2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題3(含解析)

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.直線2x+3y+6=0在y軸上的截距是

A.2B.3C.-3D.-2

【正確答案】D

在y軸上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.

【詳解】令尸0,則尸-2,即直線在y周上的截距為-2,

故選D.

2.求點42,1,-2)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為()

A.(-2,1,2)B.(—2,1,-2)

C.(2,-1,-2)D.(2,-1,2)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)點關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點特征，直接寫出即可.

【詳解】4點關(guān)于x軸對稱點，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)為原坐標(biāo)的相反數(shù)，

故點的坐標(biāo)為(2,-1,2),

故選：D

3.已知點尸(-3,-4),。是圓O:/+/=4上的動點，則線段尸。長的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】A

【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為圓心與點的距離加上半徑即可得解.

【詳解】圓。:一+必=4的圓心為(0,0),半徑為廠=2,

所以|OP|=J(-3)2+(Y)2=5,

圓上點〈在線段O尸上時，I尸。京=5-2=3,

故選：A

4.已知橢圓方程為：—+^=1,則其離心率為()

m3m

A.]B.如C.-D.正

3333

【正確答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定/,〃，計算離心率即可.

【詳解】由1=1知，

m3m

a2-3m,h'=m,

c2=a2—b2=Im,

2C~2mnV6

a233

故選：B

5.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的類似問題：把150

個完全相同的面包分給5個人，使每個人所得面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份面包數(shù)之

和的!是較小的兩份之和，則最大的那份面包數(shù)為（）

4

A.30B.40C.50D.60

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意得到遞增等差數(shù)列MJ中，q+%+/+%+%=150,

：（6+4+。5）=4+。2,從而化成基本量，進(jìn)行計算，再計算出能，得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)遞增等差數(shù)列{%},首項為4,公差d,

at+a2+a3+a4+a5=150

則

小+%+%）=4+?

一、例+101=150

所以134+9"=4（2q+d）

%=10

解得

d=\0

所以最大項〃5=10+（5-1）x10=50.

故選：C

6.已知拋物線C:/=12x的焦點為凡直線/經(jīng)過點/交拋物線。于4,B兩點,交拋物

淺C的準(zhǔn)線于點P,若尸片：28日，則后為（）

A.2B.3C.4D.6

【正確答案】C

【分析】由題意可知設(shè)P(-3,%),8(與,%)由尸8=28-可得，(&+3,巳-力)=2(3-4,

可求得/=1,以=±2百，根據(jù)模長公式計算即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意可知篇(3,0),準(zhǔn)線方程為x=-3,設(shè)P(解丹)/(馬,外)

P8=28尸可知，

(xB+\yB-yp)=2(3-xB,-yB),

xfi+3=2(3-xJ,解得：Xs=l,代入到拋物線方程可得.九=±2道

|SF|=>/4+12=4,

故選:C

7.已知圓O:f+V=25,^l:y=kx+\-k,直線/被圓。截得的弦長最短為()

A.2722B.2A/23C.8D.9

【正確答案】B

【分析】先求得直線過定點。,1),再根據(jù)當(dāng)點(1,1)與圓心連線垂直于直線/時，被圓。截

得的弦長最短求解.

【詳解】因為直線方程夕=丘+1-左，即為"Mx-1)+1,

所以直線過定點(1,1),

因為點(1,1)在圓的內(nèi)部，

當(dāng)點(1,1)與圓心連線垂直于直線/時，被圓。截得的弦長最短，

點(1,1)與圓心(0,0)的距離為d=0,

此時，最短弦長為2_2=2后,

故選：B

8.數(shù)列1,6,15,28,45,…中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出米，故稱它們?yōu)?/p>

六邊形數(shù)，那么第11個六邊形數(shù)為()

A.153B.190C.231D.276

【正確答案】C

【分析】細(xì)心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時聯(lián)系相關(guān)知識,如等差數(shù)列、

等比數(shù)列等，結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】由題意知，數(shù)列{%}.?.為1,6,15,28,45,...

所以4=1=1x1,々=6=2x3,a3=15=3'5,

a4=28=4x7,t/5=45=5X9,…，an=n（2n—1）,

所以町=11x21=231.

故選：C

二、多選題

9.過點尸(-2,0)的直線/與直線4：x+y-2=O平行，則下列說法正確的是()

A.直線/的傾斜角為45°

B.直線/的方程為：x+y+2=0

C.直線/與直線4間的距離為2近

D.過點尸且與直線/垂直的直線為：x-y+2=0

【正確答案】BCD

【分析】由直線的斜率可求得傾斜角即可判斷選項A,由直線平行和垂直的斜率關(guān)系設(shè)出所

求方程點P代入求得直線方程即可判斷B、D,由平行直線間的距離公式計算即可判斷C選

項.

【詳解】過點P(-2,0)的直線)與直線4：x+y-2=O平行,

設(shè)直線/方程為4：x+y+m=O,尸(-2,0)代入可得-2+0+優(yōu)=0,解得：，”=2,所以直線/

的方程為：x+y+2=0,B正確，

直線/的斜率上=-1,直線/的傾斜角為135。，則A錯誤，

/與直線4的距離為4=|21(-2"=2能,C正確，

過點P且與直線/垂直的直線可設(shè)為：x-y+n=0,P(-2,0)代入可得_2-0+〃=0,解得:

〃=2,則過點P且與直線/垂直的直線為：x-y+2^0,D正確.

故選：BCD.

2222

10.已知曲線G：工-匕=1與曲線c,：^—+E=1,則下列說法正確的是()

A.曲線G的焦點到其漸近線的距離是3

B.當(dāng)9<左<16時，兩曲線的焦距相等

C.當(dāng)*<9時，曲線G為橢圓

D.當(dāng)人>16時，曲線G為雙曲線

【正確答案】AC

【分析】求出曲線G的焦點坐標(biāo)和漸近線方程，進(jìn)而求出距離即可判斷A；

求出兩條曲線的焦距即可判斷B；

根據(jù)題意求出16-k,9-k的范圍即可判斷C,D.

【詳解】對A,曲線G的左右焦點為4(-5,0),居(5,0),漸近線方程是3x±4y=0,則焦點

到漸近線的距離d="X(±5)=3,A正確；

5

v-22

對B,由A,曲線G的焦距為10,若9<k<16,則曲線C2:止了-喜v=1是焦點在x軸上

的雙曲線，焦距為2,16-%+%-9=2/5,B錯誤；

對C,若4<9,則16-4>9-左>0,即曲線C?為焦點在x軸上的橢圓，C正確;

對D,若左>16,則I6-A<0,9-左<0,不表示任何圖形，D錯誤.

故選：AC.

11.如圖，點M是正方體力88-44中的側(cè)面上的一個動點，貝IJ()

Di

A.點”存在無數(shù)個位置滿足CM1AD,

B.若正方體的棱長為1,三棱錐8-GMZ)的體積最大值為:

C.在線段力。上存在點〃，使異面直線與M與C。所成的角是30，

D.點M存在無數(shù)個位置滿足到直線AD和直線G2的距離相等

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)線面垂直的判定可證得平面則當(dāng)M在線段4。上時，

CM14"恒成立，知A正確；由線面垂直的性質(zhì)和判定可證得4c，平面8CQ,利用三

角形相似可知4到平面BCQ的距離為當(dāng)，根據(jù)—MD=囁-go可知當(dāng)M與4重合時，

體積取得最大值，結(jié)合棱錐體積公式知B正確；以。為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

AM^XAD'(Q<^<\),利用異面直線所成角的向量求法和二次函數(shù)最值可確定異面直線

4M與所成的角大于30，，知C錯誤：根據(jù)點M到直線GA的距離即為其到點A的距

離，可知點〃軌跡為拋物線的一部分，知D正確.

【詳解】對于A,連接力4,/。,8。，

四邊形/￡>￡>/為正方形，.?./0_LZQ；

CD±平面ADD.A,,4。u平面ADD.A,,:.AD,±CD.

又A、DCD=D,42COU平面481CQ,N"J_平面同片。，

則當(dāng)O/u平面4片。，即/在線段4。上時，CV_L4。恒成立,

二點M存在無數(shù)個位置，使得CM，/。，A正確；

對于B,連接ZC,交5。于點O,連接4C,交G。于點N,

BDVAC,BDLAA,,AC^AAX=A,/C,/%u平面/CC/,

..BOJ.平面zee/,又％Cu平面NCG4，，4C，3。；

同理可得：4c_L8G；又BC\BD=B,8G,8Du平面BCQ,

.?.4（7_1平面8弓。，即4NL平面8CQ；

RtC^^RtA^,CNAC,,CN=^正^正=^6,

8CQ是邊長為&的等邊三角形，."印=4x0x0x等當(dāng);

設(shè)點〃到平面8CQ的距離為"，則腺_CM，=%_BCQ=；SBCQM=4;

當(dāng)“與4重合時，d取得最大值半，.?.（與9皿）心=3x亞=；,B正確：

對于C,以。為坐標(biāo)原點，/工：。，。。：正方向為xj，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),C(0,l,0),/(1,0,0),￡>,(0,0,1),B,(1,1,1),

.-.C￡)=(0-1,0),ADX=(-1,0,1),

當(dāng)M在線段上時，可設(shè)//二

/4W=(-2,0,2),則〃(1-/1,0,/I),8附=(-2,-1,2-1),

,I^M-CDTI]

Z.COS<B\M,CD>=ITTT^I^T-/=r.

同孫卬Jo+i+--ipJ2/T+1)，

則當(dāng)2=；時，卜os<薪=—<—,

2IImax32

二異面直線片”與CD所成的角大于30”，C錯誤；

對于D,CQ，平面ADD,AX,點〃到直線G。的距離即為其到點0的距離，

若點/到直線和直線GA的距離相等，則點加軌跡是以。為焦點，GA為準(zhǔn)線的拋物

線在側(cè)面力。A4上的部分，

???點M存在無數(shù)個位置滿足到直線AD和直線GA的距離相等，D正確.

故選：ABD.

12.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,

5,…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的

數(shù)列｛為｝稱為“斐波那契數(shù)列”，記5,為數(shù)列｛對｝的前〃項和，則下列結(jié)論正確的是().

A.6=8B.S7=33

C.4]+03++L+^2021=。2023D.〃]+〃2+L+°2022=42022。2023

【正確答案】ABD

【分析】對AB,直接求出對應(yīng)項及求和:

對CD,由%+=%+2得=%+2-&>

q+%+%+L+a202]=a2+a4-a2+a(,-a4+L+/022一，。2(即可化簡；

+L+。2022=+。2(“3—)+L+“2022(。2023—02021)即可化間.

【詳解】對A,《=3+5=8,A對；

對B,%=5+8=13,$7=1+1+2+3+5+8+13=33,B對；

對C,由4+an+i=an+2得an+l=an+2-an,

..%+%+%+L+。202|=+°4—“2+06—04+L+。2022一。2020=。202，C錯；

對D,%+&+L+02022=°1。2+°2(%)+L+“2022(020231a2021)=。2022a2023，D對.

故選：ABD

三、填空題

13.已知圓C:x2+V-2x+4y=0關(guān)于直線/：2x+ay=0對稱，貝(]a=.

【正確答案】1

【分析】根據(jù)題意，圓心在直線上，進(jìn)而求得答案.

【詳解】由題意，圓心(1,-2)在直線上，則2-2a=0=a=l.

故1.

14.如圖，在平行六面體44CQ1中，設(shè)44=a,NB=b,=c,N是8c的中點,

--八八，

則向量4%=.(用Q,b,c表示)

Di

【正確答案】-a+b+5c

【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則及數(shù)乘運(yùn)算求解即可.

【詳解】由向量的減法及加法運(yùn)算可得，

TT

A]N=AN—AA]=AB+BN—AA]

—>|—>->—>]TT

=AB+—AD-AA.=h+—c-a,

2'2

TTJ->

故一〃+h+—c

2

22

15.已知耳，鳥是雙曲線后:5-勺=1（4>0力>0）的左、右焦點，點M是雙曲線E上的任意

ab

一點（不是頂點）,過耳作NF、M左角平分線的垂線,垂足為N,O是坐標(biāo)原點.若ION|=Ml,

6

則雙曲線E的漸近線方程為.

【正確答案】y=±20x

【分析】延長6N交加巴于點P,利用角平分線結(jié)合中位線和雙曲線定義求得“，c的關(guān)系，

然后利用‘2=62+/,及漸近線方程即可求得結(jié)果.

【詳解】延長￡N交些于點尸，是/丹用匕的平分線，

又。是EE中點，所以m〃NO,且圈=2防=2，高=與，

又|「用=I4|-|A/P|=|四周-|岫|=2a,

，2。=與，c-3a,,又c2-a2=h2,

b2-Sa2,b-2\[2a.

二雙曲線E的漸近線方程為了=±2》=±2岳

a

四、雙空題

2"T〃為有數(shù)

16.已知S,,是數(shù)列｛a,,｝的前"項和，且貝”4=___________

2〃一為]禺?dāng)?shù)'

$2”=?

【正確答案】15土1+2/+〃

3

【分析】直接求出前4項求和；結(jié)合公式法分組求和即可.

【詳解】由%=[：'：叱需（〃間可得々=1,。2=3,%=4,%=7,

[2〃-1,“為偶數(shù)''

§4二%+。2+。3+。4=1+3+4+7=15;

$2〃=（。1+。3++“2”-1）+（。2+。4++%〃）=（2°+2?++2?”-2）+[3+7++（4/7-1）]

二以5+取3=j2/+〃.

1-423

?Hr1V4〃-]2

故15；-----+2n~4-n.

3

五、解答題

17.已知M(5,2),N(-l,-4)兩點.

(1)求以線段MN為直徑的圓C的方程；

(2)在(1)中，求過M點的圓C的切線方程.

【正確答案】(l)(x-2)2+(y+l>=18；

⑵x+y-7=0.

【分析】(1)求出圓心和半徑即可得到答案；

(2)根據(jù)題意先求出切線的斜率，進(jìn)而通過點斜式求出切線方程.

【詳解】(1)由題意，圓心“2,-1),半徑r0CN|=J(2+l)2+(-1+4)2=30，則圓C的

方程為.(x-2/+(9+1)2=18

(2)由題意，々c”=W=l'則切線斜率為J，所以切線方程

為.y-2=-(x-5)=>x+y-7=0

18.已知S,,是等差數(shù)列｛《,｝的前”項和，且4=9,邑=15.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式對;

⑵令b?=------,求數(shù)歹IJ抄“｝的前〃項和T?.

an+\'an

【正確答案】(1)2〃+1；

n

⑵3(2"+3)，

【分析】(1)由等差數(shù)列通項公式基本量《、d列方程求解，即可由定義得出通項公式；

(2)由列項相消法求和.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的前〃項為《，公差為d,則;'i”，解得寸

必=3q+3d=15[a=2

故數(shù)列｛%｝的通項公式%=3+(〃-1>2=2〃+1；

LI11(I1A

⑵"=%+1q=(二+1)(2n+3)=2I2M+I2rt+3)'故

19.如圖，在四棱錐尸-45CQ中，底面Z8C。為正方形，尸N_L底面N88,AB=AP,E

為棱尸。的中點.

(1)求異面直線ZE與尸8所成角的大小；

(2)求平面AEC和平面PAB夾角的余弦值.

TT

【正確答案】(l)g

(2)y

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求異面直線所成角：

(2)求平面NEC和平面的法向量，利用空間向量法求兩個平面夾角的余弦值

【詳解】(1)如圖，尸4,底面44CD,u底面4BCD,NOu底面4BCQ,

...PAJLAB,/.PALAD.

以點力為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)48=2,則力=(0,0,0),

B=(2,0,0),￡>=(0,2,0),C=(2,2,0),P=(0,0,2),E=(0,1,1),

y4￡=(0,1,1),尸8=(2,0,—2),

uumum

/uuruur,AEPB1

cos(AEPB=IULU'HUUI'I=—j=---------j==

f國網(wǎng)y/2x2y/22,

則異面直線AE與PB所成角的余弦值為方,故異面直線AE與PB所成角的大小為。.

(2)由題意可知平面P/8的法向量為我(0,1,0),

，--'UUU

設(shè)平面4EC的法向量為N=(X,y,z),AE=(0,1,1),AC=(2,2,0),

nAE=Qy+z=0

則｛X，即

n-AC=02x+2y=0

令X=1,貝|J〃=（1,一1,1）.

rr.r-

/rrxmn-1，3

麗飛二一7?

20.如圖，正方形4WDE的邊長為2,B,C分別為歷。的中點.在五棱錐P-/8C7)￡

中，4，底面48CDE,且尸/=/E,F為棱PE的中點，平面48尸與棱PD,PC分別交于

(1)求直線8c與平面48尸所成角的大小;

(2)求線段尸段的長.

7T

【正確答案】(l)z

6

(2)2

【分析】(1)以4為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系彳-xyz,由向量法求線面角即可；

(2)設(shè)〃(凡6,c),PH=APC\O<Z<1),結(jié)合；立即可解得參數(shù)，求得4坐標(biāo)，由

兩點距離公式即可求線段產(chǎn)”的長

【詳解】(1)底面48CDE,四邊形41〃龍為正方形，故以“為原點建立如圖所示空

間直角坐標(biāo)系Z-xyz,

?正方形/四?！甑倪呴L為2,B,C分別為NAZ,的中點，PA=AE,尸為棱PE的中點,

故有“(0,0,0),5(1,0,0),C(2,l,0),￡(0,2,0),P(0,0,2),尸(0,1,1).

設(shè)平面4"的法向量為1(x,y,z),AF=(Q,\,\),AB=(1,0,0),SC=(1,1,0),

令V=l,得”=(0,1,-1).

2

設(shè)直線8c與平面月8F所成角為則sina

2

7t

故直線BC與平面ABF所成角為a為g

6

(2)設(shè)尸C上的點”(a,6,c),PH=XPC(0<2<1),則(a,6,c-2)=乂2,1,-2),

/.ci—2A,b=2,c=2-22.

又；為平面力所的法向量，AH=(a,b,c),故；/J4-c=0，即"(2-2力=0,解得

A=t

故有嚕資，故叱所乖好7

故線段PH的長為2.

21.記數(shù)列｛/｝的前〃項和為S,，q=2,S?+Snl=3%,-4.

⑴求｛《,｝的通項公式;

(2)設(shè)b?=a?\og2a?,記但｝的前〃項和為7；.若(〃-+247；對于〃22且〃eN*恒成立，求

實數(shù)Z的取值范圍.

【正確答案】(1)%=2"

(2)Z<8

【分析】(1)利用。“與S”的關(guān)系證得數(shù)列是等比數(shù)列，從而求得%=2"；

(2)先利用錯位相減法求得北，再將問題轉(zhuǎn)化為￡4/(〃)而?,其中/(〃)=2二(〃±2),利

n-\

用作差法證得=8,從而得解.

【詳解】(1)S.+S,,M=3a“M-4,

，當(dāng)“22時，S“T+S”=3a“一4

兩式相減,得a?+%=3a?+1-3a,,整理得a?+l=2a,,,

當(dāng)〃=1時，S,+S2-3a2-4,:.at+at+a2-3a2-4,:.a2-4,

經(jīng)檢驗，a2=2%滿足。什|=2a?,

，數(shù)列｛%｝是以4=2為首項，2為公比的等比數(shù)列,

%=2X2"T=2".

(2)由(1)得，=4“k)gM,="-2",

.-.7；,=1X2'+2X22++nx2",

27；,=1X22+2X23++(〃-1)X2"+〃X2向,

2x(}-2"\

兩式相減得=2、22++2"-nx2n+1

=—：2-〃x2,,+1=(1-?卜2n+,-2，

n+

：.Tn=(n-l)x2'+2,

又K”-l)2+247；對于“22且aeN?恒成立，BPZ(/?-l)2+2<(n-l)x2"+1+2,

等價于對于2且恒成立,

H—1

令/(〃)=與(“22)，則，“⑺四，

n-\

則有“，山)-/(〃)上-與=竺3

nn—\

所以當(dāng)〃=2時，/(2)=/(3),當(dāng)〃>2時，/(〃+1)>/(〃),

所以/(%n=/(2)=〃3)=8,則」48.

22.已知橢圓C:二+4=l(a>b>0)的離心率為正，焦點分別為耳鳥，點P是橢圓C

ah2

上的點，“與與面積的最大值是2.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)直線/與橢圓C交于M,N兩點，點D是橢圓C上的點，0是坐標(biāo)原點，若

OM+ON=OD^判定四邊形OMAN的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是,

請說明理由.

【正確答案】⑴—+^-=1(II)見解析

42

【分析1(I)由題意得到。力，c的方程組，求