上海市黃浦區(qū)民辦明珠中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月階段練習(xí)數(shù)學(xué)試卷

上海市黃浦區(qū)民辦明珠中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期

10月階段練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（含答案與詳解）

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.（4分）在△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則tanA的值為（）

A.1D.3

5"I仁44

2.（4分）已知且受，下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

b5

Aa+b=8Ba~~b=-2Ca+1=aD.上=S

b5b5b+lba3

3.（4分）拋物線y=3（X+1）2+1的頂點(diǎn)所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（4分）已知拋物線y=/經(jīng)過A（-2,yi）、B（1,”）兩點(diǎn)，在下列關(guān)系式中，正確

的是（）

A.yi>0>y2B.y2>0>y]C.yi>y2>0D.”>yi>0

5.（4分）如圖，點(diǎn)。、E分別在△ABC的兩邊BA、CA的延長線上，下列條件能判定E。

ABBCACAB

C.AD-AB=DE-BCD.AD'AC=AB'AE

6.（4分）如圖，在△ABC中，AO平分N8AC交BC于點(diǎn)￡>,點(diǎn)石在A。上，如果NA3E

=/C,AE=2ED,那么aABE與△AOC的周長比為（）

BDC

A.1：2B.2：3C.1：4D.4：9

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）已知線段a=2,b=4,如果線段人是線段〃和c的比例中項(xiàng)，那么線段c的長度

是.

8.（4分）在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為12厘米，則甲、乙兩

地的實(shí)際距離是千米.

9.（4分）如果拋物線y=o?+2經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,那么a的值為.

10.（4分）如果拋物線尸（》-加2+〃?+1的對(duì)稱軸是直線x=l,那么它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

11.（4分）已知線段48=2°利，點(diǎn)C在線段AB上，且AC2=BUA8,則AC的長cm.

12.（4分）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)4、B、C都在這些小正方形的

頂點(diǎn)上，則tan/ABC的值為.

B

13.（4分）已知兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4,則它們的面積比為.

14.（4分）如圖，AB//CD//EF,點(diǎn)C、。分別在BE、AF上，如果8c=6,CE=9,AF

=10,那么QF的長為.

15.（4分）如圖，在梯形AEFB中，AB//EF,A8=6,EF=10,點(diǎn)C、。分別在邊AE、BF

16.（4分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)G為ABC的重心，過點(diǎn)G作分別交邊AB、BC

于點(diǎn)。、E,過點(diǎn)。作QF〃BC交AC于點(diǎn)凡如果。尸=4,那么的長為

A

17.（4分）如圖，在RtZVLBC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,點(diǎn)。為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),

正方形DEFG的頂點(diǎn)E、尸都在邊BC上，聯(lián)結(jié)BG,tan/￡>GB=.

18.（4分）如圖，已知△ABC,ZA=60°,NB=75°,將△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得

到△4'BC,線段A'C'與線段BC交于M點(diǎn)，如果A'BLAC,那么_騏_的值

C'M

為.

三、解答題（本大題共7題，滿分80分）

19.（10分）計(jì)算：-----cos30'-------cot450.

tan600-sin600

20.（10分）已知二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)是4（1,4）,且經(jīng)過點(diǎn)8（0,3）,與x軸交于C、

。兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）求△BCD的面積.

21.（10分）如圖，在△A8C中，AB=AC=5,BC=8,。是邊AB上一點(diǎn)，且tan/BCO=

2

~2

（1）試求sinB的值；

（2）試求△BC。的面積.

A

22.(12分)地鐵10號(hào)線某站點(diǎn)出口橫截面平面圖如圖所示，電梯AB的兩端分別距頂部

9.9米和2.4米，在距電梯起點(diǎn)A端6米的P處，用1.5米的測(cè)角儀測(cè)得電梯終端B處的

仰角為14°,求電梯48的坡度與長度.

參考數(shù)據(jù):sin140-0.24,tanl40*0.25,cosl4°=0.97.

23.(12分)如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=BC,E是CQ的中點(diǎn)，BE交AC于F,

過點(diǎn)尸作FG〃AB,交AE于點(diǎn)G.

(1)求證：AG—BF；

(2)當(dāng)AO2=C4?C尸時(shí)，求證：AB'AD=AG'AC.

24.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO了中，拋物線y=-(x-〃?)與x軸相交于原

點(diǎn)。和點(diǎn)8(4,0),點(diǎn)A(3,b)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達(dá)式，并寫出它的對(duì)稱軸；

(2)求tan/ABO的值;

(3)點(diǎn)。在拋物線上，如果/80。+/8=90°,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

25.（14分）已知，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)尸是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

CP,以C4為一邊，在AABC外作/CAC=NBCP,AO交BC的延長線于點(diǎn)。.

（1）當(dāng)CP平分/ACB時(shí)，求△ACZ）的面積；

（2）當(dāng)AOJLA8時(shí)，求/BCP的正弦值；

（3）設(shè)AD=y,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍.

上海市黃浦區(qū)民辦明珠中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期

10月階段練習(xí)數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.（4分）在△ABC中，ZC=90°,AC=3,8c=4,則tanA的值為（）

A.AB.3C.AD.3

5534

【分析】銳角4的對(duì)邊a與鄰邊6的比叫做NA的正切，記作tan/1,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：在RtZXABC中，

VZC=90°,AC=3,2C=4,

AC3

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，解題時(shí)注意：在RtaACB中，Z

C=90°,則tanA=包.

b

2.（4分）己知曳=3,下列說法中，錯(cuò)誤的是（

b5

Aa+b=8Ba~b=-2Ca+1——aD

.二??Tb+1bM

［分析］根據(jù)比例的性質(zhì)解決此題.

5a

a+b8

【解答】解：A.由曳/，得3b=5a,即b&,推斷出,那么A正

b53b5a5

V

確，故A不符合題意.

—b-b

B.由包=3,得3b=5a,即4=3》推斷出3土Q——=工，那么B正確，故8不

b55bb5

符合題意.

C.由旦萼，得奶=5”，即4=3》推斷出生1/——金立，那么C錯(cuò)誤，故C

b55b+1b+15b+5

符合題意.

D.由包盤，得？至，那么。正確，故力不符合題意.

b5a3

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)解決此題.

3.（4分）拋物線y=3（x+1）‘+1的頂點(diǎn)所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)拋物線y=3（x+1）2+1,可以寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以得到頂

點(diǎn)在第幾象限.

【解答】解：.拋物線y=3（x+1）2+1,

,該拋物線的頂點(diǎn)是（-1,1）,在第二象限，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)

解答.

4.（4分）已知拋物線y=/經(jīng)過A（-2,yi）、B（1,"）兩點(diǎn)，在下列關(guān)系式中，正確

的是（）

A.yi>0>y2B.y2>0>y\C.yi>y2>0D.y2>y\>0

【分析】依據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知：（2,yi）在拋物線上，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解

答即可.

【解答】解：???拋物線曠=了,

拋物線開口向上，對(duì)稱軸為y軸，

（-2,yi）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,yi）.

XVO<1<2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性是解

題的關(guān)鍵.

5.（4分）如圖，點(diǎn)。、E分別在△ABC的兩邊區(qū)4、C4的延長線上，下列條件能判定

〃BC的是（）

RADAE

ABBCACAB

C.AD'AB=DE-BCD.AD'AC=AB'AE

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理判斷即可.

【解答】解：,.?/EAOu/CAB,

?,?口半—AE=—AD,

ACAB

即AD-AC=AB'AE,

J.ED//BC,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理，掌握相關(guān)的判定

定理是解題的關(guān)鍵.

6.（4分）如圖，在△ABC中，平分/BAC交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AO上，如果NA8E

=/C,AE=2ED,那么aABE與△AQC的周長比為（）

A.1：2B.2：3C.1：4D.4：9

【分析】根據(jù)已知條件先求得S?MBE：S^BED—2：1,再根據(jù)三角形相似求得SAACD=?S

4

△ABE即可求得.

【解答】解：E￡）=3：1,

：.AE：AD=2：3,

:NABE=NC,ZBAE=ZCAD,

...△4BEs△ACO,

??L^ABE：L&ACD=2：3,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，不同底等高的三角形面積的求法等，等

量代換是本題的關(guān)鍵.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）已知線段。=2,6=4,如果線段b是線段“和c的比例中項(xiàng)，那么線段c的長度

是8?

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，若6是mc的比例中項(xiàng)，即呈=農(nóng),.即可求解.

【解答】解：若b是4、C的比例中項(xiàng)，

即b2=ac.

42=2c,

解得c=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段的比例中項(xiàng)的定義，注意線段不能為負(fù).

8.（4分）在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為12厘米，則甲、乙兩

地的實(shí)際距離是6千米.

【分析】根據(jù)我月蚓=比例尺列方程即可得到結(jié)論.

實(shí)際距禺

【解答】解：設(shè)甲、乙兩地的實(shí)際距離為XC7”，

根據(jù)題意得，」2=——，

X50000

解得：x=600000（?/??=6km,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，熟練掌握里駕維=比例尺是解題的關(guān)鍵.

實(shí)際距周

9.（4分）如果拋物線>=蘇+2經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,那么a的值為-2.

【分析】把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出?的值.

【解答】解：把（1,0）代入y=a?+2得4+2=0,解得a=-2.

故答案為-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解

析式.

10.（4分）如果拋物線y=（x-相）2+,"+1的對(duì)稱軸是直線x=l,那么它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,

2）.

【分析】首先根據(jù)對(duì)稱軸是直線X=l,從而求得〃，的值，然后根據(jù)頂點(diǎn)式直接寫出頂點(diǎn)

坐標(biāo)；

【解答】解：?..拋物線>=（%-m）2+/n+l的對(duì)稱軸是直線x=l,

??171――19

解析式y(tǒng)=（x-1）2+2,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1,2）,

故答案為：（1,2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，難度適中.

11.（4分）已知線段AB=2cm,點(diǎn)C在線段AB上，且4c2=BC?A8,則AC的長_遙二

1_cm.

【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到點(diǎn)C是線段A8的黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金比值計(jì)算得

到答案.

【解答】解："：AC2=BC'AB,

.?.點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC>8C,

：.AC=^X2=V5-1，

22

故答案為：Vs-i-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握黃金比值為近二工是解題的關(guān)鍵.

2

12.（4分）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、8、C都在這些小正方形的

頂點(diǎn)上，則tan/ABC的值為_工_.

B

【分析】根據(jù)題意和勾股定理的逆定理、銳角三角函數(shù)可以求得tan/ABC的值.

【解答】解：連接CD,如右圖所示，

設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為m

則CO=&a，BD=2近a,BC=百工，

,/（2&a）2+（近a）2=2,

.??△BCO是直角三角形,

...tanNABC=tan/￡>8C=^==■1

BD2V2a2

故答案為：1.

2

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利

用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

13.（4分）已知兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4,則它們的面積比為1：16.

【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方解答.

【解答】解：?.?兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4,

，相似三角形面積的比等于相似比的平方是1：16.

故答案為：1：16.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)，熟練掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方

是解題的關(guān)鍵.

14.（4分）如圖，AB//CD//EF,點(diǎn)C、。分別在BE、A尸上，如果BC=6,CE=9,AF

=10,那么QF的長為6.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例、比例的基本性質(zhì)解答即可.

【解答】解?,14B/ICDHEF,

.BE=AF

**CEDF）

-6+910

9DF

工。產(chǎn)=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例、比例的性質(zhì)；由平行線分線段成比例定理得

出比例式求出4尸是解決問題的關(guān)鍵.

15.（4分）如圖，在梯形AEFB中，AB//EF,AB=6,EF=10,點(diǎn)C、。分別在邊4E、BF

上且CDHAB,如果AC=3CE,那么CD=9.

【分析】連接BE交CO于點(diǎn)M,由平行線分線段成比例定理先證四=工，毀=旦，再

AE4BF4

證/\BMDs/\BEF,由相似三角形的性質(zhì)可分別求出CM,0M的長,

可進(jìn)一步求出CD的長.

【解答】解：如圖，連接BE交CD于點(diǎn)M,

AC=3CE,

-C-E_—1,

AC3

AB//EF,CD//AB,

AB//CD//EF,

DFCE2

BD=AC=3"

CE=2毀=3

AEI,BF7'

CM//AB,

△ECMS^EAB,

CE

C-M一

ABAE

嚕1

4一

皿3

2一

'JMD//EF,

:.△BMDs^BEF,

.MD=BD

**EFBF，

即挺L=旦，

104

2

CC=CM+MO=3+1^=9,

22

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵

是能夠熟練運(yùn)用平行線分線段成比例定理等.

16.（4分）如圖，在△A8C中，點(diǎn)G為ABC的重心，過點(diǎn)G作。E〃AC分別交邊AB、BC

于點(diǎn)。、E,過點(diǎn)D作DF//BC交AC于點(diǎn)F,如果DF=4,那么BE的長為8.

【分析】連接BG并延長交4C于H,根據(jù)G為4BC的重心，得到毀=2,根據(jù)平行四

HG

邊形的性質(zhì)得到CE=OF=4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論

【解答】解：連接BG并延長交AC于，，

為A8C的重心，

?BG—9

HG

,:DE/SC,DF//BC,

???四邊形OEC尸是平行四邊形，

：.CE=DF=4,

,:GE〃CH,

:.ABEGSACBH,

?BE_BG=2

"CE'GH

，8E=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定

與性質(zhì)，難度適中.準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

17.（4分）如圖，在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=1,BC=2,點(diǎn)。為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),

正方形。EFG的頂點(diǎn)E、尸都在邊上，聯(lián)結(jié)BG,tan/OGB=_2_.

【分析】設(shè)DE與BG交于點(diǎn)。，根據(jù)題意可得△BDEs/XABC,可得迺￡」，由

BEBC2

正方形的性質(zhì)可得GF=OE=EF,進(jìn)而得出空:JL,再證明△OOGSAEOBS^FGB,

BF3

可得坨圖L里」.

DGEBBF3

【解答】解：如圖，DE與BG交于點(diǎn)。,

?:正方形DEFG,

：.NDEB=NEDG=NGFB=90°,GF=DE=EF,

：./\BDE^/\ABC,

.DE_AC_1

,■同節(jié)，

??GF,—1，

BF3

NDOG=NEOB,

，叢DOGsAEOBs/\FGB,

.DO_EQGF_1

*'DG=EB"BF"3"

.\tanZDGB=A

3

故答案為：1

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)，

熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

18.（4分）如圖，已知△ABC,/A=60°,NB=75°,將△4BC繞著點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得

到BC,線段4'C與線段8c交于M點(diǎn)，如果A'BLAC,那么_粵_的值為

C'M

-2~'

【分析】過點(diǎn)M作MNJ_C尸于點(diǎn)M設(shè)AE=x,通過直角三角形的性質(zhì)與勾股定理用x

表示出CM與C'M便可求解.

【解答】解：過點(diǎn)M作MMLCF于點(diǎn)N,設(shè)AE=x,

A

VZA=60°,A'B1AC,

：.AB=A'B=2x,BE=MX，N4BE=30°,ZAZ=/60°,

:.NEBC=75°-30°=45°=NC,

：.CE=BE=MX,A，E=A'B-BE=2x-y/3x=（2-A/3）x,

.'.A'F=2A'E=（4-2百）x,EF=MNE=（273-3）x-A'C=AC=AE+CE

=（Vs+i）x,

：.CF=CE-EF=（3-代）x,C'F=A'C-A'F=（373-3）x,

?：NMFN=NA'FE=90Q-NA'=30°,/C=45°,

:.FN=MMN,CN=MN,

:?MMN+MN=CF=（3-A/3）x,

：.MN=（2V3-3）x,

:.CM=?MN=（276-3V2）x,FM=2MN=（4向-6）x,

：.CM=C'F-FM=（3-禽）x,

?CM=（2V^-36）x垣

下M=（3莖）x=2-

故答案為：魚二YZ.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于構(gòu)造特殊直角三角

形.

三、解答題(本大題共7題，滿分80分)

19.（10分）計(jì)算：----期旦2---------8145°.

tan600-sin600

【分析】代入特殊角的三角函數(shù)值求值.

V3

【解答】解：原式=—匕--1

=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函

數(shù)值.

20.(10分)已知二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)是A(1,4),且經(jīng)過點(diǎn)8(0,3),與x軸交于C、

。兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè)).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求△BCD的面積.

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)是A(1,4),且經(jīng)過點(diǎn)B(0,3),可以求得該

函數(shù)的解析式；

(2)令y=0,求出相應(yīng)的x的值，即可得到點(diǎn)C和點(diǎn)。的坐標(biāo)，從而可以求得△BCD

的面積.

【解答】解：(1)設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x-1)2+4(aWO),

把8(0,3)代入，得

3=a(0-1)2+4.

解得a=-\,

則該拋物線解析式為：y=-(x-1)2+4；

令y=0,那么-(x-1)2+4=0,

解得：xi=3,X2—-L

二點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,0),

/.CD=4,

:點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,3),

.?.08=3,

,

的面積是：CD0B=4X3=6

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與X軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)

鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

21.(10分)如圖，在△A8C中，4B=AC=5,2c=8,。是邊A3上一點(diǎn)，且tan/BCD=

~2

(1)試求sinB的值；

(2)試求△BC￡＞的面積.

【分析】(1)作AHJ_8C,則△A8H中，根據(jù)勾股定理即可求得AH的長，即可求得sinB；

(2)作。EL8C,則根據(jù)勾股定理可以求得8E的長，求得BC=BE+EC,即4Z+6k=8,

求得k的值即可求△BCD的面積.

【解答】解：(1)作垂足為4,

'：AB=AC=5,：.BH=1.BC=^,

2

22=3,

在△4B“中，^=VAB-BH

AH3

,"sinB=

AB5

（2）作QELBC,垂足為E,

在△8DE中，sin8=3,令DE=3k,

5

80=5晨貝I」BE={BD2_DE2=4A，

又在△?）￡：中，tan/BCO=L,

2

則CE=——螞——=6k,

tan/BCD

于是8C=BE+EC,即4k+6k=8,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了直角三角形中三角函數(shù)值

的計(jì)算，本題中正確求三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

22.（12分）地鐵10號(hào)線某站點(diǎn)出口橫截面平面圖如圖所示，電梯AB的兩端分別距頂部

9.9米和2.4米，在距電梯起點(diǎn)A端6米的P處，用1.5米的測(cè)角儀測(cè)得電梯終端B處的

仰角為14°,求電梯A8的坡度與長度.

參考數(shù)據(jù)：sinl4°-0.24,tanl4°-0.25,cosl4°-0.97.

P6米4

【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得電梯A8的坡度,

然后根據(jù)勾股定理即可求得A8的長度.

【解答】解：作8CL南交朋的延長線于點(diǎn)C,作QO〃PC交BC于點(diǎn)。，

由題意可得，8c=9.9-24=7.5米，QP=OC=1.5米，ZBQD=]4°,

則BD=BC-DC=1.5-1.5=6米，

,：tanZBQD=^-,

QD

Atan140

6+ED

即0.25=—^,

6+ED

解得，ED=18,

：.AC=ED=\8,

?：BC=7.5,

tan/8AC=N>巨，

AC1812

即電梯AB的坡度是512,

,:BC=15,AC=18,ZBCA=90°,

???AB=h52+182=19.5,

即電梯4B的坡度是5：12,長度是19.5米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，解答本題的關(guān)

鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

23.(12分)如圖，在梯形ABCQ中，AB//CD,AD=BC,E是CO的中點(diǎn)，8E交AC于F,

過點(diǎn)尸作尸G〃AB,交AE于點(diǎn)G.

(1)求證：AG=BF；

(2)當(dāng)AD2：。。。尸時(shí)，求證：AB^AD=AG^AC.

AR

【分析】（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求得/AOE=NBCE,進(jìn)而證得△ADEZZXBCE,得出

AE=BE,根據(jù)平行線分線段成比例定理即可證得結(jié)論；

（2）先根據(jù)已知條件證得△C4Bs/\CB凡證得坐因?yàn)锽P=AG,BC=AD,所

BFBC

以3殳盔，從而證得AB?AO=AG?4C.

AGAD

【解答】證明：（1）?.?在梯形A8CD中，AB//CD,AD=BC,

：.NADE=ZBCE,

在△4DE和△BCE中

'AD=BC

-ZADE=ZBCE

DE=CE

.?.△ADE絲△BCE.

：.AE=BE,

,JFG//AB,

?AGBF

^AE"BE,

：.AG=BF.

(2)'：ADL=CA-CF,

.AD_CF

"CA"AD'

：AD=BC,

?BCCF

"CA'BC"

/NBCF=ZACB,

?.△CABs^CBF.

?ABAC

'BF'BC"

：BF=AG,BC=AD,

?AB_AC

'AG"AD"

\AB'AD=AG'AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判斷和

性質(zhì)，平行線分線段成比例定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

24.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-(x-加)與》軸相交于原

點(diǎn)。和點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)A(3,b)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達(dá)式，并寫出它的對(duì)稱軸;

(2)求tan/ABO的值;

(3)點(diǎn)。在拋物線上，如果/8。。+/8=90°,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】(1)用待定系數(shù)法可得拋物線的表達(dá)式為y=-(x-2)2+4,即知對(duì)稱軸是直

線x=2；

(2)過A作A4_Lx軸于“，把A(3,h)代入y=-(x-2)2+4得A(3,3),OH=

AH=3,得84=。8-。〃=4-3=1,故tanNABO=旭=3=3；

BH1

(3)過。作。G_L4?于G,交拋物線于。，過G作軸于M,作G關(guān)于x軸的

對(duì)稱點(diǎn)G',作射線OG'交拋物線于￡>',由ZB+ZBGM=NOGM+NBGM,得NB=NOGM,

故tanZOGM=tanZABO=3,設(shè)BM=t,則GM=3t,OM=9t,可得10f=4,解得t——,

5

G(JS,旦)，用待定系數(shù)法得直線OG解析式為尸工,聯(lián)立解析式可解得D(H,11),

55-339

而G,G關(guān)于x軸對(duì)稱，得G，(2S,一2)，同理可得〃(至，-11).

5539

【解答】解：(1)把O(0,0),B(4,0)代入y=-Cx-m)?+%得：

’2

-m+k=0

-(4-m)^+k=0

解得，m=2,

Ik=4

拋物線的表達(dá)式為y=-(x-2)2+4,

它的對(duì)稱軸是直線x=2；

(2)過4作AHJLx軸于H,如圖:

把A(3,6)代入y=-(x-2)2+4得：

b=-(3-2)2+4=3,

(3,3),

1.0H=AH=3,

:?BH=OB-0H=4-3=1,

AtanNA50=旭=3=3；

BH1

(3)過。作OGL45于G,交拋物線于O,過G作GM_Lx軸于作G關(guān)于x軸的

???。是滿足條件的點(diǎn)，

NB+NBGM=NOGM+NBGM,

:,/B=/OGM,

由(2)知tan/A5O=3,

tanZOGM=tan/ABO=3,

?GM_OM_q

BMGM

設(shè)BM=t,則GM=3t,0M=9t,

：.OB=OM+BM=lOt,

'：0B=4,

AlOf-4,

解得f=2,

5

：.GM=3t=^-,OM=97=歿，

55

：.G（朋，旦），

55

設(shè)直線OG解析式為y=ar,

.?.旦=旦

55

解得〃=』，

3

直線OG解析式為〉=工，

3

：.D（旦，旦），

39

VG,G關(guān)于x軸對(duì)稱，

：.G'（12.,一旦），NGOB=NGOB,即/BOZ7=/BOD,

55

是滿足條件的點(diǎn)，

由G（」金，-A）可得直線OG解析式為y=-Xx,

553

「1f13

解嚴(yán)不得尸或3

2ly=

|y=-（x-2）+4°7=^-

d-11）,

39

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（且，11）或（」3,-」旦）.

3