2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題第18煉 利用導(dǎo)數(shù)解函數(shù)的最值含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題第18煉利用導(dǎo)數(shù)解函數(shù)的最值含答案第18煉函數(shù)的最值一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、函數(shù)的最大值與最小值：（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若，使得?duì)，均滿足，那么稱為函數(shù)的一個(gè)最大值點(diǎn)，稱為函數(shù)的最大值（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若，使得?duì)，均滿足，那么稱為函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn)，稱為函數(shù)的最小值（3）最大值與最小值在圖像中體現(xiàn)為函數(shù)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（4）最值為函數(shù)值域的元素，即必須是某個(gè)自變量的函數(shù)值。例如：，由單調(diào)性可得有最小值，但由于取不到4，所以盡管函數(shù)值無限接近于,但就是達(dá)不到。沒有最大值。（5）一個(gè)函數(shù)其最大值（或最小值）至多有一個(gè)，而最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）的個(gè)數(shù)可以不唯一，例如，其最大值點(diǎn)為，有無窮多個(gè)。2．“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系右圖為一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象．圖中與是極小值，是極大值．函數(shù)在上的最大值是，最小值是（1）“最值”是整體概念，是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對(duì)性；而“極值”是個(gè)局部概念，是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的，具有相對(duì)性．（2）從個(gè)數(shù)上看，一個(gè)函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；（3）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè)（4）極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值．3、結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值．4、最值點(diǎn)只可能在極值點(diǎn)或者邊界點(diǎn)處產(chǎn)生，其余的點(diǎn)位于單調(diào)區(qū)間中，意味著在這些點(diǎn)的周圍既有比它大的，也有比它小的，故不會(huì)成為最值點(diǎn)5、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值，得出函數(shù)在上的最值6、求函數(shù)最值的過程中往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，所以說，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是求最值與極值的基礎(chǔ)7、在比較的過程中也可簡化步驟：（1）利用函數(shù)單調(diào)性可判斷邊界點(diǎn)是否能成為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)（2）極小值點(diǎn)不會(huì)是最大值點(diǎn)，極大值點(diǎn)也不會(huì)是最小值點(diǎn)8、最值點(diǎn)的作用（1）關(guān)系到函數(shù)的值域（2）由最值可構(gòu)造恒成立的不等式：例如：，可通過導(dǎo)數(shù)求出，由此可得到對(duì)于任意的，均有，即不等式二、典型例題：例1：求函數(shù)的最值思路：首先判定定義域?yàn)?對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最值解：，令,解得：的單調(diào)區(qū)間為：，無最小值小煉有話說：函數(shù)先增再減，其最大值即為它的極大值點(diǎn)，我們可以將這種先增再減，或者先減再增的函數(shù)成為“單峰函數(shù)”，在單峰函數(shù)中，極值點(diǎn)即為函數(shù)的某個(gè)最值點(diǎn)。例2：已知函數(shù),是的一個(gè)極值點(diǎn)，求：（1）實(shí)數(shù)的值（2）判斷在區(qū)間上是否存在最大值和最小值解：（1）是的一個(gè)極值點(diǎn)（2）思路，由第（1）問可得，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間得到最值解：,令,解得：或的單調(diào)區(qū)間為：計(jì)算小煉有話說：在本題中，最小值的求解盡管不在所給區(qū)間中，但也需要代入到中計(jì)算，此時(shí)計(jì)算出的是函數(shù)左邊界的臨界值，如果，則函數(shù)就不存在最小值了。所以在求定義域?yàn)殚_區(qū)間的函數(shù)最值時(shí)，也要關(guān)注邊界處的臨界值。例3：已知函數(shù),是否存在實(shí)數(shù)，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由思路：利用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷最大最小值點(diǎn)的可能位置，進(jìn)而根據(jù)最大最小值解出解：，（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增或小煉有話說：本題在求最值時(shí)由于函數(shù)帶有參數(shù)，從而在解單調(diào)區(qū)間的過程中涉及到對(duì)參數(shù)的分類討論。從而確定最值的選?。ㄓ嘘P(guān)含參數(shù)單調(diào)區(qū)間的計(jì)算詳見2.1）例4：求函數(shù)()的最值思路一：考慮去掉絕對(duì)值得到一個(gè)分段函數(shù)，在利用導(dǎo)數(shù)求出每段的最值，再進(jìn)行比較解：恒成立當(dāng)時(shí)，可得：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減時(shí),當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)的最值為，思路二：考慮先求出絕對(duì)值里表達(dá)式的值域，然后在加上絕對(duì)值求出最值。解：令,令，解得:或的單調(diào)區(qū)間為：的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋捰性捳f：（1）第一種方法為處理含絕對(duì)值函數(shù)的常用方法，絕對(duì)值的函數(shù)中若絕對(duì)值內(nèi)部比較簡單，則通常先通過討論絕對(duì)值內(nèi)部的符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化成為分段函數(shù)進(jìn)行分析，而求分段函數(shù)的最值時(shí)可分別求出每一段的最值再進(jìn)行比較（2）第二種方法用于當(dāng)絕對(duì)值內(nèi)部的符號(hào)不易確定時(shí)（例如絕對(duì)值為0的點(diǎn)不好確定），也可考慮先求出內(nèi)部的取值范圍，再取絕對(duì)值進(jìn)而得到值域。例5：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求在上的最值思路：的單調(diào)區(qū)間可通過導(dǎo)數(shù)來確定，,是的極值點(diǎn)，而極值點(diǎn)是否在會(huì)影響最值點(diǎn)的選取，從而要依次進(jìn)行分類討論解：，令解得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增為的極小值點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增（2）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增下面比較的大小若時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上所述：時(shí)，時(shí)，，時(shí)，時(shí)，例6：已知函數(shù)在區(qū)間上取得最小值4，則___________．思路一：函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，，矛盾舍去；當(dāng)時(shí)，若，，為減函數(shù)，若，，為增函數(shù)，所以為極小值，也是最小值；①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以（矛盾）；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，所以．③當(dāng)，即時(shí)，在上的最小值為，此時(shí)（矛盾）．綜上．思路二：，令導(dǎo)數(shù)，考慮最小值點(diǎn)只有可能在邊界點(diǎn)與極值點(diǎn)處取得，因此可假設(shè)分別為函數(shù)的最小值點(diǎn),求出后再檢驗(yàn)即可。答案：小煉有話說：（1）思路一為傳統(tǒng)解法，即考慮函數(shù)是否有極值點(diǎn)，以及結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最小值點(diǎn)的位置，但由于函數(shù)含有參數(shù)，導(dǎo)致解單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)時(shí)要進(jìn)行分類討論，過程較為復(fù)雜（2）思路二的想法源于最值點(diǎn)的出處，即最值點(diǎn)只會(huì)在邊界點(diǎn)與極值點(diǎn)處產(chǎn)生，而本題中的邊界點(diǎn)與可能的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)較少，故采取先算再驗(yàn)的手段，方法比較簡便。例7：已知函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為，則________.思路：含有絕對(duì)值，故考慮利用分段函數(shù)去掉絕對(duì)值后尋找最值，先利用的條件確定的取值范圍，，由在上是增函數(shù)可得對(duì)任意的，恒成立，而，，，絕對(duì)值的分界點(diǎn)為，由及定義域需對(duì)是否在區(qū)間中進(jìn)行分類討論（1）當(dāng)時(shí)，則，可判斷出為減函數(shù)，故舍去（2）當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單增，。，所以。所以，從而有，解得。答案：例8：若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：觀察到真數(shù)部分為開口向上的拋物線，所以若取到最小值，則底數(shù)且真數(shù)取到最小值，而真數(shù)部分恒大于零，所以只需有大于零的最小值即可。，從而，解得，另一方面，所以答案：C例9：已知在區(qū)間上任取三個(gè)不同的數(shù),均存在以為邊長的三角形,則的取值范圍是.思路：考慮三角形成立的條件：兩條較短的邊的和大于第三邊，由于任取，也可取值域中的任意值。要保證能構(gòu)成三角形，滿足兩個(gè)條件：①均大于零，即，②極端情形短邊均取最小值，和大于第三邊即可。令結(jié)合定義域解得：，故在單調(diào)減，在單調(diào)增。，，答案：例10：若函數(shù)在上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．B．C．D．思路：，令或，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，為函數(shù)的極小值點(diǎn)。因?yàn)楹瘮?shù)在上有最小值，則函數(shù)的極小值點(diǎn)必在區(qū)間內(nèi)，且左端點(diǎn)的函數(shù)值不小于，,答案：C第19煉利用函數(shù)證明數(shù)列不等式利用函數(shù)證明不等式是在高考導(dǎo)數(shù)題中比較考驗(yàn)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，一方面以函數(shù)為背景讓學(xué)生探尋函數(shù)的性質(zhì)，另一方面體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)，進(jìn)而利用恒成立的不等式將沒有規(guī)律的數(shù)列放縮為為有具體特征的數(shù)列，可謂一題多考，巧妙地將函數(shù)，數(shù)列，不等式連接在一起，也是近年來高考的熱門題型。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、考察類型：（1）利用放縮通項(xiàng)公式解決數(shù)列求和中的不等問題（2）利用遞推公式處理通項(xiàng)公式中的不等問題2、恒成立不等式的來源：（1）函數(shù)的最值：在前面的章節(jié)中我們提到過最值的一個(gè)作用就是提供恒成立的不等式。（2）恒成立問題的求解：此類題目往往會(huì)在前幾問中進(jìn)行鋪墊，暗示數(shù)列放縮的方向。其中，有關(guān)恒成立問題的求解，參數(shù)范圍內(nèi)的值均可提供恒成立不等式3、常見恒成立不等式：（1）對(duì)數(shù)→多項(xiàng)式（2）指數(shù)→多項(xiàng)式4、關(guān)于前項(xiàng)和的放縮問題：求數(shù)列前項(xiàng)公式往往要通過數(shù)列的通項(xiàng)公式來解決，高中階段求和的方法有以下幾種：（1）倒序相加：通項(xiàng)公式具備第項(xiàng)與第項(xiàng)的和為常數(shù)的特點(diǎn)（2）錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差等比”的形式（例如，求和可用錯(cuò)位相減）（3）等比數(shù)列求和公式（4）裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可裂為兩項(xiàng)作差的形式，且裂開的某項(xiàng)能夠與后面項(xiàng)裂開的某項(xiàng)進(jìn)行相消。注：在放縮法處理數(shù)列求和不等式時(shí)，放縮為等比數(shù)列和能夠裂項(xiàng)相消的數(shù)列的情況比較多見，故優(yōu)先考慮。5、大體思路：對(duì)于數(shù)列求和不等式，要謹(jǐn)記“求和看通項(xiàng)”，從通項(xiàng)公式入手，結(jié)合不等號(hào)方向考慮放縮成可求和的通項(xiàng)公式。6、在放縮時(shí)要注意前幾問的鋪墊與提示，尤其是關(guān)于恒成立問題與最值問題所帶來的恒成立不等式，往往提供了放縮數(shù)列的方向7、放縮通項(xiàng)公式有可能會(huì)進(jìn)行多次，要注意放縮的方向：朝著可求和的通項(xiàng)公式進(jìn)行靠攏（等比數(shù)列，裂項(xiàng)相消等）8、數(shù)列不等式也可考慮利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明（有時(shí)更容易發(fā)現(xiàn)所證不等式與題目條件的聯(lián)系）二、典型例題：例1：已知函數(shù)在處取得極值（1）求實(shí)數(shù)的值（2）證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式都成立解：（1）為的極值點(diǎn)（2）思路一：聯(lián)想所證不等式與題目所給函數(shù)的聯(lián)系，會(huì)發(fā)現(xiàn)在中，存在對(duì)數(shù)，且左邊數(shù)列的通項(xiàng)公式也具備項(xiàng)的特征，所以考慮分析與的大小關(guān)系，然后與數(shù)列進(jìn)行聯(lián)系。解：下面求的單調(diào)區(qū)間,令即（每一個(gè)函數(shù)的最值都會(huì)為我們提供一個(gè)恒成立的不等式，不用白不用！觀察剛好與所證不等式不等號(hào)方向一致）令，則即 即小煉有話說：（1）此不等式實(shí)質(zhì)是兩組數(shù)列求和后的大小關(guān)系（），通過對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小關(guān)系決定求和式子的大小。此題在比較項(xiàng)的大小時(shí)關(guān)鍵是利用一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)的最值，而這個(gè)函數(shù)往往由題目所給。另外有兩點(diǎn)注意：①關(guān)注函數(shù)最值所產(chǎn)生的恒成立不等式②注意不等號(hào)的方向應(yīng)該與所證不等式同向（2）解決問題后便明白所證不等式為何右邊只有一個(gè)對(duì)數(shù)，其實(shí)也是在作和，只是作和時(shí)對(duì)數(shù)合并成一項(xiàng)（與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和真數(shù)的特點(diǎn)相關(guān)），所以今后遇到類似問題可猜想對(duì)數(shù)是經(jīng)歷怎樣的過程化簡來的，這往往就是思路的突破點(diǎn)思路二：發(fā)現(xiàn)不等式兩邊均有含的表達(dá)式，且一側(cè)作和，所以考慮利用數(shù)學(xué)歸納法給予證明：解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，不等式為成立②假設(shè)時(shí)，不等式成立（即）當(dāng)時(shí)，若要證只需證（下同思路一：分析的最值可得）令，由恒成立不等式可得即所證不等式成立③，均有小煉有話說：利用數(shù)學(xué)歸納法證明要注意兩點(diǎn)：（1）格式的書寫（2）要利用所假設(shè)的條件例2：已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（3）求證：（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）解：（1）常規(guī)解法，求出單調(diào)區(qū)間找最值,令求出單調(diào)區(qū)間如下：（2）解：函數(shù)圖像上的點(diǎn)都在區(qū)域內(nèi)，條件等價(jià)于,恒成立，即令令即①時(shí)，不符合題意（此時(shí)發(fā)現(xiàn)單調(diào)性并不能直接舍掉的情況，但可估計(jì)函數(shù)值的趨勢(shì)，恒為正，而早晚會(huì)隨著值的變大而為正數(shù)，所以必然不符合題意。在書寫時(shí)可構(gòu)造反例來說明，此題只需即可，所以選擇）②時(shí)，即在單調(diào)遞減，符合題意綜上所述：（3）思路：觀察所證不等式，左邊連乘，右邊是，可以想到利用兩邊取對(duì)數(shù)“化積為和”，同時(shí)利用第二問的結(jié)論。第二問給我們提供了恒成立的不等式，時(shí)，，取，即，則可與左邊的求和找到聯(lián)系。解：所證不等式等價(jià)于由（2）可得，令，即（左邊可看做是數(shù)列求和，利用結(jié)論將不等式左邊的項(xiàng)進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化成可求和的數(shù)列——裂項(xiàng)相消）不等式得證小煉有話說：（1）第二問中代數(shù)方法與數(shù)形結(jié)合方法的抉擇（體會(huì)為什么放棄線性規(guī)劃思路），以及如何將約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)楹愠闪栴}（2）對(duì)數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)：化積為和。題目中沒有關(guān)于乘積式的不等關(guān)系，于是決定變?yōu)楹褪剑?）利用上一問的結(jié)論放縮通項(xiàng)公式，將不可求和轉(zhuǎn)變?yōu)榭汕蠛?，進(jìn)而解決問題例3：已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求滿足條件的正整數(shù)的值；（3）求證：.解：（1）若當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減（2）思路：不等式等價(jià)于，即而在第（1）問中即為的分子，故考慮利用來確定的符號(hào)，進(jìn)而求出的單調(diào)區(qū)間及最值解：，由（1）得單調(diào)遞增,(盡管無法直接求出的零點(diǎn)，但可估計(jì)出且，所以可估計(jì)零點(diǎn)的所在區(qū)間）的單調(diào)區(qū)間如下：（3）思路：由第（2）問得時(shí)，均有，所證不等式可兩邊同取對(duì)數(shù)“化積為和”，再考慮利用結(jié)論進(jìn)行放縮解：所證不等式等價(jià)于：由第（2）問可得：即原不等式成立。（如果從第一項(xiàng)就進(jìn)行縮小，則，發(fā)現(xiàn)縮小過度但差距不大，所以進(jìn)行調(diào)整，第一項(xiàng)不變，其余放縮。這樣不僅減少縮小的尺度，同時(shí)不改變求和規(guī)律）小煉有話說：這道題是對(duì)書中幾篇文章所講技巧的一個(gè)綜合。所涉內(nèi)容如下：（1）第二問中對(duì)零點(diǎn)的處理，參見：3.1.3最值分析法（2）第三問中數(shù)列放縮后的調(diào)整值得注意，放縮的過程中有可能存在“放過頭”的情況，往往是由于前幾項(xiàng)放縮程度過大造成的（通常越大，放縮的程度越?。?，所以考慮數(shù)列前幾項(xiàng)不進(jìn)行放縮，然后再看不等式能否成立，若一直都“過度”一點(diǎn)點(diǎn)，那么就要考慮是否另選放縮方案了。例4：設(shè)函數(shù)，其中。:（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立。解析：（1），令即解不等式①時(shí)方程的兩根，的單調(diào)區(qū)間為：②時(shí)，恒成立在單調(diào)遞增（2）考慮時(shí)，則令在恒成立在單調(diào)遞增，令即：例5：已知函數(shù)的最小值為0，其中。（1）求的值（2）若對(duì)任意的，有成立，求實(shí)數(shù)的最小值（3）證明：解：（1）,定義域令解得，的單調(diào)區(qū)間為：（2）當(dāng)時(shí)，取，有，故不合題意。當(dāng)時(shí)，令，即。，令，得當(dāng)時(shí)，在上恒成立因此在上單調(diào)遞減，對(duì)于任意的，總有，即在上恒成立。故符合題意。當(dāng)時(shí)，，，在內(nèi)單調(diào)遞增，取時(shí)，，即不成立。故不合題意綜上，的最小值為。（3）由第（2）問可得：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立令即即例6：已知函數(shù)（1）求的最大值；（2）證明不等式：。解：（1），令，單調(diào)區(qū)間如下：（2）思路：左邊可看做數(shù)列求和，其通項(xiàng)公式為，無法直接求和，所以考慮利用條件進(jìn)行放縮，右邊是分式，可以猜想是等比數(shù)列求和后的結(jié)果，所以將放縮為等比數(shù)列模型。由（1）可得，令進(jìn)行嘗試解：由（1）可得令，即（尋找次方的來源）不等式得證小煉有話說：此題的第（3）問將數(shù)列通項(xiàng)公式放縮為等比數(shù)列求和，如果不等式的一側(cè)是一個(gè)分?jǐn)?shù)，則可向等比數(shù)列求和的結(jié)果考慮（猜想公比與首項(xiàng)）。例7：函數(shù).（1）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.（1）解：恒成立不等式等價(jià)于：，令(注：在中這三個(gè)自變量的函數(shù)值最便于計(jì)算，進(jìn)而選擇代入）可視為關(guān)于的一次函數(shù)且遞增令則對(duì)恒成立。若要，只需，下面進(jìn)行證明：,只需證即可考慮時(shí)，從而（注：導(dǎo)數(shù)無法求出極值點(diǎn)，故引入抽象的極值點(diǎn),但要利用零點(diǎn)存在性定理估計(jì)所在區(qū)間）,使得且當(dāng)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增恒成立,進(jìn)而對(duì)每一個(gè)均滿足（2）思路：將左邊視為數(shù)列求和，其通項(xiàng)公式為(注意左邊是項(xiàng)求和），考慮利用前面條件對(duì)通項(xiàng)公式放縮：令，則恒成立，但如果直接進(jìn)行代入，不等號(hào)右邊的無法處理，進(jìn)而無法與所證不等式的右邊找到聯(lián)系?？紤]將挪至左側(cè)并與合角，進(jìn)而將三角函數(shù)放縮為多項(xiàng)式。再根據(jù)求和特點(diǎn)進(jìn)行求和解：由（2）可得：令可得(注：通項(xiàng)公式為，而恒成立不等式中的三角函數(shù)為，所以令，反求即可）小煉有話說：（1）關(guān)注本題第二問恒成立的求法（具體可參見3.3.3有關(guān)內(nèi)容），在證明上需要極值點(diǎn)而無法直接求出時(shí)可先用抽象的代替，但要確定好所處的大概區(qū)間（2）第三問對(duì)第二問的結(jié)論稍加變形（即將與進(jìn)行合角，而不是直接代入)的應(yīng)用是本題的一大亮點(diǎn)。方程，不等式的變形目的是將條件與結(jié)論能夠連接起來，所以構(gòu)造時(shí)要關(guān)注所求不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。（3）第三問不等式的左邊有兩個(gè)細(xì)節(jié)：第一個(gè)是左邊求和的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng)，第二個(gè)在中，同一個(gè)所代表的含義不同。分母每一項(xiàng)都是,與項(xiàng)數(shù)相關(guān)。給定一個(gè)，數(shù)列項(xiàng)的分母就固定了。而分子的代表的是序數(shù)，可發(fā)現(xiàn)數(shù)列中分子是在不斷變化的，從1變到,在，同一個(gè)在分子分母中扮演的角色不同。所以在寫通項(xiàng)公式時(shí)，引入了字母用來區(qū)分序數(shù)與項(xiàng)數(shù)。例8：定義：若在上為增函數(shù)，則稱為“次比增函數(shù)”，其中，已知:（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值（2）求證：解：（1）令解得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增①時(shí)，②，③，綜上所述：（2）由第（1）問可得：時(shí)，，即所求和的通項(xiàng)公式為，由可得：，令，可得：例9：已知函數(shù)（1）設(shè)，討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（2）記，若對(duì)任意正整數(shù)，對(duì)任意恒成立，則稱在上是“高效”的。試判斷是否在上是“高效”的？若是，請(qǐng)給出證明，若不是，請(qǐng)說明理由解：（1），令即的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)設(shè)，，令解得單調(diào)區(qū)間如下：，草圖如下：或時(shí)，無零點(diǎn)或，一個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)（2）思路：觀察到結(jié)構(gòu)上與（2）中的很相似，而實(shí)質(zhì)上是，故考慮對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行放縮使得求和具有規(guī)律性，結(jié)合的特點(diǎn)可寫成（將視為