有關(guān)矩形折疊的數(shù)學(xué)題目

關(guān)于有關(guān)矩形折疊的數(shù)學(xué)題目有關(guān)矩形折疊的數(shù)學(xué)問題

矩形性質(zhì)獨(dú)特,折疊起來形特各異,趣味無窮,會(huì)產(chǎn)生豐富多彩的幾何問題,而這些問題形式新穎、結(jié)構(gòu)獨(dú)特，往往融入了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想，因此，越來越受到各省中考命題者的青睞。縱觀2008年、2009年中考中所出現(xiàn)的有關(guān)“矩形的折疊問題”，主要涉及以下幾類情況：第2頁,共26頁，2024年2月25日，星期天一、折疊后求角度

例1.（2008年甘肅省白銀市）如圖，把矩形ABCD沿EF對(duì)折后使兩部分重合，若∠1=50°,則∠AEF=()(A)1100

(B)1150(C)1200(D)1300第3頁,共26頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)矩形的性質(zhì)AD∥BC,有∠AEF=∠EFD.再由折疊的特征可知:∠BFE=∠EFG=1/2(1800-∠1)=650,所以∠EFC=∠EFG+∠1=650+500=1150由此得∠AEF=1150故選（B）例1.（2008年甘肅省白銀市）如圖，把矩形ABCD沿EF對(duì)折后使兩部分重合，若∠1=50°,則∠AEF=()(A)1100

(B)1150

(C)1200(D)1300

在矩形折疊問題中，往往利用軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱性和平行線的性質(zhì)作聯(lián)系找等角來計(jì)算相關(guān)的度數(shù)。第4頁,共26頁，2024年2月25日，星期天二、折疊后求長度例2.(2008年威海市)將矩形紙片ABCD按如圖1所示的方式折疊，得到圖2所示的菱形AECF.若AB=3,則BC的長為()(A)1(B)2(C)(D)

解析:根據(jù)折疊的特征可知:AC=2BC,設(shè)BC=X,則AC=2X.在Rt△ABC中由勾股定理得：X2+32=(2x)2解得BC的長為故選（D）

點(diǎn)評(píng)：在矩形折疊中，求折線等長度時(shí)，往往利用軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為相等的線段，再借助勾股定理構(gòu)造方程來求解。第5頁,共26頁，2024年2月25日，星期天三、折疊后求周長例3（2008年蘭州市）如圖1-4，把長為8cm的矩形按虛線剪出一個(gè)直角梯形，打開得到一個(gè)等腰梯形。剪掉部分的面積為6cm2，則打開后梯形的周長是（）（A）（B）（C）22cm（D）18cm第6頁,共26頁，2024年2月25日，星期天解析：從顯示的圖形中我們不難看出，所剪掉的三角形的一條直角邊長為3cm，由題意可知道所剪掉的每個(gè)三角形的面積為3cm2，則它的另一直角邊為2cm，因此得到的等腰梯形其上底AB=8cm。腰故該等腰三角形的周長為本題選擇（A）

點(diǎn)評(píng)：本例題通過剪折紙片作計(jì)算，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)技能的理解和掌握程度，使考生的自主性得以充分發(fā)揮。第7頁,共26頁，2024年2月25日，星期天四、折疊后求面積例4（2008年濰坊市）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的E點(diǎn)，折痕的一端G點(diǎn)在邊BC上，BG=10，當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí)，試求△EFG的面積。第8頁,共26頁，2024年2月25日，星期天解析：過點(diǎn)G作GH⊥AD則四邊形ABGH是矩形.所以GH=AB=8,AH=BG=10.由圖形的折疊可知,△BFG≌△EFG所以,EG=BG=10,∠FEG=∠B=900所以,EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=900因?yàn)椤螦EF+∠AFE=900所以∠HEG=∠AFE又因?yàn)椤螮HG=∠A=900所以△EFA∽△GHE

點(diǎn)評(píng):在矩形的折疊中,由角之間的關(guān)系產(chǎn)生相似圖形,從而通過有關(guān)成比例線段來做計(jì)算,也是在矩形折疊問題中常見的類型之一.同學(xué)們應(yīng)予以關(guān)注.第9頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

五、折疊后求直線解析式例5（2008年棗莊市）如圖，在直角坐標(biāo)系中放入一個(gè)邊長OC為9的矩形紙片ABCO，將紙片折后，點(diǎn)B恰好落在x軸上，記為B/，折痕為CE，已知tan∠OB/C=3/4.(1)求點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（2）求折痕CE所在直線的解析式。解析（1）在Rt△B/OC中，第10頁,共26頁，2024年2月25日，星期天9=b,4=15k+bb=9,K=-1/3點(diǎn)評(píng)：本題設(shè)計(jì)精致，追求創(chuàng)新意，將幾何與函數(shù)在矩形的折疊中完美結(jié)合，最大特色是知識(shí)入口較寬，涉及折疊的對(duì)稱性、三角函數(shù)、勾股定理及一次函數(shù)解析式的確定等，這樣的命題，切認(rèn)識(shí)水平，體現(xiàn)知識(shí)體系的整體性。第11頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

六、折疊后判斷圖形形狀

例6（2008年湖北省十堰市）如圖，把一張矩形的紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在店E處，BE與AD的交于點(diǎn)F。（1）求證△ABF≌△EDF；

（2）若將折疊的圖形恢復(fù)原狀，點(diǎn)F與邊BC邊上的點(diǎn)M正好重合，連接DM，試判斷四邊形BMDF的形狀，并說明理由。第12頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

點(diǎn)評(píng)：本題以矩形的折疊為背景，讓同學(xué)們?cè)诓僮骱蛯?shí)踐中觀察、探究并解決問題.有利于激發(fā)同學(xué)們潛在的智慧,讓同學(xué)們體驗(yàn)創(chuàng)新的快樂,并獲得學(xué)習(xí)的成功感.第13頁,共26頁，2024年2月25日，星期天七、折疊后探究其數(shù)量關(guān)系例7（2008年江西省）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的B/處，點(diǎn)A落在A/處。（1）求證：B/E=BF；（2）設(shè)AE=a,AB=b,BF=c,試猜想a、b、c之間的一種關(guān)系，并給予證明。第14頁,共26頁，2024年2月25日，星期天點(diǎn)評(píng)：矩形的折疊，主要是通過折疊圖形構(gòu)造的圖形的軸對(duì)稱性質(zhì)來解決問題。由于折疊前后折疊部分圖形的形狀、大小不變，因此，利用軸對(duì)稱性，可以轉(zhuǎn)化挪威相等三線段、相等的角。第15頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

2009年有關(guān)折疊的中考題選1（北京市）正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點(diǎn)，將紙片的一角沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在MN上，落點(diǎn)記為A/，折痕交AD于點(diǎn)E。若M、N分別是AD、BC

中點(diǎn)，則A/N=____;若M、N分別是AD、BC邊上距DC最近的n（n﹥2,且n為整數(shù))等分點(diǎn)，則

A/N=____.(用含n的式子表示）第16頁,共26頁，2024年2月25日，星期天2（吉林?。⒁粡埦匦渭埰郫B成如圖所示三形狀，則∠ABC=___度3（吉林?。挒?cm長方形紙條折疊成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長是（）B第17頁,共26頁，2024年2月25日，星期天4（河北?。┤鐖D，等邊三角形△ABC的邊長為1cm,D、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在A/處，且點(diǎn)A/在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為_____cm.35(河南?。﹦?dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5。如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ。當(dāng)點(diǎn)A′在BC上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)。若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A′在BC邊上刻移動(dòng)的最大距離為_____.2第18頁,共26頁，2024年2月25日，星期天6（山東?。┤鐖D所示，把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置.若∠EFB=65°,則∠AED′=____(A)70°(B)65°(C)50°(D)25°(C)7(山東?。⑷切渭埰ā鰽BC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B′。折痕為EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以點(diǎn)B′、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是____第19頁,共26頁，2024年2月25日，星期天8（江蘇?。?）觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABCD（AB﹥AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片（如圖1）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片得到△AEF(如圖2),小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形,你同意嗎?請(qǐng)說明理由.(2)實(shí)踐與運(yùn)用:將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處,折痕為EF(如圖3);再沿著過點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D處,折痕為EG(如圖4);再展平紙片(如圖5),求圖5中∠α的大小。第20頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

解析：（1）同一。如圖，設(shè)AD與EF交于點(diǎn)G。由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。又由折疊知，∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，即△AEF為等腰三角形。（2）由折疊知，四邊形ABFE是正方形，∠AEB=45°，所以，∠BED=135°,又由折疊知,∠BEG=∠DEG,所以∠DEG=67.5°.

從而有∠α=90°－67.5°=22.5°.第21頁,共26頁，2024年2月25日，星期天9（海南?。┤鐖D，將矩形ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在C/、D/處，若∠AFE=45°，則∠C/EF=____度.6510（海南?。┤鐖D1（上右圖），在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點(diǎn)，連接CE并延長交AD于F。（1）求證：①△AEF≌△BEC；②四邊形BCFD是平行四邊形；（2）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，求sin∠ACH的值。第22頁,共26頁，2024年2月25日，星期天解析（1）略。第23頁,共26頁，2024年2月25日，星期天11（哈爾濱市）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，將梯形沿對(duì)角線BD折疊