專題探究課一高考中導數(shù)問題熱點題型

熱點一利用導數(shù)解決函數(shù)的單調性熱點二利用導數(shù)求解函數(shù)的極（最）值熱點三利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或曲線交點問題熱點四利用導數(shù)解決不等式問題熱點突破熱點一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、

極值與最值熱點突破熱點一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題解(1)因為當a＝1時，f(x)＝x2e－x，f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x，所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e.從而y＝f(x)的圖象在點(－1，f(－1))處的切線方程為y－e＝－3e(x＋1)，即y＝－3ex－2e.(2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax.①當a＝0時，若x＜0，則f′(x)＜0，若x＞0，則f′(x)＞0.所以當a＝0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上為減函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)．熱點突破熱點一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題熱點突破熱點一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題綜上所述，當a＝0時，f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增；熱點突破熱點一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題【訓練1】已知函數(shù)f(x)＝exlnx－aex(a≠0)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x－ey－1＝0垂直，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．f′(1)＝(1－a)e，若f(x)在(0，＋∞)上為單調遞減函數(shù)，則f′(x)≤0，在(0，＋∞)上恒成立．熱點突破熱點一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題【訓練1】已知函數(shù)f(x)＝exlnx－aex(a≠0)．(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．由g′(x)＞0得x＞1，故g(x)在(0，1]上為單調遞減函數(shù)，在[1，＋∞)上為單調遞增函數(shù)，此時g(x)有最小值為g(1)＝1，但g(x)無最大值．故f(x)不可能是單調遞減函數(shù)．若f(x)在(0，＋∞)上為單調遞增函數(shù)，則f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，由上述推理可知此時a≤1.故a的取值范圍是(－∞，1]．熱點突破熱點一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題熱點突破熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值求解極(最)值問題，首先，要理解函數(shù)極值的概念，需要清楚導數(shù)為零的點不一定是極值點，只有在該點兩側導數(shù)的符號相反，即函數(shù)在該點兩側的單調性相反時，該點才是函數(shù)的極值點；其次，要區(qū)分極值與最值，函數(shù)的極值是一個局部概念，而最值是某個區(qū)間的整體性概念．該類問題命題的主要方式有：(1)求解函數(shù)的極(最)值；(2)利用函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的取值范圍．熱點突破熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值[考查角度一]

運用導數(shù)求函數(shù)的極(最)值解(1)由題意知，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為2，所以f′(1)＝2，所以a＝1.熱點突破熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值[考查角度一]

運用導數(shù)求函數(shù)的極(最)值(2)由(1)知f(x)＝(x＋1)lnx，當k＝1時，方程f(x)＝g(x)在(1，2)內存在唯一的根．當x∈(0，1]時，h(x)＜0.熱點突破熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值[考查角度一]

運用導數(shù)求函數(shù)的極(最)值所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.當x∈(2，＋∞)時，h′(x)＞0，所以當x∈(1，＋∞)時，h(x)單調遞增，所以k＝1時，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)內存在唯一的根．(3)由(2)知方程f(x)＝g(x)在(1，2)內存在唯一的根x0.且x∈(0，x0)時，f(x)＜g(x)，x∈(x0，＋∞)時，f(x)＞g(x)，熱點突破熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值[考查角度一]

運用導數(shù)求函數(shù)的極(最)值當x∈(0，x0)時，若x∈(0，1]，m(x)≤0；可知0＜m(x)≤m(x0)；故m(x)≤m(x0)．可得x∈(x0，2)時，m′(x)＞0，m(x)單調遞增；x∈(2，＋∞)時，m′(x)＜0，m(x)單調遞減；熱點突破[考查角度二]

根據函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的范圍(1)證明

f′(x)＝m(emx－1)＋2x，若m≥0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1≤0，f′(x)＜0；當x∈(0，＋∞)時，emx－1≥0，f′(x)＞0.若m＜0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1＞0，f′(x)＜0；當x∈(0，＋∞)時，emx－1＜0，f′(x)＞0.所以，f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增．熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值熱點突破[考查角度二]

根據函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的范圍(2)解由(1)知，對任意的m，f(x)在[－1，0]上單調遞減，在[0，1]上單調遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[－1，1]，熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值熱點突破[考查角度二]

根據函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的范圍設函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.當t＜0時，g′(t)＜0；當t＞0時，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故當t∈[－1，1]時，g(t)≤0.當m∈[－1，1]時，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；當m＞1時，由g(t)的單調性，g(m)＞0，即em－m＞e－1；當m＜－1時，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.綜上，m的取值范圍是[－1，1]．熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值熱點突破

(1)求函數(shù)的極值時，首先確定函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導并求出極值點，討論函數(shù)的單調性以便進一步確定函數(shù)的極值，同時需要注意極值點兩端的導函數(shù)值的符號．(2)研究函數(shù)的最值，要將函數(shù)的極值與函數(shù)在相應區(qū)間端點函數(shù)值進行比較，并重視分類討論思想與化歸思想方法的活用．熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值熱點突破解(1)函數(shù)y＝f(x)的定義域為(0，＋∞)．熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值由k≤0可得ex－kx＞0，所以當x∈(0，2)時，f′(x)＜0，函數(shù)y＝f(x)單調遞減，x∈(2，＋∞)時，f′(x)＞0，函數(shù)y＝f(x)單調遞增．所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，2]，單調遞增區(qū)間為[2，＋∞)．熱點突破(2)由(1)知，k≤0時，函數(shù)f(x)在(0，2)內單調遞減，故f(x)在(0，2)內不存在極值點；當k＞0時，設函數(shù)g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．因為g′(x)＝ex－k＝ex－elnk，當0＜k≤1時，當x∈(0，2)時，g′(x)＝ex－k＞0，y＝g(x)單調遞增．故f(x)在(0，2)內不存在兩個極值點；當k＞1時，得x∈(0，lnk)時，g′(x)＜0，函數(shù)y＝g(x)單調遞減．x∈(lnk，＋∞)時，g′(x)＞0，函數(shù)y＝g(x)單調遞增．所以函數(shù)y＝g(x)的最小值為g(lnk)＝k(1－lnk)．熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值由k≤0可得ex－kx＞0，所以當x∈(0，2)時，f′(x)＜0，函數(shù)y＝f(x)單調遞減，x∈(2，＋∞)時，f′(x)＞0，函數(shù)y＝f(x)單調遞增．所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，2]，單調遞增區(qū)間為[2，＋∞)．熱點突破函數(shù)f(x)在(0，2)內存在兩個極值點當且僅當熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極(最)值綜上所述，函數(shù)f(x)在(0，2)內存在兩個極值點時，熱點突破熱點三利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或曲線交點問題研究函數(shù)零點的本質是研究函數(shù)的極值的正負，求解的關鍵是抓住函數(shù)的單調性，靈活利用等價轉化和數(shù)形結合思想方法，其主要考查方式有兩種：(1)確定函數(shù)的零點或圖象交點的個數(shù)；(2)根據函數(shù)的零點(曲線交點)的情況求參數(shù)的取值范圍．熱點突破熱點三利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或曲線交點問題解

(1)設曲線y＝f(x)與x軸相切于點(x0，0)，則f(x0)＝0，f′(x0)＝0.(2)當x∈(1，＋∞)時，g(x)＝－lnx<0，從而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)無零點．熱點突破h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零點；故x＝1不是h(x)的零點．當x∈(0，1)時，g(x)＝－lnx>0.所以只需考慮f(x)在(0，1)的零點個數(shù)．(ⅰ)若a≤－3或a≥0，則f′(x)＝3x2＋a在(0，1)無零點，故f(x)在(0，1)單調．所以當a≤－3時，f(x)在(0，1)有一個零點；當a≥0時，f(x)在(0，1)沒有零點．熱點三利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或曲線交點問題熱點突破熱點三利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或曲線交點問題熱點突破熱點三利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或曲線交點問題熱點突破利用導數(shù)討論方程的根(函數(shù)零點)主要有兩種方法：一是運用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，借助零點存在性定理判斷；二是將函數(shù)零點問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結合來解決．熱點三

利用導數(shù)研究方程的解或圖象的交點問題熱點突破熱點三

利用導數(shù)研究方程的解或圖象的交點問題由f′(x)＝0，得x＝e.∴當x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上單調遞減，當x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上單調遞增，∴f(x)的極小值為2.熱點突破熱點三

利用導數(shù)研究方程的解或圖象的交點問題則φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，當x∈(0，1)時，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上單調遞增；當x∈(1，＋∞)時，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上單調遞減．∴x＝1是φ(x)的唯一極值點，且是極大值點，因此x＝1也是φ(x)的最大值點．熱點突破熱點三

利用導數(shù)研究方程的解或圖象的交點問題又φ(0)＝0，結合y＝φ(x)的圖象(如圖)，可知熱點突破熱點四利用導數(shù)解決不等式問題導數(shù)在不等式中的應用是高考的熱點，常以解答題的形式考查，以中高檔題為主，突出轉化思想、函數(shù)思想的考查，常見的命題角度：(1)證明簡單的不等式；(2)“存在性”問題的探求；(3)不等式恒成立問題．熱點突破熱點四利用導數(shù)解決不等式問題(1)解f(x)的定義域為(0，＋∞)，因為u(x)＝e2x在(0，＋∞)上單調遞增，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調遞增．(4分)f′(b)＜0(討論a≥1或a＜1來檢驗)，故當a＞0時，f′(x)存在唯一零點．(6分)熱點突破熱點四利用導數(shù)解決不等式問題(2)證明由(1)，可設f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點為x0，當x∈(0，x