第五章數(shù)列專題12數(shù)列與導(dǎo)數(shù)交匯的不等式問題（含解析） 2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考新教材）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專題12數(shù)列與導(dǎo)數(shù)交匯的不等式問題（一題多變）【2023-2024湖南師大附中高三（上）月考四】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）計(jì)算，化簡(jiǎn)得到，得到，計(jì)算得到通項(xiàng)公式.（2）左右兩邊分別證明，設(shè)，證明數(shù)列是減數(shù)列得到；放縮，求和得到，設(shè)，再證明即可.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，即，，故，，故，，.驗(yàn)證時(shí)成立，故（2），，，先證左邊：設(shè)，，設(shè)則，設(shè)，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，，數(shù)列為遞減數(shù)列，，所以成立，證畢.再證右邊：，，需證，即，即，設(shè)，則，設(shè)，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以.證畢.綜上所述：【變化角度】將（2）中所證明的不等式變?yōu)?【思路分析】（1）時(shí)，有，變形為，可得數(shù)列為等比數(shù)列，可利用首項(xiàng)和公比求通項(xiàng)公式；（2）利用數(shù)列求和的放縮法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值，證明不等式.【詳解】（1）∵數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，滿足（），時(shí)，，解得.∴時(shí)，，化為，變形為，又，∴，，數(shù)列是首項(xiàng)為4公比為2的等比數(shù)列，∴.（2）先證明左邊：即證明，由（1）可得：，解得，又由，解得，又，所以，再證明右邊：.∴，下面證明，即證明，設(shè)，，則，即證明，.設(shè)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即，，∴.∴.【舉一反三】（2016·浙江紹興·二模）1．已知數(shù)列滿足，.(1)若，求證數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，求證：.（18-19高三上·浙江臺(tái)州·期末）2．?dāng)?shù)列，中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求證：；(3)令，，求證：.【變換角度】將恒成立更改為能成立問題，如：（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A．

B．

C．

D．【思路分析】先由化簡(jiǎn)得遞推關(guān)系，從而求得通項(xiàng)及前項(xiàng)和，要使能成立，即能成立，令，轉(zhuǎn)化為求解的最小值即可.【詳解】由得，則有對(duì)任意成立，又，則，故，且則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，由得，，分離參數(shù)得，，令則令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；由，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒有，又，故的最小值為.若存在，使得成立，則，則有，即實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D.【舉一反三】（21-22高二上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）3．已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，其中，試推斷對(duì)哪些正整數(shù)n成立，證明你的結(jié)論．（2024·廣東廣州·二模）4．已知數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.（20-21高三上·江蘇無錫·期中）5．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且滿足a1＝b1﹣1＝1，an+12＝4Sn+4n+1，b4＝a8+1．（1）求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；（2）若不等式anbn（4﹣m）＞(an﹣1)2對(duì)于任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（20-21高三上·浙江·階段練習(xí)）6．已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)之和，滿足.數(shù)列的前項(xiàng)之和，滿足，.（1）若對(duì)任意正整數(shù)都有成立，求正數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)，數(shù)列滿足：，求證：.（19-20高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）7．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，記，數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）①計(jì)算，的值；②猜想,滿足的關(guān)系式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（2）若數(shù)列通項(xiàng)公式為，證明：.（10-11高三下·江西贛州·期中）8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：且，求證：；（3）在（2）的條件下，求證：]（2021·山東菏澤·二模）9．已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)數(shù)列前和為，求使得成立的的最大值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）將等式變形為，利用等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）利用作差法可證得，利用導(dǎo)數(shù)法證明出，可推出，然后利用放縮法結(jié)合等比數(shù)列求和可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，，可得，所以，，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，所以，，故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，與同號(hào)，，，，則與異號(hào)，且,所以，，，所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列單調(diào)遞增，，，所以，與異號(hào)，，則，，所以，，，構(gòu)造函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，又因?yàn)椋?，，故，?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為背景，考查的是運(yùn)用不等式的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理論證的思維能力及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題和解決問題的能力.第一問求解時(shí)充分借助題設(shè)條件中的有效信息利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行合理推證；第二問中則通過構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用其單調(diào)性推得與同號(hào)，進(jìn)而推得，進(jìn)一步推出，再結(jié)合等比數(shù)列放縮證得結(jié)論成立.2．(1)，；(2)見解析；(3)見解析.【分析】（1）由，可得當(dāng)時(shí)，，兩式相減可化為，利用累乘法可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；（2）先證明，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，利用放縮法可證明；（3）化簡(jiǎn)，利用分析法推導(dǎo)出證明在上單調(diào)遞增，所以，即，從而可得結(jié)果.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，，，顯然，時(shí)，也滿足，當(dāng)時(shí)，，所以（2），，；（3）①當(dāng)時(shí)，左邊右邊，②當(dāng)時(shí)，∵，，要想證明，只需證，即，即，令x=，即證，即，令，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，∴，由①②可知：故對(duì)于任意的，．【點(diǎn)睛】數(shù)列不等式與導(dǎo)函數(shù)結(jié)合問題，要分析要證明的數(shù)列特征，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值情況，進(jìn)行證明.3．或者且，證明見解析【分析】由出發(fā)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可推斷證明.【詳解】解：，，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：，即，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，，故當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，即，即或者且時(shí)，有，即.4．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用遞推關(guān)系，把換成，得到兩式相減，得到，再累乘后可得到通項(xiàng)；（2）用錯(cuò)位相減法求出，再將證明不等式作差，之后利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，作差可得，變形為，即，即，化?jiǎn)為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以，，作差可得，所以，，設(shè)，則在給定區(qū)間上遞減，又故在是減函數(shù)，，所以當(dāng)時(shí)，.5．（1）證明見解析；（2）（﹣∞，）．【解析】（1）由a1＝b1﹣1＝1，an+12＝4Sn+4n+1，得an2＝4Sn﹣1+4n﹣3，（n≥2），從而得到，進(jìn)一步證明{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）推導(dǎo)出，從而4﹣m＞，設(shè)＝，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】解：（1）證明：正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，滿足a1＝b1﹣1＝1，an+12＝4Sn+4n+1，b4＝a8+1．∴an2＝4Sn﹣1+4n﹣3，（n≥2），兩式相減，得﹣＝4an+4，（n≥2），∴＝(an+2)2，∵an＞0，∴an+1＝an+2，（n≥2），當(dāng)n＝1時(shí)，＝4a1+5＝9，a2＝3＝a1+2，∴{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）an＝2n﹣1，b4＝a8+1＝16，b1＝2，＝8，q＝2，∴，由(2n﹣1)(4﹣m)＞(2n﹣2)2，得4﹣m＞，設(shè)，則＝＝，∴n＝1，2時(shí)，，當(dāng)n≥3時(shí)，，即，∴4﹣m＞，解得m＜．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，）．【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列不等式恒成立問題．解題方法是：用分離參數(shù)法變形不等式，然后引入新數(shù)列，用作差法證明單調(diào)性后可得其最值．最后再解相應(yīng)不等式可得結(jié)論．6．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先由題中遞推公式，分別求出，；由不等式恒成立，得到，令，推出；由導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出最大值，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得到，根據(jù)裂項(xiàng)相消的方法，求出，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）由得，解得，則；所以，又時(shí)，也滿足上式，所以，；又由得，即，所以；若，則；若，則由得，所以；化簡(jiǎn)得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此；當(dāng)時(shí)，也滿足該式；故；由得，則，即，令，為使對(duì)任意正整數(shù)都有成立，即是；因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，又，且，，，所以；因此，即；（2）因?yàn)?，所以，則，因此；又因?yàn)?，且，故，因此得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，涉及導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，屬于?？碱}型.7．（1）①，；②，證明見解析；（2）見解析【解析】(1)①根據(jù)題中給的遞推公式直接計(jì)算,即可.②由①中可知,,故猜想,再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的方法證明即可.(2)根據(jù)可求得,再利用(1)中的結(jié)論放縮可得,再構(gòu)造函數(shù)證明其單調(diào)性,再累加證明即可.【詳解】（1）①,,所以,.

②.猜想：.(也可以寫成)

1°當(dāng)時(shí),成立；2°假設(shè)當(dāng)時(shí),成立,當(dāng)時(shí),.綜上1°,2°所述,.

（2）因,所以其前項(xiàng)和.所以由（1）知.

令,則,所以在上單調(diào)遞減,又,所以.令,所以,即,即,所以.當(dāng)時(shí),,,……,,上述個(gè)式子相加,得,所以,則,即,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用以及數(shù)列不等式的證明與構(gòu)造函數(shù)利用累加法的方法等.需要根據(jù)題意建立關(guān)系式,適當(dāng)放縮證明不等式.屬于難題.8．（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）利用，關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性可得，結(jié)合（2）利用放縮法和裂相消法，可以證明出不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，即且，所以，又，可得，顯然不滿足上式.所以；（2）當(dāng)時(shí)，，不等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)不等式也成立，故成立；（3）設(shè)，則，即在上遞減，因此，即，由（2）知：，綜上，，所以，因此成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性得到不等關(guān)系，由放縮法、裂項(xiàng)相消法證明數(shù)列不等式恒成立問題.9．（1）；（2）【分析】（1）通過題意所給得出兩式相減得出即可得出答案；（2）方法①由題意寫出數(shù)列通項(xiàng)公式通過裂項(xiàng)相消法易求數(shù)列前和，再通過數(shù)列單調(diào)性求解即可；方法②方法①由題意寫出數(shù)