高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第30講 8.4.2 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（教師版）

第07講8.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解空間中兩直線間的位置關(guān)系。②理解空間中直線與平面的位置關(guān)系。③掌握空間中平面與平面的位置關(guān)系。1.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，逐步改變學(xué)生只習(xí)慣于在一個(gè)平面內(nèi)考慮問題的狀態(tài)學(xué)生將對立體幾何的認(rèn)識(shí)日漸提高，同時(shí)更好地提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)；知識(shí)點(diǎn)01：異面直線（1）異面直線的概念不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（2）異面直線的畫法畫異面直線時(shí),為了體現(xiàn)它們不共面的特點(diǎn)，常借助一個(gè)或兩個(gè)平面來襯托（3）異面直線的判定①定義法②兩直線既不平行也不相交知識(shí)點(diǎn)02：空間中直線與直線的位置關(guān)系eq\a\vs4\al(位置,關(guān)系)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；,平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).))知識(shí)點(diǎn)03：空間中直線與平面的位置關(guān)系（1）直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線在平面外直線與平面相交直線與平面平行公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)只有1個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符合表示圖形表示【即學(xué)即練1】（2024上·上?！じ叨虾Ｊ袕?fù)旦中學(xué)校考期末）直線上所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，可以用符號(hào)表示為．【答案】【詳解】由題意直線上所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，則直線l在平面α內(nèi)，故用符號(hào)表示為，故答案為：（2）直線與平面的位置關(guān)系的分類①按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類：②按直線是否在平面內(nèi)分類：（3）直線與平面的位置關(guān)系的畫法①直線在平面內(nèi)的畫法把直線畫在表示平面的平行四邊形內(nèi)②直線與平面相交的畫法把直線的一部分畫在表示平面的平行四邊形外，作出有且只有一個(gè)的交點(diǎn)，直線被平面遮擋的部分不畫或畫為虛線③直線與平面平行的畫法把直線畫在表示平面的平行四邊形外，并使直線與表示平面的平行四邊形的組對邊平行.知識(shí)點(diǎn)04：空間中平面與平面的位置關(guān)系（1）平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(在一條直線上)符號(hào)表示圖形表示（2）平面與平面的位置關(guān)系的分類（3）平面與平面的位置關(guān)系的畫法①兩個(gè)平面平行的畫法當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，要注意把表示平面的平行四邊形畫成對應(yīng)邊平行②兩個(gè)平面相交的畫法：被遮住的線，可以用虛線表示，也可以不畫題型01空間中兩條直線位置關(guān)系的判斷【典例1】（2024上·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在空間中，若兩條直線與沒有公共點(diǎn)，則a與b（

）A．相交 B．平行 C．是異面直線 D．可能平行，也可能是異面直線【答案】D【詳解】由題意知在空間中，兩條直線與沒有公共點(diǎn)，即與不相交，則a與b可能平行，也可能是異面直線，故選：D【典例2】（2024上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若直線，直線，則直線b、c的位置關(guān)系為.（用文字表述）【答案】相交或異面【詳解】假設(shè)，因?yàn)椋善叫芯€的傳遞性可知，與條件相矛盾，所以直線b、c的位置關(guān)系可以是相交或者異面，如圖1，直線b、c相交，如圖2，直線b、c異面，故答案為：相交或異面.【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在棱長為1的正四面體中，直線與是（

）．A．平行直線 B．相交直線 C．異面直線 D．無法判斷位置關(guān)系【答案】C【詳解】作出正四面體，如圖，

因?yàn)槠矫?，平面，，平面，所以與是異面直線.故選：C.【變式2】（2024上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知三條直線，，滿足且，則與（

）A．平行 B．垂直 C．共面 D．異面【答案】B【詳解】若且，根據(jù)空間直線垂直的定義，可得，不平行，有可能共面，也有可能異面.故選：B.題型02直線與平面的位置關(guān)系【典例1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）“直線與平面沒有公共點(diǎn)”是“直線與平面平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】若直線與平面沒有公共點(diǎn)，那直線與平面只能平行，故充分條件成立；若直線與平面平行，則直線與平面沒有公共點(diǎn)，故必要性也成立，所以“直線與平面沒有公共點(diǎn)”是“直線與平面平行”的充分必要條件.故選：.【典例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，則下列直線與平面的位置關(guān)系是什么？（1）AM所在的直線與平面ABCD；（2）CN所在的直線與平面ABCD；（3）AM所在的直線與平面CDD1C1；（4）CN所在的直線與平面A1B1C1D1.【答案】（1）相交；（2）相交；（3）平行；（4）相交.【詳解】（1）平面ABCD，平面ABCD，AM所在的直線與平面ABCD相交.（2）平面ABCD，平面ABCD，CN所在的直線與平面ABCD相交.（3）因?yàn)樵谡襟w中，平面平面CDD1C1,平面,所以AM所在的直線與平面CDD1C1平行.（4）因?yàn)镃N所在的直線與平面ABCD相交，平面平面，所以CN所在的直線與平面A1B1C1D1相交.【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知空間中點(diǎn)A，B，直線l，平面α，若，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．l與ɑ相交 C． D．以上都有可能【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋詌與ɑ相交，故選：B【變式2】（2024·全國·高二專題練習(xí)）若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a與的位置關(guān)系是．【答案】或【詳解】若直線在平面外，則；若直線在平面內(nèi)，符合條件.或故答案為:或題型03平面與平面的位置關(guān)系【典例1】（2023上·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試），是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】D【詳解】充分性：若，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，且，，則由不能推出，也可能相交，故充分性不成立；必要性：若，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，且，，則由不能推出，也可能異面，故必要性不成立；故“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D【典例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面，和直線a，b，且，，，則與的位置關(guān)系是；【答案】或與相交【詳解】由，，，得或與相交，如圖所示:

故答案為:或與相交.【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）兩條直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面，若兩個(gè)平面不相交，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系為．【答案】平行【詳解】解：因?yàn)閮蓚€(gè)平面不相交，所以這兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，所以，這兩個(gè)平面平行．故答案為：平行【變式2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）若點(diǎn),則平面與平面α的位置關(guān)系是．【答案】相交【詳解】∵點(diǎn)，即平面與平面有公共點(diǎn)，且不重合，∴平面與平面的位置關(guān)系是相交．故答案為:相交題型04異面直線【典例1】（2023上·上?！じ叨A師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知正方體，設(shè)直線平面，直線平面，記正方體12條棱所在直線構(gòu)成的集合為．給出下列四個(gè)命題：①中可能有4條直線與a異面；②中可能有5條直線與a異面；③中可能有8條直線與b異面；④中可能有10條直線與b異面．A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④【答案】C【詳解】當(dāng)直線取時(shí)，中只有四條直線（、、、）與直線異面，故①正確；因?yàn)橹本€平面，所以不可能與直線異面，當(dāng)直線過底面兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，若直線為底面邊所在直線，則由①可知，此時(shí)只有四條直線與直線異面；若直線為底面對角線，不妨設(shè)為，此時(shí)有超過5條直線與直線異面；當(dāng)直線只過底面一個(gè)頂點(diǎn)（不妨設(shè)過頂點(diǎn)）時(shí)，此時(shí)至少有超過5條直線與直線異面；當(dāng)直線不過底面任何一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)至少有超過5條直線與直線異面；綜上，中不可能有5條直線與a異面，故②錯(cuò)誤；當(dāng)直線取線段AD中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)連線時(shí)，中除了AD和之外的10條棱均與直線異面，故④正確；當(dāng)直線取A點(diǎn)與線段的中點(diǎn)連線時(shí)，中除了AD、、AB和之外的8條棱均與直線異面，故③正確；故選：C.【典例2】（2023上·北京海淀·高二北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是.①②③④【答案】②【詳解】由正方體的性質(zhì)易知當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，而，所以共面，則、在平面上，故①不符題意；因?yàn)?，即共面，易知平面，而平面，，，故與異面，故②符合題意；當(dāng)重合時(shí)，易知，則四邊形是平行四邊形，則此時(shí)，故③不符合題意；當(dāng)重合時(shí)，顯然，相交，故④不符合題意.故答案為：②【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，棱柱中，，底面，，是棱的中點(diǎn)．求證：直線與直線為異面直線．

【答案】證明見解析【詳解】棱柱中，假設(shè)直線與直線共面，∵點(diǎn)平面，∴平面，而平面，且平面平面，即平面，∴矛盾，假設(shè)不成立，故直線與直線為異面直線；【變式1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在正六棱柱的所有棱中任取兩條，則它們所在的直線是互相垂直的異面直線共有對．（用數(shù)字作答）【答案】48【詳解】考慮側(cè)棱與底面垂直，與底面的直線都垂直，6條側(cè)棱，每一條側(cè)棱與一個(gè)底面中的4條直線是互相垂直的異面直線，有上下兩個(gè)底面，則其中是互相垂直的異面直線共有2×6×4＝48（種）.故答案為：48.【變式2】（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）已知、是異面直線，直線直線，則直線與直線b的位置關(guān)系是.【答案】相交或異面【詳解】若，因?yàn)?，則，與已知、是異面直線矛盾，所以直線與直線b不平行，則當(dāng)直線與直線b在同一平面則相交，當(dāng)直線與直線b不在同一平面則異面，故答案為：相交或異面.【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體中，棱長為2，點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn)．連接CE，求證：直線CE與直線是異面直線．【答案】證明見解析【詳解】因?yàn)槠矫妫矫妫?平面，所以與是異面直線．

題型05平面分空間問題【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分的示意圖是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】對于A，三個(gè)平面將空間分成4個(gè)部分，不合題意；對于B，三個(gè)平面將空間分成6個(gè)部分，不合題意；對于C，三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分，符合題意；對于D，三個(gè)平面將空間分成8個(gè)部分，不合題意.故選：C【典例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）空間的4個(gè)平面最多能將空間分成（

）個(gè)區(qū)域．A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【詳解】一個(gè)平面把空間分成2部分，兩個(gè)平面最多把空間分面4部分，3個(gè)平面最多把空間分布8個(gè)部分，前三個(gè)平面與第4個(gè)平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個(gè)平面，最多分成7部分，這里平面的每一部分就是第四個(gè)平面與前三個(gè)平面分空間部分的截面，這個(gè)截面把所在空間部分一分為二，這樣所有空間部分的個(gè)數(shù)為．故選：C．【典例3】（2024·全國·高二專題練習(xí)）正方體的6個(gè)面無限延展后把空間分成個(gè)部分【答案】【詳解】正方體的6個(gè)面無限延展后把空間分成個(gè)部分.故答案為：【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）平面α，β，γ不能將空間分成（）A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分【答案】A【詳解】三個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成4個(gè)部分；三個(gè)平面相交于同一條直線時(shí)，將空間分成6個(gè)部分；當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，將空間分成6個(gè)部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且有三條交線時(shí)，將空間分成7個(gè)部分；當(dāng)有兩個(gè)平面相交，第三個(gè)平面截兩個(gè)相交平面時(shí)，可將空間分成8個(gè)部分．所以平面α，β，γ不能將空間分成5部分．故選：A．【變式2】（2024上·上?！じ叨虾＝淮蟾街行？计谀┛臻g直角坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)平面將空間分為個(gè)部分．【答案】8【詳解】根據(jù)題意，兩平面相交，將空間分成了4部分，然后再一平面與那兩個(gè)平面都垂直相交，則將原來的每部分一分為二，故空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面把空間分成了8部分.故答案為：8.【變式3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如果3個(gè)平面把空間分成4部分，那么這3個(gè)平面有怎樣的位置關(guān)系？如果3個(gè)平面把空間分成6部分，那么這3個(gè)平面有怎樣的位置關(guān)系？畫圖說明．【答案】見解析【詳解】3個(gè)平面把空間分成4部分，則這3個(gè)平面需要平行；

3個(gè)平面把空間分成6部分，那么這3個(gè)平面相交于一條直線或其中2個(gè)平面平行與第3個(gè)平面相交.

A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·上海·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，M、N分別為棱、的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與是異面直線；④直線AM與是異面直線．其中正確的結(jié)論為（

）A．③④ B．①② C．①③ D．②④【答案】A【分析】根據(jù)異面直線的定義逐一判斷.【詳解】∵A、M、三點(diǎn)共面，且在平面，但平面，，∴直線AM與是異面直線，故①錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，平面，但平面，，所以直線AM與BN也是異面直線，故②錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫妫矫?，但平面，，所以直線BN與是異面直線，故③正確；因?yàn)槠矫妫矫?，但平面，，所以直線AM與是異面直線，故④正確．故選：A．2．（2024上·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在空間中，若兩條直線與沒有公共點(diǎn)，則a與b（

）A．相交 B．平行 C．是異面直線 D．可能平行，也可能是異面直線【答案】D【分析】根據(jù)空間直線的位置關(guān)系判斷，即可得答案.【詳解】由題意知在空間中，兩條直線與沒有公共點(diǎn)，即與不相交，則a與b可能平行，也可能是異面直線，故選：D3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）“直線與平面沒有公共點(diǎn)”是“直線與平面平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】從充分性和必要性兩方面來分析即可.【詳解】若直線與平面沒有公共點(diǎn)，那直線與平面只能平行，故充分條件成立；若直線與平面平行，則直線與平面沒有公共點(diǎn)，故必要性也成立，所以“直線與平面沒有公共點(diǎn)”是“直線與平面平行”的充分必要條件.故選：.4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在棱長為1的正四面體中，直線與是（

）．A．平行直線 B．相交直線 C．異面直線 D．無法判斷位置關(guān)系【答案】C【分析】利用異面直線的判斷方法判斷即可.【詳解】作出正四面體，如圖，

因?yàn)槠矫?，平面，，平面，所以與是異面直線.故選：C.5．（2023下·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知空間中點(diǎn)A，B，直線l，平面α，若，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．l與ɑ相交 C． D．以上都有可能【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)、線和平面的位置關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，，所以l與ɑ相交，故選：B二、多選題6．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法中正確的是（

）A．若直線與平面不平行，則l與相交B．直線在平面外，則直線上不可能有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)C．如果直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則直線與平面平行D．如果是異面直線，，，則，是異面直線【答案】BD【分析】根據(jù)線線、線面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對A，若直線與平面不平行，則與相交或，故A錯(cuò)誤；對B，直線在平面外，則直線與平面平行或相交，故直線在平面無交點(diǎn)或僅有個(gè)交點(diǎn)，故B正確；對C，若直線與平面相交，直線上仍存在兩個(gè)在平面不同側(cè)的點(diǎn)到平面的距離相等，則故C錯(cuò)誤；對D，如果是異面直線，，則異面，則是異面直線，故D正確.故選：BD三、填空題7．（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若是異面直線，直線，則c與b的位置關(guān)系是.【答案】相交或異面【分析】利用異面直線的定義與平面相關(guān)定理即可得解.【詳解】因?yàn)槭莾蓷l異面直線，直線，所以過b任一點(diǎn)可作與a平行的直線c，此時(shí)c與b相交；另外，c與b不可能平行，理由如下：若，則由可得到，這與a，b是兩條異面直線矛盾，故