專題03 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題（十大題型）（原卷版）

專題03函數(shù)性質(zhì)的綜合問題思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用考點(diǎn)二、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值考點(diǎn)三、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍考點(diǎn)四、函數(shù)的奇偶性的判斷與證明考點(diǎn)五、已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)考點(diǎn)六、已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值考點(diǎn)七、利用單調(diào)性、奇偶性解不等式考點(diǎn)八、周期性問題考點(diǎn)九、抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性考點(diǎn)十、函數(shù)性質(zhì)的綜合1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間：如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間=1\*GB3①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).2、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱判斷與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)．3、函數(shù)的對稱性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對稱．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．4、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做的最小正周期.1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記，，則.(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5、對稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對稱．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例1．（2023·遼寧沈陽·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；(3)解關(guān)于的不等式．例2．（2023·福建福州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例3．（2023·廣東·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明.例4．（2023·陜西延安·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)二、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值例5．（2023·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）函數(shù)在區(qū)間上的最大值（

）A．125 B．25 C． D．例6．（2023·貴州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若函數(shù)（且）在上的值域?yàn)?，則（

）A．3或 B．或 C．或 D．或例7．（2023·河南商丘·高一校聯(lián)考期中）已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．例8．（2023·廣東江門·高一臺山市第一中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)，的最大值是（

）A． B． C．1 D．2考點(diǎn)三、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍例9．（2023·浙江杭州·高一學(xué)軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．例10．（2023·云南楚雄·高一?？计谀┮阎瘮?shù)在上具有單調(diào)性，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．例11．（2023·廣東珠海·高一珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．例12．（2023·海南?？凇じ咭缓Ｄ先A僑中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四、函數(shù)的奇偶性的判斷與證明例13．（2023·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并予以證明；(3)求不等式的解集.例14．（2023·山西呂梁·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（a是常數(shù)）.(1)判斷的奇偶性，并說明理由；(2)若，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明.例15．（2023·天津·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)且．(1)求的值；(2)判定的奇偶性．例16．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？茧A段練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)；(2)；(3).考點(diǎn)五、已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)例17．（2023·山東·高一山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是奇函數(shù)，則．例18．（2023·湖北恩施·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則．例19．（2023·重慶·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，則例20．（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?，則考點(diǎn)六、已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值例21．（2023·江蘇蘇州·高一吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的表達(dá)式為．例22．（2023·四川·高考真題）已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．例23．（2023·山西呂梁·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時，，則.例24．（2023·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，，且，，則.考點(diǎn)七、利用單調(diào)性、奇偶性解不等式例25．（2023·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例26．（2023·河南鄭州·高一?？计谥校┒x在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例27．（2023·上海·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例28．（2023·河南商丘·高一校聯(lián)考期中）已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)八、周期性問題例29．（2023·海南省直轄縣級單位·高一?？计谥校┮阎x在上的偶函數(shù)，滿足是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A． B．0 C．1 D．1012例30．（2023·河南焦作·高一?？计谀┮阎獮槠婧瘮?shù)，且為偶函數(shù)，若，則下列哪個式子不正確（

）A． B．C． D．例31．（2023·黑龍江雞西·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，，且，則（

）A． B． C． D．例32．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)九、抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性例33．（2023·江蘇宿遷·高一?？计谥校┘褐瘮?shù)為上的函數(shù)，對于任意，都有，且當(dāng)時，.(1)求；(2)證明函數(shù)是奇函數(shù)；(3)解關(guān)于的不等式，例34．（2023·湖北孝感·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，并且當(dāng)時.(1)判斷的奇偶性；(2)求證：是上的減函數(shù)：(3)，求關(guān)于的不等式的解集.例35．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)對任意，恒有成立，且．(1)求證：是奇函數(shù)；(2)求的值；(3)若時，，試求在上的最大值和最小值．例36．（2023·山東·高一山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，且．(1)求；(2)判斷的奇偶性，并說明理由；(3)判斷在上的單調(diào)性，并說明理由．考點(diǎn)十、函數(shù)性質(zhì)的綜合例37．（多選題）（2023·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減，則（

）A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞增例38．（多選題）（2023·河南駐馬店·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)（，，），若，，，則（

）A． B．C．為非奇非偶函數(shù) D．例39．（多選題）（2023·四川德陽·高一四川省德陽中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則一定成立的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱C．D．例40．（多選題）（2023·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知函數(shù)，下面命題正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C．函數(shù)的值域?yàn)?D．函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減過關(guān)檢測1．（2023·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·湖北恩施·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)（

）A．最小值為0，最大值為3 B．最小值為，最大值為0C．最小值為，最大值為3 D．既無最小值，也無最大值3．（2023·云南大理·高一云南省下關(guān)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．24．（2023·福建南平·高一?？计谥校┮阎己瘮?shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．5．（2023·遼寧大連·高一期末）若函數(shù)為偶函數(shù)，則b的值為（

）A．-1 B． C．0 D．6．（2023·河南駐馬店·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A．1 B．2 C．4 D．87．（2023·四川德陽·高一四川省德陽中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知的值城為，且在上是增函數(shù)，則的范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題8．（2023·山東泰安·高一泰山中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法中，正確的是（）A．若對任意，，，則在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的遞減區(qū)間是C．函數(shù)在定義域上是增函數(shù)D．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是和9．（2023·重慶·高一重慶市輔仁中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)滿足對任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B．1 C．2 D．310．（2023·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題不正確的是（

）A．函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是D．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是11．（2023·江蘇南京·高一校聯(lián)考階