高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第37講 8.6.3平面與平面垂直（第1課時(shí) 平面與平面垂直的判定定理）（教師版）

第14講8.6.3平面與平面垂直（第1課時(shí)平面與平面垂直的判定定理）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，會(huì)求簡單的二面角的平面角。②掌握兩個(gè)平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直。③會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算。④能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角。⑤能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件。1.空間中平面與平面的垂直關(guān)系是“空間直線、平面的垂直”中的又一個(gè)重點(diǎn)，是繼直線、平面的平行關(guān)系，直線與平面的垂直關(guān)系之后的遷移與拓展，是“類比”與“轉(zhuǎn)化”思想的又一重要體現(xiàn).本節(jié)內(nèi)容包括二面角和兩個(gè)平面互相垂直的定義、判定與性質(zhì)，這一節(jié)的學(xué)習(xí)對(duì)理順“空間直線、平面的垂直”的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系、提高學(xué)生的綜合能力起著十分重要的作用.知識(shí)點(diǎn)1：二面角（1）二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．（2）符號(hào)語言：①二面角.②在,內(nèi)分別取兩點(diǎn)，(,),可記作二面角;③當(dāng)棱記作時(shí)，可記作二面角或者二面角.【即學(xué)即練1】（2024上·上?！じ叨虾＝淮蟾街行？计谀┰谡襟w中，二面角平面角的正切值為.【答案】【詳解】如圖取的中點(diǎn)，連接在正方體中，可知所以，所以二面角的平面角為設(shè)，所以所以故答案為：知識(shí)點(diǎn)2：二面角的平面角（1）定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn),以點(diǎn)為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直與直線的射線,,則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）說明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度；②二面角的大小與垂足在上的位置無關(guān)一個(gè)二面角的平面角有無數(shù)個(gè)，它們的大小是相等的；③構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內(nèi)”“垂直”.即二面角的平面角的頂點(diǎn)必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個(gè)條件缺一不可，前兩個(gè)要素決定了二面角的平面角大小的唯一性，后一個(gè)要素表明平面角所在的平面與棱垂直；④二面角的平面角的范圍是，當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，；當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，⑤當(dāng)兩個(gè)半平面垂直時(shí)，，此時(shí)的二面角稱為直二面角.知識(shí)點(diǎn)3：二面角的平面角求法（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)（一般取特殊點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法，要注意用二面角的平面角定義的三要素來找出平面角.（2）三垂線定理及其逆定理①定理：平面內(nèi)的一條直線如果和經(jīng)過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個(gè)面上的斜線的射影與二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也與二面角的棱垂直.從而確定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角.(4)轉(zhuǎn)化法：化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角（或其補(bǔ)角）.(5)向量法：用空間向量求平面間夾角的方法（該方法我們將在選擇性必修第一冊中學(xué)到).知識(shí)點(diǎn)4：求二面角的平面角步驟(1)找到或作出二面角的平面角；(2)證明(1)中的角就是所求的角；(3)計(jì)算出此角的大小以上步驟可概括為“一作、二證、三計(jì)算”知識(shí)點(diǎn)5：平面與平面垂直（1）定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.（2）符號(hào)語言:（3）圖形語言知識(shí)點(diǎn)4：平面與平面垂直的判定定理（1）定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)（2）符號(hào)（圖形）語言:，（3）應(yīng)用：線面垂直面面垂直.【即學(xué)即練2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體所有經(jīng)過四個(gè)頂點(diǎn)的平面中，垂直于平面的平面有．【答案】平面，平面，平面【詳解】連接面對(duì)角線，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以平面⊥平面，同理可知平面⊥平面，平面⊥平?故答案為：平面，平面，平面.題型01判斷面面垂直【典例1】（2023上·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，垂直于正方形所在平面，則以下關(guān)系錯(cuò)誤的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】B【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈酌鏋檎叫嗡砸驗(yàn)槠矫?，平面所以，而，所以平面，又因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?，故A正確；對(duì)于C，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，而，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)橛蛇x項(xiàng)C可得平面，而平面所以平面平面，故D正確.對(duì)于B，平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤.故選：B【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【詳解】因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選：C【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD所在的平面，則下列說法中正確的是．（寫出所有滿足要求的說法序號(hào)）①平面PAD⊥平面PAB；

②平面PAD⊥平面PCD；③平面PBC⊥平面PAB；

④平面PBC⊥平面PCD．【答案】①②③【詳解】①由矩形ABCD所在的平面，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故①正確；②由矩形ABCD所在的平面，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故②正確；③由矩形ABCD所在的平面，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故③正確；④依題意得，若平面PBC⊥平面PCD，作交于，平面PBC平面PCD，所以平面PCD，又平面，所以,因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?與矛盾，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，⊥底面，且為正方形，則此四棱錐表面中互相垂直的面有（

）A．6對(duì) B．5對(duì) C．4對(duì) D．3對(duì)【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以平面，同理平面，平面，平面；所以平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，?對(duì).故選：B．【變式2】（2023下·云南曲靖·高一?？计谥校┰谒睦忮FP-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD【答案】C【詳解】已知PA⊥底面ABCD，可得，又底面ABCD為矩形而平面，平面平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD又平面，平面PBC⊥平面PAB選項(xiàng)A，B，D可證明故選：C題型02平面與平面的垂直判定【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).證明：平面平面.

【答案】證明見解析【詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，則，取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?，，，則，且，可知四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，，可知四邊形為正方形，則，⊥，所以為等腰直角三角形，故，，即，又，平面，可得平面，因?yàn)槠矫妫云矫妗推矫?【典例2】（2024上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，且.將此平面四邊形沿折成直二面角，連接.(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）證明：為直二面角的平面角，平面平面，又平面平面，且平面，平面，又平面，，又在平面四邊形中，連接，由題意可知，，，又，平面平面，平面，又平面，平面平面.

【典例3】（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）在四面體中，分別是和的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?又，平面.所以平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面五邊形如圖1所示，其中，是正三角形．現(xiàn)將四邊形沿翻折，使得，得到的圖形如圖2所示．(1)求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接．

因?yàn)槭堑冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，，所以四邊形為矩形．所以．又因?yàn)?，所以，即．因?yàn)椋?，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【變?】（2024上·陜西寶雞·高二校考期末）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點(diǎn)在棱上.(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所?四邊形是直角梯形，，，因?yàn)?，所?所以，所以.又因?yàn)?，平面，所以平?又平面，所以平面平面.【變式3】（2024上·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，．(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）連接，與相交于點(diǎn)，連接，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則，為和的中點(diǎn)，，則，平面，，平面，平面，所以平面平面題型03補(bǔ)全面面垂直的條件【典例1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，PA⊥面ABCD，且ABCD為菱形，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足條件時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的即可）【答案】（答案不唯一）【詳解】根據(jù)面面垂直的判定可得，當(dāng)PC⊥平面MBD時(shí)，平面MBD⊥平面PCD，故可以考慮PC⊥平面MBD，此時(shí).當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可得，又，平面MBD，此時(shí)PC⊥平面MBD滿足題意.故答案為：（答案不唯一）【典例2】（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖所示，在正四棱柱中，是線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）【詳解】解：（1）連接，，在正四棱柱中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又，面，所以平面平面，又平面，所以平面?）因?yàn)樵谡睦庵?，面，面，所以，，面，所以面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槊婷?，要使平面平面，則平面與面重合，即在的中點(diǎn)時(shí)滿足題意，所以【典例3】（2023上·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱錐，底面正方形，為側(cè)棱的中點(diǎn)，.(1)求四棱錐體積；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請說明點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在；點(diǎn)為線段中點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)四棱錐的體積為，正方形的面積為，則：.故四棱錐的體積為：.（2）存在，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，理由如下：取的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接、，如下圖：因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以：，，所以：，所以：四邊形為平行四邊形，所以：，因?yàn)榈酌?，平面，所以：，又因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以：，且，平面，所以：平面，因?yàn)椋浩矫?，所以：，又因?yàn)椋海c(diǎn)為中點(diǎn)，所以：，又因?yàn)椋?，平面，所以：平面，又因?yàn)椋海裕浩矫?，又因?yàn)椋浩矫?，所以：平面平?故當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.【答案】BM⊥PC(或DM⊥PC)【詳解】∵△PAB≌△PAD，∴PB=PD，易知△PDC≌△PBC，當(dāng)BM⊥PC時(shí)，則有DM⊥PC，又BM∩DM=M，故，此時(shí)PC⊥平面MBD，PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.故答案為：BM⊥PC(或DM⊥PC).【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）【答案】（或，等都可）【詳解】解：可填，由為菱形，則，∵平面，平面，所以，又，∴平面，又平面，∴，又，，所以平面MBD，又因平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.故答案為：.（或，等都可）【變式3】（2023上·北京·高二北理工附中?？茧A段練習(xí)）如圖示，正方形與正三角形所在平面互相垂直，是的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)N，使面面？并證明你的結(jié)論.【答案】(1)證明見解析(2)存在點(diǎn)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)面面，證明見解析【詳解】（1），為的中點(diǎn)．，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．（2）存在點(diǎn)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，面面；證明如下：四邊形是正方形，為的中點(diǎn)，則，所以，又，所以，由（1）知，平面，平面，，又，平面，平面，平面，平面平面．

題型04求二面角的大小【典例1】（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在四面體ABCD中，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，斜邊，，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】

如圖，取AB中點(diǎn)M，連接CM，DM因?yàn)闉榈冗吶切?，為等腰直角三角形所以，故即為二面角的平面?因?yàn)椋?，所以所以即二面角的大小?故選：D.【典例2】（2024上·河南周口·高三周口恒大中學(xué)校考期末）正四棱錐中，底面邊長為，二面角為，則該四棱錐的高等于．【答案】【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)為，底面中心為，連接，因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以，中，，底面為正方形，故，所以是二面角的平面角，即，又在中，，所以，即該四棱錐的高為.故答案為：.【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【詳解】（1）∵平面，平面，∴，∵，，，如圖過作交于點(diǎn)，所以，，所以∴，，又平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）由（1）知平面，平面，∴，又有，故即二面角的平面角，∵平面，平面，∴，所以因?yàn)?，所以在中，，所以二面角的余弦值為．【變?】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體中，平面和平面ABCD所成二面角的大小是.

【答案】/【詳解】∵是正方體，∴平面，∴，，∴是平面和平面ABCD所成的二面角的平面角，∵，∴平面和平面ABCD所成的二面角的平面角為.故答案為：.【變式2】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，把和分別沿AE，DE折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P．(1)求證：平面⊥平面；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【詳解】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥．又∵，平面，∴⊥平面．又平面，∴平面⊥平面．（2）如圖所示，取的中點(diǎn)F，連接，∵四邊形為矩形，∴，因?yàn)椋浴?，⊥，故就是二面角的平面角．又⊥平面，平面，所以⊥，∵，∴，∴．∴二面角P－AD－E的大小為．【變式3】（2024·全國·高二專題練習(xí)）四邊形是正方形，平面，且．求：

(1)二面角的平面角的度數(shù)；(2)二面角的平面角的度數(shù)；(3)二面角的平面角的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）平面，平面，，又四邊形為正方形，，平面，平面，又平面，平面平面，二面角的平面角的度數(shù)為；（2）平面，平面，平面，，．為二面角的平面角．又由題意可得，二面角的平面角的度數(shù)為；（3）平面，平面，平面，，．為二面角的平面角．又四邊形為正方形，，即二面角的平面角的度數(shù)為.題型05求二面角最值（范圍）【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）證明見解析；（2）【詳解】（1）[方法一]：幾何法因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則．又因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．[方法二]：幾何法如圖所示，延長交的延長線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面．作，垂足為H，因?yàn)槠矫?，?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過作交于點(diǎn)G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當(dāng)時(shí)，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過D作的平行線交于點(diǎn)Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．【典例2】（2023上·四川成都·高二石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，已知平面四邊形是矩形，，，將四邊形沿翻折，使平面平面，再將沿著對(duì)角線翻折，得到，設(shè)頂點(diǎn)在平面上的投影為.

(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)在上，且，，證明：平面，并求的長度.(2)如圖3，當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)恰好落在的內(nèi)部（不包括邊界），求二面角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）點(diǎn)在平面ABCD上的射影為且點(diǎn)在上，點(diǎn)恰好落在邊上，平面平面ACD，又，平面平面平面，又平面，，又，，平面，平面,平面，平面,設(shè)，，則，，，，在中，,解得，.（2）作，交于，交于，如圖：

當(dāng)點(diǎn)O恰好落在的內(nèi)部(不包括邊界)時(shí)，點(diǎn)O恰好在線段EF上，又，，為二面角的平面角,當(dāng)時(shí)，由,可得，且，，故二面角的余弦值的取值范圍為【變式1】（2024上·湖北·高二期末）已知三棱錐的底面為等腰直角三角形，，，平面平面，三角形不是鈍角三角形且面積為，點(diǎn)在面上的射影為點(diǎn).

(1)證明：平面的充要條件是；(2)求二面角的正弦值的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明“必要性”：當(dāng)平面，有：由平面，平面，，由題意，故為的中點(diǎn)，在上，又平面，平面，，又為的中點(diǎn)，故三角形為等腰三角形，則.

證明“充分性”：當(dāng)，有平面：取中點(diǎn)，連接，由，得，又平面平面且交線為，平面，由面面垂直的性質(zhì)得平面，由題意點(diǎn)即為點(diǎn)，為中點(diǎn)，得，同理由，為中點(diǎn)，得，又平面，則平面.

（2）由三角形不是鈍角三角形且面積為，得到面的距離為1，由題知點(diǎn)在平面上的射影在線段上，作于，由平面平面，且交線為，平面，知平面，而平面，故，作于，平面，則平面，則即為二面角的平面角，如圖，過作直線，過作，垂足為，過作，垂足為，，又，故，，又，在直角三角形中，，,，，所以二面角的正弦值的取值范圍為.【變式2】（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)在棱上，平面.

(1)試確定點(diǎn)的位置，并說明理由；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)是的中點(diǎn)，理由見解析(2)【詳解】（1）是的中點(diǎn)，理由如下：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).底面是正方形，是的中點(diǎn).平面，平面，平面平面，.是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（2）令，連結(jié)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié).為正方形，.平面，.平面，平面.平面，.又平面，平面.平面，.即為二面角的平面角.，...，.

題型06根據(jù)二面角求參數(shù)【典例1】（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知二面角的平面角為，AB與平面所成角為．記的面積為，的面積為，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】作，垂足為E，連接，

因?yàn)?，即，平面，故平面，平面，故，又，故平面，平面，則在內(nèi)的射影在BE上，則為AB與平面所成角，即，由于，，故為二面角的平面角，即，，在中，，則，而，則，則，故，故選：C【典例2】（2024上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，為線段上的一點(diǎn)，且二面角的正切值為3，則三棱錐的外接球的體積為.

【答案】【詳解】

如圖，作，交于，則，過作交于點(diǎn)，連接.因?yàn)闉橹比庵?，則平面，且，則平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，則是二面角的平面角，所以，所以，又，，所以，所以，.可把三棱錐補(bǔ)成棱長為，，的長方體，則三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為.故答案為：【典例3】（2024·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）矩形的邊，過作直線的垂線，垂足分別為，且分別為的三等分點(diǎn).沿著將矩形翻折，使得二面角成直角，則長度為.【答案】/【詳解】解：因?yàn)榫匦蔚倪叄^作直線的垂線，垂足分別為，且分別為的三等分點(diǎn).故設(shè)，所以，，即，解得，所以，，所以，因?yàn)槎娼浅芍苯?，所以，異面直線所成角為，所以，.故答案為：.【典例4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1．在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

【答案】存在，【詳解】假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，連結(jié)，過作為垂足，并延長與相交于，連結(jié)．

因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以．所以為二面角的平面角的補(bǔ)角，即有．設(shè)，則．在中，，從而．在中，，解得．因此，存在符合題設(shè)條件的，且滿足．【變式1】（2023上·吉林長春·高三校考階段練習(xí)）如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】連接，，取中點(diǎn)，連接，四邊形為矩形，，，即為二面角的平面角，，又，，，為等邊三角形，；分別為中點(diǎn)，，，或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：D【變式2】（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，二面角為，則異面直線PC與AB所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，由，得為異面直線AB與PC所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接PE，PF，EF.由底面為正方形，為等邊三角形，得，，則即為二面角的平面角，所以．又平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所?設(shè)，則，在中，由余弦定理得，所以.又，，所以，又，在中，由余弦定理可得．故選：A．【變式3】（2023下·天津河西·高一統(tǒng)考期末）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，二面角為，則異面直線PC與AB所成角的余弦值為.【答案】/0.75【詳解】如圖，

由，得為異面直線AB與PC所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，連接PE，PF，EF．由底面ABCD為正方形，為等邊三角形，得，則即為二面角的平面角，所以．又平面平面，所以平面PEF，因?yàn)槠矫鍼EF，所以，又，所以．設(shè)，則，在中，由余弦定理得，所以．又，所以，又，在中，由余弦定理可得．故答案為：．【變式4】（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，在平行四邊形中，，，，將沿折起，使得點(diǎn)到點(diǎn)的位置，如圖2，經(jīng)過直線且與直線平行的平面為，平面平面，平面平面.(1)證明：.(2)若二面角的大小為，求的長.【答案】(1)證明詳見解析(2)【詳解】（1）由于，平面，平面平面，所以，由于，平面，平面平面，所以，所以.（2）折疊前，四邊形是平行四邊形，，所以，折疊后，過作，則四邊形是矩形，所以，所以是二面角的平面角，所以，由于，所以三角形是等邊三角形，所以，由于平面，所以平面，而，所以平面，由于平面，所以，，所以.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·北京豐臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對(duì)四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【詳解】對(duì)于①中，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，可得平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，，且平面，所以平面，所以①正確；對(duì)于②中，由平面，且平面，可得，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，所以②正確；對(duì)于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；對(duì)于④，中，因?yàn)槠矫妫移矫?，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)榕c不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在底面為正方形的四棱錐中，平面，與交于點(diǎn)，，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．直線平面 B．直線平面C．平面平面 D．直線與直線所成的角為【答案】D【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)樗睦忮F的底面為正方形，所以是的中點(diǎn).又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又平面，平面，所以直線平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以.而，則.又，平面，所以直線平面，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)槠矫妫矫?，所?又因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所?因?yàn)?，平面，所以平?又平面，所以平面平面，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所以，即直線與直線所成角為，故D錯(cuò)誤.故選：D.3．（2024上·重慶·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正三棱臺(tái)的上?下底面的邊長分別為6和12，且棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角為，則此三棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知正三棱臺(tái)的上底面面積為，下底面面積為，設(shè)中點(diǎn)為，為下、上底面中心，連接，過作底面交于，由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以為棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，即，因?yàn)椋?，所以，，所以此三棱臺(tái)的體積，故選：C4．（2024上·全國·高二期末）如圖，二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，，，，則該二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由條件，知，，.∴，故，∴，又∵，∴，∴二面角的大小為.故選：B.5．（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃c(diǎn)、在以為直徑的球的表面上，且，，已知球的表面積是，下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①平面；②平面平面；③．A． B． C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于①，因?yàn)闉榍虻闹睆?，為球上異于、的一點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，，、平面，所以，平面，①?duì)；對(duì)于②，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則為外接圓的圓心，由球的幾何性質(zhì)可知平面，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，則平面，又因?yàn)槠矫?，因此，平面平面，②?duì)；對(duì)于③，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，若，且，、平面，則平面，因?yàn)槠矫?，則，事實(shí)上，因?yàn)椋?，則為等腰直角三角形，且，這與矛盾，假設(shè)不成立，故與不垂直，③錯(cuò).故正確命題為①②.故選：C.6．（2023上·四川南充·高二閬中中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，空間四邊形的各邊都相等，分別是的中點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中不正確的是（

）

A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】C【詳解】A選項(xiàng)，連接，由于分別是的中點(diǎn)，所以，由于平面，平面，所以平面，所以A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，連接，由于三角形和三角形是等邊三角形，是的中點(diǎn)，所以，由于平面，所以平面，B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，幾何體是正四面體，設(shè)在底面上的射影為，連接，則平面，且是等邊三角形的中心，連接，由于分別是的中點(diǎn)，所以是等邊三角形的中位線，所以，所以平面與平面不垂直，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，連接，同理B選項(xiàng)的分析可得平面，由于平面，所以平面平面，所以D選項(xiàng)正確.

故選：C7．（2023上·吉林長春·高二長春市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何問題有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見．譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，其中，若，則到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】

取中點(diǎn)，連結(jié)，根據(jù)題意，平面，平面，所以平面平面，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面所以平面，且由題意可知，，則，即為直角三角形，，設(shè)到平面的距離為，且，即，.故選：B8．（2023下·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形中，，，，將沿折起，使平面平面，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，則，又平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，作于，平面，平面平面，所以平面，是到平面的距離，在直角三角形中，，得.

故選：B二、多選題9．（2023上·福建福州·高二?？茧A段練習(xí)）已知為兩個(gè)不同的平面，為三條不同的直線，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，且，則D．若，且，則【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則或相交，例如在正方體中，平面平面，且平面，可知平面，平面，故A不一定成立；對(duì)于選項(xiàng)B：若，由線面垂直的性質(zhì)可知，故B成立；對(duì)于選項(xiàng)C：若，且，則不一定垂直，例如在正方體中，平面∥平面，且平面，平面，，故C不一定成立；對(duì)于選項(xiàng)D：若，且，則不一定成立，例如在正方體中，平面平面，且平面，平面，可知，故D不一定成立；故選：ACD.10．（2023上·四川達(dá)州·高二達(dá)州市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為2，現(xiàn)將正方形沿其對(duì)角線進(jìn)行折疊，使其成為一個(gè)空間四邊形，在空間四邊形中，下列結(jié)論中正確的是（

）A．兩點(diǎn)間的距離滿足B．C．對(duì)應(yīng)三棱錐的體積的最大值為D．當(dāng)二面角為時(shí)，【答案】AB【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接對(duì)于，在正方形中，，將正方形沿其對(duì)角線進(jìn)行折疊，易得兩點(diǎn)間的距離滿足，故A正確；對(duì)于,，ON,OD含于面BOD平面，又平面，,故B正確；對(duì)于，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積的最大，最大為，故C錯(cuò)誤;對(duì)于,因?yàn)?，所以為二面角的平面角，則當(dāng)時(shí)，三角形為等邊三角形，則,故錯(cuò)誤，故選：AB.三、填空題11．（2023·山東德州·德州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知矩形，，，是邊的中點(diǎn)．和交于點(diǎn)，將沿折起，在翻折過程中當(dāng)與垂直時(shí)．異面直線和所成角的余弦值為．【答案】【詳解】矩形，，，是邊的中點(diǎn)，故，故，又，故∽，所以，則，故，將沿折起，在翻折過程中與垂直時(shí)，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以面和面垂直，因?yàn)?，平面，故⊥平面，連接，或其補(bǔ)角即為異面直線和所成角，因?yàn)?，，所以，故，則，又，故，即異面直線和所成角的余弦值為．故答案為：12．（2023上·陜西咸陽·高二咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，的二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，則長度為.【答案】【詳解】因?yàn)?所以所以.故答案為：.四、解答題13．（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.(1)證明：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：分別作的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，且四邊形為等腰梯形，可得，所以，在等腰梯形中，因?yàn)?，，可得，所以，因?yàn)槭钦切?，是中點(diǎn)，所以，又由，可知又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）解：由（1）知，，且為的中點(diǎn)，可得，過作于，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，且，所以，又由，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.14．（2023上·廣東廣州·高二廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)越秀學(xué)校?？计谥校┤鐖D，已知是圓柱下底面圓的直徑，點(diǎn)是下底面圓周上異于的動(dòng)點(diǎn)，，是圓柱的兩條母線．(1)求證：平面；(2)若，，圓柱的母線長為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）因?yàn)槭堑酌娴囊粭l直徑，是下底面圓周上異于的動(dòng)點(diǎn)，所以，又因?yàn)槭菆A柱的一條母線，所以底面，而底面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，且，所以平面，又因?yàn)?，所以平面平面；?）如圖所示，過作圓柱的母線，連接，因?yàn)榈酌?/上底面，所以即求平面與平面所成銳二面角的大小，因?yàn)樵诘酌娴纳溆盀?，且為下底面的直徑，所以為上底面的直徑，因?yàn)槭菆A柱的母線，所以平面，又因?yàn)闉樯系酌娴闹睆?，所以?/p>