高中數(shù)學同步講義（人教A版必修二）第40講 第八章 立體幾何初步 章末題型大總結（學生版）

第17講第八章立體幾何初步章末題型大總結一、數(shù)學思想方法1、函數(shù)與方程的思想1．（2023上·全國·高三階段練習）在長方體中，，，若線段上存在一點，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預測）已知正方體的外接球表面積為12，點E在線段上運動，若恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022下·山西運城·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在三棱錐中，平面平行于對棱，截面面積的最大值是.2、數(shù)形結合思想1．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高級中學?？计谀┰诶忾L為1的正方體中，P為底面ABCD內（包括邊界）的動點，滿足直線與直線所成角的大小為，則線段掃過的面積的大小為（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）在正方體中，棱長為2，平面經(jīng)過點，且滿足直線與平面所成角為，過點作平面的垂線，垂足為，則長度的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023上·上海浦東新·高二上海市進才中學?？计谥校┤鐖D是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里，母線長為40公里，母線一點，且公里，為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路，則這段鐵路的長度為公里.

3、轉化與化歸思想1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）正方體的棱長為1，M是面內一動點，且，N是棱上一動點，則周長的最小值為（

）A．2 B． C． D．2．（2023上·四川南充·高二儀隴中學校考階段練習）在直三棱柱中分別為的中點，沿棱柱的表面從到兩點的最短路徑的長度為（

）

A． B． C． D．3．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在正三棱錐中，底面邊長為a，側棱長為，點E，F(xiàn)分別為AC，AD上的動點，求截面周長的最小值和這時點E，F(xiàn)的位置．

4、分類與整合的思想1．（多選）（2023上·湖南長沙·高二?？计谥校┤鐖D，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點A，O和點C，B，使，.已知，，，則線段OC的長為（

）

A．6 B．8 C． D．2．（多選）（2023上·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為.現(xiàn)準備將該木塊鋸開，則下列關于截面的說法中正確的是（

）

A．過棱的截面中，截面面積的最小值為B．若過棱的截面與棱（不含端點）交于點，則C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為D．與該木塊各個頂點的距離都相等的截面有7個3．（多選）（2023下·四川成都·高一成都七中?？计谀┧睦忮F的四個側面都是腰長為，底邊長為2的等腰三角形，則該四棱錐的高為（

）A． B． C． D．二、重點題型精講題型01空間幾何體的結構、表面積與體積【典例1】（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側面積與表面積的比值是（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·全國·模擬預測）在正三棱臺中，，，側棱與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺存在內切球，則此正三棱臺的體積為．【典例3】（2024·全國·模擬預測）如圖，該“四角反棱柱”是由兩個相互平行且全等的正方形經(jīng)過旋轉、連接而成，其側面均為等邊三角形，則該“四角反棱柱”外接球的表面積與側面面積的比為．【變式1】（多選）（2024上·甘肅武威·高三統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為的正方形中剪掉四個陰影部分的等腰三角形，其中為正方形對角線的交點，，將其余部分折疊圍成一個封閉的正四棱錐，若該正四棱錐的內切球半徑為，則該正四棱錐的表面積可能為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024上·山東濟南·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為．【變式3】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學?？计谀┮阎?，，將繞所在的直線旋轉一周，則所得旋轉體的表面積是．題型02空間幾何體與內切球問題【典例1】（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）以半徑為的球為內切球的圓錐中，體積最小值時，圓錐底面半徑滿足（

）A． B．C． D．【典例2】（2024上·河南周口·高三項城市第一高級中學校聯(lián)考期末）正三棱錐的內切球的半徑為，外接球的半徑為.若，則的最小值為.【典例3】（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學校聯(lián)考階段練習）如圖，若圓臺的上、下底面半徑分別為且，則此圓臺的內切球(與圓臺的上、下底面及側面都相切的球叫圓臺的內切球)的表面積為.【變式1】（2024·全國·模擬預測）已知球是底面半徑為4、高為的圓錐的內切球，若球內有一個內接正三棱柱，則當該正三棱柱的側面積最大時，正三棱柱的體積為．【變式2】（2023上·四川·高二校聯(lián)考階段練習）已知在直三棱柱中存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為.【變式3】（2023上·江蘇·高三期末）與圓臺的上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內切球.若圓臺的上、下底面半徑分別為，且，則它的內切球的體積的最大值為.題型03空間幾何體與外接球問題【典例1】（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學?？计谀┱拿骟w的外接球與內切球的半徑比為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知菱形的邊長為2，且，將沿直線翻折為，記的中點為，當?shù)拿娣e最大時，三棱錐的外接球表面積為.【典例3】（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面為等腰三角形，，且，平面平面，點為三棱錐外接球上一動點，且點到平面的距離的最大值為，則球的表面積為．【變式1】（多選）（2024上·江蘇·高三統(tǒng)考期末）在四棱錐中，平面，，，四棱錐的外接球為球O，則（

）A．⊥ B．C． D．點O不可能在平面內【變式2】（2024·全國·模擬預測）正多面體被古希臘哲學家柏拉圖認為是構成宇宙的基本元素，也是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積為，平面截此正八面體的外接球所得截面的面積為．

【變式3】（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預測）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是，它的外接球表面積的最小值為.題型04平行、垂直的證明【典例1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動點.證明：平面.【典例2】（2024上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點．

(1)證明：平面平面；(2)利用題中條件能否得出平面？若不能，試添加一個適當?shù)臈l件后證明平面．【典例3】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學?？计谀┤鐖D，已知正四棱柱，(1)求證：平面；(2)求證：平面平面【變式1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點為的中點.證明：平面平面.

【變式2】（2024上·北京·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，E為的中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面.【變式3】（2024·全國·高二專題練習）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別是，的中點．求證：

(1)平面；(2)．題型05定義法求線面角【典例1】（2024上·上?！じ叨虾＝淮蟾街行？计谀┰谌鐖D所示的圓錐中，是頂點，是底面的圓心，、是圓周上兩點，且，．(1)若圓錐側面積為，求圓錐的體積；(2)設圓錐的高為2，是線段上一點，且滿足，求直線與平面所成角的正切值．【典例2】（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱臺中，平面平面，且，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【變式1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，所有的棱長都相等，側棱底面，求直線與平面所成角的正弦值.

【變式2】（2024上·重慶·高二統(tǒng)考期末）在如圖所示的四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別在棱AB，PC上，且滿足，．(1)證明：平面PAD；(2)若平面底面ABCD，和為正三角形，求直線EF與底面ABCD所成角的正切值．題型06等體積法求線面角【典例1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在多面體中，四邊形為矩形，，，，，，，，是的中點，為上一點（不是的中點）．(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【典例2】（2023上·重慶·高二重慶八中?？茧A段練習）如圖，直三棱柱體積為，為的中點，的面積為.(1)求到平面的距離；(2)若，平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.【變式1】（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在正六邊形中，將沿直線翻折至，使得二面角的大小為，為的中點，在線段上，平面．(1)記五棱錐的體積為，四面體的體積為，求；(2)求與平面所成角的正弦值．【變式2】（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預測）三棱柱中，為中點，．

(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值．題型07定義法，三垂線法求二面角【典例1】（2022上·河南·高二寶豐縣第一高級中學校聯(lián)考開學考試）如圖，在長方體中，為的中點，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【典例2】（2022上·湖南懷化·高二?？茧A段練習）如圖，在正方體中，(1)求異面直線與所成的角的大小；(2)求二面角的大小.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐中，已知平面.則二面角的正弦值為_____.【典例4】（2023·高一課時練習）已知正方體的棱長為1．(1)求異面直線與AC所成角的大?。?2)求二面角的余弦值．【變式1】（2022·高二課時練習）將邊長為a的正三角形ABC，沿BC邊上的高線AD將△ABC折起．C點變?yōu)辄c，若折起后B與兩點間的距離為，則二面角的大小為．【變式2】（2019·云南·高三云南師大附中校考階段練習）如圖,楔形幾何體由一個三棱柱截去部分后所得,底面?zhèn)让?,楔面是邊長為2的正三角形,點在側面的射影是矩形的中心,點在上,且（1）證明：平面；（2）求楔面與側面所成二面角的余弦值.【變式3】（2023·全國·高一專題練習）已知如圖邊長為的正方形外有一點且平面，，二面角的大小的正切值______．【變式4】（2023·上?！つM預測）直四棱柱，，，，，

(1)求證：；(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小的正切值

題型08面積投影法求二面角【典例1】（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_______.【典例2】（2023秋·高二課時練習）的邊在平面內，在內的射影是，設的面積為S，它和平面所成的一個二面角的大小為（為銳角），則的面積是__________．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知長方體的底面是邊長為1的正方形，側棱，過作平面分別交棱，于，，則四邊形面積的最小值為________.題型09等體積法求點面距離【典例1】（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學校聯(lián)考期末）已知正方體的棱長為為線段上的動點，則點到平面距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【典例2】（2024上·上?！じ叨虾煷蟾街行？计谀┰谥比庵?，，則點到平面的距離為.【典例3】（2