

∴不等式可化為當(dāng)t=0時，不等式為，解得，當(dāng)不等式的解集為，當(dāng)不等式的解集為，當(dāng)不等式的解集為綜上所述，當(dāng)t=0時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)不等式的解集為.19.已知定義在上的奇函數(shù)．在時，．（1）試求的表達式；（2）若對于上的每一個值，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，再設(shè)，根據(jù)奇偶性及上的函數(shù)解析式，計算可得；（2）依題意參變分離可得，令，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)最小值，從而得解；【小問1詳解】解：是定義在上的奇函數(shù)，，因為在時，，設(shè)，則，則，故.【小問2詳解】解：由題意，可化為化簡可得，令，，因為在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，，故．20.中國茶文化博大精深，小南在茶藝選修課中了解到，不同類型的茶葉由于在水中溶解性的差別，達到最佳口感時的水溫不同．為了方便控制水溫，小南聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度為，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過時間（單位：分鐘）后物體溫度（單位：）滿足公式：，其中是一個隨著物體與空氣接觸狀況而定的正的常數(shù)．小南與同學(xué)一起通過多次測量求平均值的方法得到200毫升初始溫度為的水，在室溫中溫度下降到溫度所需時間約為分鐘．（1）請根據(jù)小南的實驗結(jié)果求出的值（精確到），并依照牛頓冷卻模型寫出冷卻時間（單位：分）與冷卻后水溫（單位：）的函數(shù)關(guān)系．（2）小南了解到“永川秀芽”用左右的水沖泡口感最佳．在（1）的條件下，毫升水煮沸后（水溫）在室溫下為獲得最佳口感大約需要冷卻多少分鐘再沖泡？（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】（1），；（2）5分鐘.【解析】【分析】（1）運用代入法，結(jié)合對數(shù)的定義、題中所給的數(shù)據(jù)進行求解即可；（2）運用代入法，結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)進行求解即可.【小問1詳解】由題意可知，，解得：，即；.由題意：，即，解得：；【小問2詳解】當(dāng)時，.大概需要5分鐘冷卻再沖泡.21.設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在，使得，則稱為函數(shù)的“旺點”.（1）求函數(shù)在上的“旺點”；（2）若函數(shù)在上存在“旺點”，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用題中定義，列方程求解即可（2）根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，化簡可得，討論二次項系數(shù)使方程在上有解即可.【詳解】（1）由題意，有，化簡得，∴為所求“旺點”.（2）方程在上有解，化簡得，記，，①當(dāng)，即時，在上無根，故舍去；②當(dāng)，即時，的對稱軸為，，∴對一切恒成立，故舍去；③當(dāng)，即時，的對稱軸為，故只需，即，解得；綜上所述，正實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題是一道函數(shù)的新定義題目，考查了方程的根以及含參數(shù)的一元二次方程的根，考查了學(xué)生對新定義題目的理解能力，屬于中檔題.22.設(shè)函數(shù).（1）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）是否存在正整數(shù)，使得在上恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在滿足條件，理由見解析【解析