第五章數(shù)列專題11一題多變斐波那契數(shù)列 講義（含解析） 2024年高考數(shù)學二輪復習（新高考新教材）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【一題多變】斐波那契數(shù)列【2024屆T8聯(lián)考】一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房以此類推，用表示蜜蜂爬到號蜂房的方法數(shù)，則______．A．1

B．

C．2

D．【解析】由題意得，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，所以，故選：A．感悟反思：從本題的解答給了我們一條解決數(shù)列問題的方法：當我們一開始搞不清楚這是什么數(shù)列時，不妨先從特殊出發(fā)，計算一下前幾項，然后再去尋找規(guī)律．從前幾項的研究我們發(fā)現(xiàn)每一項（第三項開始）是前兩項的和，故此數(shù)列是斐波那契數(shù)列，本題考查的是斐波那契數(shù)列的性質．【變化角度】條件不變，問題改為：除以2的余數(shù)為多少？【思路分析】根據(jù)題意得，羅列數(shù)列中前若干項除2看余數(shù)，找規(guī)律即可.【詳解】根據(jù)題意可知，則，則各項除以2余數(shù)為，可知各項除以2的余數(shù)是以1，0，1三個數(shù)循環(huán)的數(shù)列，所以除以2的余數(shù)為0.故答案為：0【舉一反三】1．五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：①第一位同學首次報出的數(shù)為1.第二位同學首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學所報出的數(shù)都是前兩位同學所報出的數(shù)之和；②若報出的是為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學需拍手一次，當?shù)?0個數(shù)被報出時，五位同學拍手的總次數(shù)為2．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在現(xiàn)代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波那契數(shù)列都有直接的應用.在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列滿足：，．則；被4除的余數(shù)為．【變換角度】條件不變，問題改為：則為的第幾項？【思路分析】根據(jù)題意得，利用該性質一一相加計算即可.【詳解】由題意得，所以，即為的第2024項.【舉一反三】3．數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8…，其中從第3項起，每一項都等于它前面兩項之和，即，，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若，則（

）A．175 B．176 C．177 D．1784．十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列滿足以下關系：，，，記其前項和為，設(為常數(shù))，則；.【變換角度】添加條件：若，則為多少（用表示）？【思路分析】添加1，利用轉化化簡即可.【詳解】由題意得，則問題式.【舉一反三】5．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列.并將數(shù)列中的各項除以4所得余數(shù)按原順序構成的數(shù)列記為，則下列結論正確的是A． B．C． D．6．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以2所得的余數(shù)按原來的順序構成的數(shù)列記為，數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．7．斐波那契數(shù)列又稱為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、化學等領域都有應用.斐波那契數(shù)列滿足，.給出下列四個結論：①存在，使得，，成等差數(shù)列；②存在，使得，，成等比數(shù)列；③存在常數(shù)，使得對任意，都有，，成等差數(shù)列；④存在正整數(shù)，且，使得.其中所有正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．數(shù)學史上有很多著名的數(shù)列，在數(shù)學中有著重要的地位.世紀初意大利數(shù)學家斐波那契從兔子繁殖問題引出的一個數(shù)列：，，，，，，，……，稱之為斐波那契數(shù)列，滿足，，.19世紀法國數(shù)學家洛卡斯提出數(shù)列：，，，，，，，……，稱之為洛卡斯數(shù)列，滿足，，.那么下列說法正確的有（

）A． B．不是等比數(shù)列C． D．9．意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯數(shù)學理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足：，，.若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為，記前項所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結論正確的是（

）A．是偶數(shù) B．C． D．10．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例.作圖規(guī)則是在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長方形，然后在正方形里面畫一個90度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.它來源于斐波那契數(shù)列，又稱為黃金分割數(shù)列.現(xiàn)將斐波那契數(shù)列記為，，，邊長為斐波那契數(shù)的正方形所對應扇形面積記為，則（

）A． B．C． D．11．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：且中，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．12．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個數(shù)列：其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．那么

是斐波那契數(shù)列中的第項．13．意大利數(shù)學家斐波那契年~年）以兔子繁殖數(shù)量為例，引人數(shù)列：，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項公式為．設是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為．14．斐波那契，意大利數(shù)學家，其中斐波那契數(shù)列是其代表作之一，即數(shù)列滿足，且，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列.已知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，數(shù)列滿足，若數(shù)列的前12項和為86，則.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．7【詳解】這樣得到的數(shù)列這是歷史上著名的數(shù)列，叫斐波那契數(shù)列.尋找規(guī)律是解決問題的根本，否則，費時費力.首先求出這個數(shù)列的每一項除以3所得余數(shù)的變化規(guī)律，再求所求就比較簡單了.這個數(shù)列的變化規(guī)律是：從第三個數(shù)開始遞增，且是前兩項之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分別除以3得余數(shù)分別是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可見余數(shù)的變化規(guī)律是按1、1、2、0、2、2、1、0循環(huán)，周期是8.在這一個周期內(nèi)第四個數(shù)和第八個數(shù)都是3的倍數(shù)，所以在三個周期內(nèi)共有6個報出的數(shù)是三的倍數(shù)，后面6個報出的數(shù)中余數(shù)是1、1、2、0、2、2，只有一個是3的倍數(shù)，故3的倍數(shù)總共有7個，也就是說拍手的總次數(shù)為7次.2．53【分析】空一：直接運用遞推公式進行求解即可；空二：根據(jù)遞推公式，求出前13項的值，然后按題目要求分別被4除，根據(jù)余數(shù)的周期性進行求解即可.【詳解】空一：因為，，所以；空二：由，，可以求出該數(shù)列的前13項，分別為：，它們分別被4除，余數(shù)分別為：，可以看出余數(shù)的周期為6，因為，所以被4除的余數(shù)為3，故答案為：5；33．B【分析】根據(jù)數(shù)列的特點，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，移項得：，使用累加法求得，然后將中的倍展成和的形式（如）即可求解．【詳解】由從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，，由，得，所以，，，，將這個式子左右兩邊分別相加可得：，所以.所以.故選：B．4．【解析】因為斐波那契數(shù)列滿足，，通過歸納可以得出，,代入即可求解【詳解】因為斐波那契數(shù)列滿足，，，∴；；；…；所以，因為．故答案為：，．【點睛】本題考查斐波那契數(shù)列的理解和運用，考查化簡和運算能力，屬于中檔題．5．AB【分析】由可得，可判斷B、D選項；先計算數(shù)列前幾項可發(fā)現(xiàn)規(guī)律,使用歸納法得出結論：數(shù)列是以6為最小正周期的數(shù)列，可判斷A、C選項.【詳解】對于A選項：，，所以數(shù)列是以6為最小正周期的數(shù)列，又，所以，故A選項正確；對于C選項：，故C選項錯誤；對于B選項：斐波那契數(shù)列總有：，所以，，所以，故B正確；對于D選項：，，，，。所以，故D選項錯誤；故選：AB.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義，關鍵在于運用數(shù)列的定義研究其性質用于判斷選項，常常采用求前幾項的值，運用歸納法找到規(guī)律，屬于難度題.6．ABD【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的特征得出數(shù)列為，，，，，，，再利用數(shù)列的周期性可得出選項A和C的正誤，利用波那契數(shù)列的特征，可判斷出選項B和D的正誤.【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的特征可以看出，數(shù)列為依次連續(xù)兩個奇數(shù)和一個偶數(shù)，所以數(shù)列為，，，，，，，則數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為，選項項A，因為，故選項A正確；選項B，因為，故選項B正確；選項C，因為，，且，，，所以或，故選項C錯誤；選項D，因，故選項D正確.故選：ABD.7．C【分析】由遞推公式得性質后判斷，【詳解】對于①，由題意得，故成等差數(shù)列，故①正確，對于②，由遞推公式可知，，中有兩個奇數(shù)，1個偶數(shù)，不可能成等比數(shù)列，故②錯誤，對于③，，故當時，對任意，，，成等差數(shù)列；故③正確，對于④，依次寫出數(shù)列中的項為，可得，故④正確，故選：C8．AC【分析】利用斐波那契數(shù)列和洛卡斯數(shù)列的性質與特點一一代入檢驗即可.【詳解】對于A，當時，，等式成立；當時，，等式成立；假設當時，成立，那么當時，，又，，，等式成立；綜上所述：成立，A正確；對于B，，，又，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，B錯誤；對于C，，，C正確；對于D，取，則，，有，D錯誤.故選：AC.9．CD【分析】推導出當或時，為奇數(shù)，可判斷A選項的正誤；利用累加法可判斷B選項的正誤；利用數(shù)學歸納法可判斷C選項的正誤；利用扇形的面積公式結合斐波那契數(shù)列的定義可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，，，，，，，，以此類推可知，當或時，為奇數(shù).因為，所以，為奇數(shù)，A選項錯誤；對于B選項，，，，，上述不等式全加得，所以，，B選項錯誤；對于C選項，，，所以，、均滿足.假設當時，成立，則，當時，，所以，當時，等式也成立，因此，對任意的，，C選項正確；對于D選項，由已知條件可知，，則，D選項正確.故選：CD.【點睛】方法點睛：與“歸納——猜想——證明”相關的常用題型的處理策略：（1）與函數(shù)有關的證明：與已知條件驗證前幾個特殊值正確得出猜想，充分利用已知條件并用數(shù)學歸納法證明；（2）與數(shù)列有關的證明：利用已知條件，當直接證明遇阻時，可考慮使用數(shù)學歸納法.10．AD【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可判斷選項A，再根據(jù)累加法計算判斷選項B，根據(jù)扇形的面積公式判斷選項C，再次應用累加法及遞推公式判斷選項D.【詳解】由遞推公式，可得，，所以，A選項正確；又由遞推公式可得，，，類似的有，累加得，故錯誤，B選項錯誤；由題可知扇形面積，故，故錯誤，C選項錯誤；由，，，，類似的有，累加得，又，所以，所以正確，D選項正確；故選：AD.11．【分析】記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個元素的子集為F，則所有元素之和為奇數(shù)的集合B可看成，然后可解.【詳解】由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合中的元素有674個偶數(shù)，1350個奇數(shù)，記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個元素的子集為F，則所有元素之和為奇數(shù)的集合B可看成，顯然集合E共有個，集合F共有個，所以所有元素之和為奇數(shù)的集合B共有個，又集合A的非空子集共有個，所以B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為.故答案為：【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是將集合分拆成所有偶數(shù)組成的集合及所有奇數(shù)組成的集合，利用二項式系數(shù)的性質求出含有奇數(shù)個奇數(shù)組成的集合個數(shù).12．2016【分析】根據(jù)已知條件可以得到，則,即依次類推即可解得.【詳解】斐波那契數(shù)列總有則，即，，……，，∴故是斐波那契數(shù)列中的第2016項．故答案為：201613．8【分析】將不等式化為，即，再根據(jù)斐波那契數(shù)列為遞增數(shù)列，且，可得答案.【詳解】由，得，得，得，得，，所以，令，則數(shù)列即為斐波那契數(shù)列，，則，顯然數(shù)列為遞增數(shù)列且，所以數(shù)列亦為遞增數(shù)列，由，得，，，，，，因為，，所以使得成立的的最小值為8．故答案為：.【點睛】