2019-2023全國各高考數(shù)學(xué)真題按分項匯編 立體幾何（選填題）含詳解

五年（2019-2023）年高考真題分項匯編

冷題05克體幾何（理科）（送蟆史J

哥存?存勇力南

立體幾何在文科數(shù)高考中屬于重點知識點，難度中等。包含題型主要是

1空間幾何體基本性質(zhì)及表面積體積

2空間幾何題三視圖

3空間幾何體內(nèi)切球外接球的應(yīng)用

4空間幾何體情景化應(yīng)用

備考真魅精折

考點01空間幾何體基本性質(zhì)及表面積體積

一、單選題

1.（2023?全國?統(tǒng)考乙卷）已知圓錐P。的底面半徑為萬，。為底面圓心，PA,尸8為圓錐的母線，408=120。，若

9后

—的面積等于丁，則該圓錐的體積為（）

A."B.瓜兀C.3nD.3瓜n:

2.（2023?全國?統(tǒng)考甲卷）已知四棱錐P—ABCD的底面是邊長為4的正方形，PC=PO=3,NPC4=45。，貝hPBC

的面積為（）

A.2A/2B.372C.4A/2D.6直

3.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點M滿足尸M=：尸C,線段網(wǎng)上的點N滿足

2

PN=-PB,則三棱錐尸-AAW和三棱錐尸-ABC的體積之比為（）

1214

A.—B.-C.-D.一

9939

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考乙卷）在正方體A3CO-AMGA中，E,尸分別為A3,5C的中點，則（）

A.平面耳后/_L平面BQ。IB.平面4EF_L平面48。

C.平面用后///平面4人。D.平面與石尸//平面ACQ

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考甲卷）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和

s乙,體積分別為％和彩.若乎=2,則察=（）

3乙V乙

A.右B.20C.回D.

4

6.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是，ABC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)

集合T={QeS|PQV5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

3萬0c

A.—B.〃C.27cD.3%

4

7.（2021?全國?統(tǒng)考高考回卷）已知圓錐的底面半徑為近，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.20C.4D.4應(yīng)

8.（2019?全國?統(tǒng)考高考回卷）如圖，點N為正方形ABC。的中心，AECD為正三角形，平面ECD,平面ABCQM

是線段即的中點，則

A.BM=EN,且直線是相交直線

B.BM#EN,且直線8M,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線8河,硒是異面直線

D.BM片EN,且直線加/硒是異面直線

二、填空題

9.（2023?全國新高考仞卷）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3

的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

10.（2020?全國?新高考國卷）已知正方體A8C0-4BQQ的棱長為2,M、N分別為B&、AB的中點，則三棱錐4MMs

的體積為__________

11.（2020?全國?統(tǒng)考高考回卷）設(shè)有下列四個命題：

pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線仁平面a,直線平面a,則m0/.

則下述命題中所有真命題的序號是.

①Pl人。4②Pl人③M2V④^3V

考點02空間幾何體三視圖

一、單選題

L（2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表

面積為（）

A.24B.26C.28D.30

2.（2022?全國?統(tǒng)考高考甲卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面

體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

3.（2021?全國,統(tǒng)考局考甲卷）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐

A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

4.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（)

A.-+—B.3+V3C.-+73

222

5.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是（）

側(cè)視圖

俯視圖

3372

A.一B.3rD.3亞

22

6.（2020?全國?統(tǒng)考高考回卷）如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應(yīng)的點為”,

在俯視圖中對應(yīng)的點為N,則該端點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點為（）

MEF

GH

N

A.EB.FC.GD.H

7.（2020?全國?統(tǒng)考高考回卷）下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4&B.4+4&C.6+273D.4+28

8.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）某三棱柱的底面為正三角形,其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）.

側(cè)（左）視圖

A.6+73B.6+2有C.12+6D.12+273

二、填空題

9.（2021?全國?統(tǒng)考高考乙卷）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三

棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

hJ-2—ZHK—2—HIAh—2—I?!

圖①圖②圖③

H2-HH2-H

圖④圖⑤

ACi

:寧一

以二二W

4B

10.（2019?北京?高考真題）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得,其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正

方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為________.

BL

正（主）視圖倒（左）視圖

B

俯視圖

考點03空間幾何體內(nèi)接球外切球問題

1.（2022,全國?統(tǒng)考高考乙卷）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均在球。的球面上，則

當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A1R1r.V2

3232

2.（2022?全國?統(tǒng)考新高考回卷）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

34/43白，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

'811「27811「2764】

A.18,—B.——C.——D.r[i1o8,27]

L4JL44J143」

3.（2022?全國?統(tǒng)考新高考回卷）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為和4道，其頂點都在同一球面

上，則該球的表面積為（）

A.10071B.128KC.144TID.192兀

4.（2021?全國?統(tǒng)考高考甲卷）已知A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個點，且ACJL3C,AC=3C=1,則

三棱錐O-ABC的體積為（）

&應(yīng)口6V20石

r\.D.Lr.U.

121244

5.（2020?全國，統(tǒng)考高考國卷）已知AI,C為球。的球面上的三個點，回。1為..ABC的外接圓，若回。1的面積為4兀，

AB=BC=AC=OOl,則球。的表面積為（）

A.64TIB.48nC.367rD.327r

6.（2019?全國?高考回卷）已知三棱錐P-A8C的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,EABC是邊長為2的正三角

形，E,F分別是B4,的中點，0CEF=9O°,則球。的體積為

A.8娓兀B.4娓兀C.2娓兀D.屈兀

二、填空題

7.（2023?全國?統(tǒng)考高考甲卷）在正方體A8CD-A4C0中，E,尸分別為AB,的中點，以所為直徑的球的

球面與該正方體的棱共有個公共點.

8.（2019?全國?高考回卷）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或

圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是"半正多面體"（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊

形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個

正方體的表面上，且此正方體的棱長為L則該半正多面體共有個面，其棱長為.

圖1圖2

考點04空間幾何題的情景化應(yīng)用

1.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建

筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰

三角形.若且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABC。的夾角的正

切值均為巫，則該五面體的所有棱長之和為（）

5

B.112m

C.117mD.125m

2.（2022?全國?統(tǒng)考新高考回卷）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，4<B3'，CC',OD是桁，相鄰桁的水平距離稱

為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中°2，CG，即，的是舉，°n，r>G，s，54^

也一叫一k必T

相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為皿DC】CB｛一網(wǎng)已知勺人人成公差為o.i的等差數(shù)列,

且直線辦的斜率為0.725,則&=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

3.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）如圖，〃十字歇山〃是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三

棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

4.（2021?全國?統(tǒng)考新高考回卷）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：

m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A,B,C三點，且A,

B,C在同一水平面上的投影A'，"，。'滿足NA'C'3'=45。，ZA'B'C'=6Q\由C點測得B點的仰角為15。，BB'與CC

的差為100；由8點測得A點的仰角為45。，則A,c兩點到水平面ABC的高度差約為（6"732）（）

C.446D.473

5.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球

靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地

球看作是一個球心為。，半徑r為6400km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能

直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為a,記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為

S=2/（1-cosa）（單位：km?），則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

6.（2020?全國?統(tǒng)考高考回卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱

錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長

的比值為（）

1D-\/5—1ry/5+1「A/5+1

4242

7.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）日號是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直的唇針投射到唇面的影子來

測定時間.把地球看成一個球（球心記為O）,地球上一點八的緯度是指。人與地球赤道所在平面所成角，點Z處的

水平面是指過點A且與。人垂直的平面.在點八處放置一個日號，若辱面與赤道所在平面平行，點八處的緯度為北緯

40°,則號針與點力處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

8.（2019?全國?統(tǒng)考高考回卷）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體

ABCD-^QD,挖去四棱錐0一EFGH后所得的幾何體,其中。為長方體的中心，EEG,”分別為所在棱的中點，

AB=BC=6cm,AA1=4cm；30打印所用原料密度為0§g/”？，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為

g.

B

五年（2019-2023）年高考真題分項匯編

冷題05克體幾何（理科）（送蟆史J

哥存?存勇力南

立體幾何在文科數(shù)高考中屬于重點知識點，難度中等。包含題型主要是

1空間幾何體基本性質(zhì)及表面積體積

2空間幾何題三視圖

3空間幾何體內(nèi)切球外接球的應(yīng)用

4空間幾何體情景化應(yīng)用

熹有真魅精折

考點01空間幾何體基本性質(zhì)及表面積體積

一、單選題

1.（2023?全國?統(tǒng)考乙卷）已知圓錐P。的底面半徑為萬，。為底面圓心，PA,尸8為圓錐的母線，408=120。，若

9后

—的面積等于丁，則該圓錐的體積為（）

A."B.瓜兀C.3nD.3瓜n:

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.

【詳解】在中，ZAOB=120°,而。4=。8=石，取A3中點C,連接OC,PC,有OC_LAB,PC_LAB,如圖，

ZABO=30,OC=—,AB=2BC=3,由二的面積為噸，^l-x3xPC=—,

2424

解得PC=哼,于是PO=s/pc2-oc2=，孚）2_（亭）2=76,

所以圓錐的體積V=nxOA2xPO=J71x（^/3）2xA/6=娓n.

故選：B

2.（2023?全國?統(tǒng)考甲卷）已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形，PC=PD=3,NPC4=45。，貝I].PBC

的面積為（）

A.2A/2B.3亞C.4夜D.6叵

【答案】C

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得一叨OwPCO,PDB=PCA,從而得到再在aR4c

中利用余弦定理求得PA=/7,從而求得尸8=亞，由此在PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；

法二：先在△P4C中利用余弦定理求得PA=J萬，cosNPCB=；,從而求得P4PC=-3，再利用空間向量的數(shù)量

積運算與余弦定理得到關(guān)于P3,NBP。的方程組，從而求得尸8=N/丙，由此在，PBC中利用余弦定理與三角形面積公

式即可得解.

【詳解】法一：

連結(jié)AC,3D交于。，連結(jié)PO,則。為AC,3。的中點，如圖，

因為底面ABCD為正方形，AB=4,所以AC=3D=4A5，則。0=。0=20，

又PC=PD=3,PO=OP,所以一PDOMPCO,則NPDO=NPCO,

又PC=PD=3,AC=BD=4四,所以-尸三.PC4,則以=尸3,

在△_E4C中，PC=3,AC=4A/2,ZPCA=45°,

則由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4應(yīng)x3x—=17,

2

故尸A=7F7,貝UPB=>/F7,

故在PBC中，PC=3,PB=A/17,BC=4,

尸C?+BC?-PB?9+16-17_1

所以cosNPCB=

2PCBC2x3x4-3

又OCNPCBVTI,所以sinNPCB=Jl-cos?NPCB=,

3

所以PBC的面積為S=[尸C-BCsinN尸CB=!x3x4x^l=4收.

223

法二：

連結(jié)AC,BD交于。，連結(jié)P。，則。為AC,3。的中點，如圖，

因為底面ABC。為正方形，48=4,所以AC=8O=4應(yīng),

在△叢C中，PC=3,NPC4=45°,

貝lj由余弦定理可得PA?=AC?+PC2-2AC-PCcos/PCA=32+9—2x4忘x3x走=17,故PA=VF7,

2

所以儂"=^^=次=-"則叢公網(wǎng)即。5C=gxF用T

不妨記PB=m,ZBPD=6,

因為P0=g(PA+PC)=g(P5+Pr)),所以(PA+PC『=(P3+尸。)2,

目n22.2.2

BPPA+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD，

則17+9+2x(—3)=m2+9+2x3x〃2cos夕,整理得m2+6〃?cos?！?1=0①，

又在AP3D中，BD1=PB2+PD2-2PB-PDcosZBPD,即32=//+9-6mcos。，貝U〃，-6mcos<9—23=0②,

兩式相力口得2M2-34=0,故PB=m=后,

故在一PBC中，尸C=3,尸3=JF7,BC=4,

PC2+BC2-PB29+16-171

所以cosNPCB=

2PCBC2x3x4-3

又0<NPCB<7t,所以sinNPCB=Jl一cos?NPCB=,

3

所以，3(2的面積為5=工尸。改為也2?。3=!*3*4*空1=40.

223

故選：C.

3.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）在三棱錐尸-ABC中，線段PC上的點V滿足尸M=gpC,線段網(wǎng)上的點N滿足

2

PN=-PBf則三棱錐P-4W?V和三棱錐尸-ABC的體積之比為（）

1214

A.—B.-C.—D.一

9939

【答案】B

【分析】分別過M,C作MM'1.PA,CC'1.上4,垂足分別為M,U撾B作BB1.平面PAC,垂足為B,連接尸&，過N

MM'1

作MV'_LP2',垂足為N'.先證MV'J■平面PAC,則可得到BB‘HNN：再證MM'//CC'.由三角形相似得到二^~=彳，

NN'2,^P-AMN^N-PAM—T-P-HlZ-J^XnIIz

——=-，再由方------------即nn可求出體積比.

BE'3ABCVB-PAC

【詳解】如圖，分別過M，C作MM'±PA,CC'1.上4,垂足分別為M',C'.過B作BB_L平面PAC,垂足為B，連接PB,,

過N作NN'1,垂足為N,.

因為SB'_L平面PAC，班'u平面pg）,所以平面pg4_L平面PAC.

又因為平面PB4］平面尸aC=P8'，NN'±PB'-NN'u平面PBB'，所以MV'1■平面PAC,且BB'MNN’?

PMMM’1

在△PCC'中，因為_LR1,CC'_LPA，所以MM'〃CC'，所以"方=—r=g，

PCCC3

在△尸33'中，因為BB'//NN'，所以空=合竺=2,

PBBB'3

々PAM

yyS.NN-|-PA-MM'、NN'2

J

二匚[、|YP-AMN*N—PAMJ、、2,

加以1/-v11

Vp-ABCVB-PAC-SBBfj.9

pAC)cc]BB'

故選：B

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考乙卷）在正方體ABCO-A4GA中，E,尸分別為AB,BC的中點，則（）

A.平面4所_1_平面B.平面4EF_L平面ABD

C.平面片所//平面AACD.平面耳￡///平面AG。

【答案】A

【分析】證明EF1平面8。。，即可判斷A；如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,分別求出平

面用功，A.BD,的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體ABC。-中，

AC1應(yīng)＞且DD、1平面ABCD,

又EFu平面A3C。，所以EFLOR,

因為瓦尸分別為AB,8c的中點，

所以防〃4。，所以￡F_La）,

又BDDDt=D,

所以EF上平面B。，，

又EFu平面片EF,

所以平面用E尸，平面故A正確；

選項BCD解法一：

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,

則4（2,2,2）,E（2,1,0）,下（1,2,0）,3（2,2,0）,4（2,0,2）4（2,0,0）,C（0,2,0）,

G（0,2,2）,

則族=（-LL0）,E4=（0,1,2）,DB=（2,2,6）,DA,=（2,0,2）,

M=（0,0,2）,AC=（—2,2,0）,AG=（-2,2,0）,

設(shè)平面瓦所的法向量為機=（網(wǎng),X,4）,

m-EF=一再+y=0

則有,可取機=（2,2,-1）,

m-EBt=%+2Z[=0

同理可得平面A?。的法向量為4,

平面AAC的法向量為%=（1,1,0）,

平面4。。的法向量為41），

則m，%=2—2+1=1片0,

所以平面瓦EP與平面48。不垂直，故B錯誤;

UU

因為"2與的不平行，

所以平面與與平面AAC不平行，故C錯誤;

因為機與生不平行，

所以平面用￡廠與平面ACQ不平行，故D錯誤,

故選：A.

選項BCD解法二：

解：對于選項B,如圖所示，設(shè)ABB[E=M,EFBD=N,則MN為平面用石尸與平面ABC的交線,

在,8MN內(nèi)，作于點尸，在，EMN內(nèi)，作GP_LMN,交EN于點、G,連結(jié)2G,

則NBPG或其補角為平面B\EF與平面ABD所成二面角的平面角，

D.

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG2+PN2=GN2,

底面正方形ABC。中，E,F為中點，則

由勾股定理可得A??+NG2=BG2,

從而有：NB2+NG2=(PB?+PN2)+(PG?+尸產(chǎn))=BG2,

據(jù)此可得PB2+PG2卡BG2,即ZBPG豐90,

據(jù)此可得平面與M_L平面48。不成立，選項B錯誤；

對于選項C,取4用的中點"，則A"B.E,

由于AH與平面A&C相交，故平面片所〃平面AAC不成立，選項C錯誤;

對于選項D,取AD的中點很明顯四邊形4旦-W為平行四邊形，則AMB7,

由于4加與平面4G。相交，故平面旦E/〃平面4GC不成立，選項D錯誤；

5.(2022?全國?統(tǒng)考高考甲卷)甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為s甲和

S乙，體積分別為！和彩.若生=2,則￥=()

?乙》乙

D.平

A.非B.272C.回

【答案】C

【分析】設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為乙圓錐底面圓半徑為4,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得4=2々，再結(jié)

合圓心角之和可將小々分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為。乙圓錐底面圓半徑為4,

所以3=24，

「Inr,2?r>

又一+—=2%，

則々=1,

21

所以4=§/，4=§/，

所以甲圓錐的高九=

乙圓錐的高色=

』町％—I2x-^-Z

所v以*產(chǎn)=*?￥=阿

393

故選：C.

6.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）已知正三棱錐尸-ABC的六條棱長均為6,S是..ABC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)

集合T={QeS|PQW5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

34cC

A.—B.乃C.27rD.3萬

4

【答案】B

【分析】求出以尸為球心，5為半徑的球與底面ABC的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.

設(shè)頂點尸在底面上的投影為0,連接80,則。為三角形A3c的中心,

l.BO=-x6x—=2A/3,故尸0=J36-12=2后

32

因為PQ=5,故OQ=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

而三角形ABC內(nèi)切圓的圓心為。，半徑為2義彳'36二

~3^6—-

故S的軌跡圓在三角形ABC內(nèi)部，故其面積為萬

故選：B

7.（2021?全國?統(tǒng)考高考回卷）已知圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.20C.4D.40

【答案】B

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則萬/=2萬x四，解得/=20.

故選：B.

8.（2019?全國?統(tǒng)考高考回卷）如圖，點N為正方形ABC。的中心，AECD為正三角形，平面ECD,平面ABC2M

是線段即的中點，則

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM豐EN,且直線現(xiàn)公硒是相交直線

C.BM=EN,且直線是異面直線

D.BM豐EN,且直線是異面直線

【答案】B

【解析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進而解決問題.

【詳解】如圖所示，作EOLCD于。，連接ON,過加作MFLOD于尸.

連昉，平面CDE_L平面ABCD.

EO，C￡>,EOu平面C。E,.?.EO，平面ABC。，平面ABCO,

.?.AMFB與AEON均為直角三角形.設(shè)正方形邊長為2,易知￡。=石，ON=1EN=2,

MF=-,BF=-,:.BM=>/7.:.BM手EN,故選B.

22

DA

【點睛】本題考查空間想象能力和計算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.

二、填空題

9.（2023?全國新高考?回卷）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3

的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

【答案】28

【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體的體積公

式直接運算求解.

【詳解】方法一：由于:=：，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+VIM）=28.

故答案為：28.

10.（2020?全國?新高考團卷）已知正方體ABCO-AzBiQQ的棱長為2,M、N分別為BB】、AB的中點，則三棱錐4MM

的體積為__________

【答案】|

【分析】利用匕m皿=幺一的計算即可.

因為正方體ABCD-4BiQQ的棱長為2,M、N分別為BBz、AB的中點

所以LNMA=%-刖=]*5乂卜1*2=§

故答案為：—

【點睛】在求解三棱錐的體積時，要注意觀察圖形的特點，看把哪個當(dāng)成頂點好計算一些.

11.（2020?全國?統(tǒng)考高考回卷）設(shè)有下列四個命題：

Pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/<=平面a,直線m回平面a,則mE）/.

則下述命題中所有真命題的序號是.

①P1八P4②P1人③V④R3V「P&

【答案】①③④

【分析】利用兩交線直線確定一個平面可判斷命題P1的真假；利用三點共線可判斷命題P2的真假；利用異面直線

可判斷命題P3的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題P4的真假.再利用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)論.

【詳解】對于命題億，可設(shè)4與4相交，這兩條直線確定的平面為。；

若4與4相交，則交點A在平面a內(nèi)，

同理，4與4的交點B也在平面a內(nèi)，

所以，ABca,即4ua,命題Pi為真命題；

對于命題P2,若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個,

命題P2為假命題；

對于命題P3,空間中兩條直線相交、平行或異面，

命題P3為假命題；

對于命題P4，若直線機_L平面

則m垂直于平面a內(nèi)所有直線,

直線/u平面a,，直線根_L直線/,

命題。4為真命題.

綜上可知，P1,p?為真命題，P?〃、為假命題，

。1人。4為真命題，“人。2為假命題，

r22Vp3為真命題，-必V-0為真命題.

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等

題.

考點02空間幾何體三視圖

一、單選題

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表

面積為（）

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長方體ABC。-中，AB=BC=2,AAt=3,

點J,K為所在棱上靠近點綜G，A的三等分點，為所在棱的中點，

則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體ABCD-4耳4R去掉長方體ON/G-LME期之后所得的幾何體，

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，

其表面積為：2x（2x2）+4x（2x3）-2x（lxl）^30.

故選：D.

2.（2022?全國?統(tǒng)考高考甲卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面

體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積V=kx2x2=12

故選：B.

3.（2021?全國?統(tǒng)考高考甲卷）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐

A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進行判斷.

【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，

4.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

H-1—H

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.-+—B.3+6c.-+y/3D.3+—

2222

【答案】A

【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計算該幾何體的表面積.

【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐O-ABC,

其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，

由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1,

故其表面積為3xgxlxl+=3+'，

5.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

側(cè)視圖

俯視圖

r30

B.3D.3亞

2

【答案】A

【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.

【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱ABCD-Aq?？?，其高為1,底面為等腰梯形ABCD,

該等腰梯形的上底為0,下底為2夜，腰長為L故梯形的高為

故匕BCDAflCn=-x[^+2^)x—xl=-,

/1DC/7—/l|￡^C]￡y|2、122

6.（2020?全國?統(tǒng)考高考回卷）如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應(yīng)的點為河,

在俯視圖中對應(yīng)的點為N,則該端點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點為（）

MEF

GH

N

A.EB.FC.GD.H

【答案】A

【分析】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，即可求得加點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點.

【詳解】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，

B&B3

22上的點在正視圖中都對應(yīng)點M,直線23c4上的點在俯視圖中對應(yīng)的點為N,

團在正視圖中對應(yīng)在俯視圖中對應(yīng)N的點是線段上的所有點在側(cè)試圖中都對應(yīng)E,回點在側(cè)視圖中對

應(yīng)的點為E.

故選：A

7.（2020?全國?統(tǒng)考高考回卷）下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+45/2B.4+4^/2C.6+26D.4+26

【答案】C

【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個面的面積，即可求得其表面積.

【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形

根據(jù)乂體圖形可得：S/XABC=^AADC==-x2x2=2

根據(jù)勾股定理可得：AB=AD=DB=2>/2

ADB是邊長為2痣的等邊三角形

根據(jù)三角形面積公式可得：

SAADB=^ABAD-sin60°=1（2近了?與=26

,該幾何體的表面積是：3X2+2A/3=6+2A/3.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了

分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）.

側(cè)（左）視圖

A.6+gB.6+2退C.12+6D.12+2月

【答案】D

【分析】首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.

【詳解】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形，側(cè)面為三個邊長為2的正方形，

則其表面積為：S=3x（2x2）+2xQx2x2xsin60j=12+2后

故選：D.

【點睛】（1）以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾

何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

⑵多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

⑶圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓

的面積之和.

二、填空題

9.（2021?全國?統(tǒng)考高考乙卷）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三

棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖①圖②圖③

圖④

【答案】③④（答案不唯一）

【分析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.

【詳解】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長方體ABCD-AqGA中，AB=BC=2,BBt=l,

E,尸分別為棱4c1,8。的中點，

則正視圖①，側(cè)視圖③，