2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題第23煉 恒成立問題-數(shù)形結(jié)合法含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題第23煉恒成立問題——數(shù)形結(jié)合法第23煉恒成立問題——數(shù)形結(jié)合法一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、函數(shù)的不等關(guān)系與圖像特征：（1）若，均有的圖像始終在的下方（2）若，均有的圖像始終在的上方2、在作圖前，可利用不等式的性質(zhì)對(duì)恒成立不等式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)可作圖的函數(shù)3、要了解所求參數(shù)在圖像中扮演的角色，如斜率，截距等4、作圖時(shí)可“先靜再動(dòng)”，先作常系數(shù)的函數(shù)的圖像，再做含參數(shù)函數(shù)的圖象（往往隨參數(shù)的不同取值而發(fā)生變化）5、在作圖時(shí)，要注意草圖的信息點(diǎn)盡量完備6、什么情況下會(huì)考慮到數(shù)形結(jié)合？利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，往往具備以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）所給的不等式運(yùn)用代數(shù)手段變形比較復(fù)雜，比如分段函數(shù)，或者定義域含參等，而涉及的函數(shù)便于直接作圖或是利用圖像變換作圖（2）所求的參數(shù)在圖像中具備一定的幾何含義（3）題目中所給的條件大都能翻譯成圖像上的特征二、典型例題：例1：已知不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________思路：本題難于進(jìn)行參變分離，考慮數(shù)形結(jié)合解決，先作出的圖像，觀察圖像可得：若要使不等式成立，則的圖像應(yīng)在的上方，所以應(yīng)為單增的對(duì)數(shù)函數(shù)，即，另一方面，觀察圖像可得：若要保證在時(shí)不等式成立，只需保證在時(shí)，即可，代入可得：，綜上可得：答案：小煉有話說：（1）通過常系數(shù)函數(shù)圖像和恒成立不等式判斷出對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而縮小了參數(shù)討論的取值范圍。（2）學(xué)會(huì)觀察圖像時(shí)要抓住圖像特征并抓住符合條件的關(guān)鍵點(diǎn)（例如本題中的）（3）處理好邊界值是否能夠取到的問題例2：若不等式對(duì)于任意的都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________思路：本題選擇數(shù)形結(jié)合，可先作出在的圖像，扮演的角色為對(duì)數(shù)的底數(shù)，決定函數(shù)的增減，根據(jù)不等關(guān)系可得，觀察圖像進(jìn)一步可得只需時(shí)，，即，所以答案：例3：若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍思路：恒成立不等式變形為，即的圖像在圖像的上方即可，先作出的圖像，對(duì)于，可看作經(jīng)過平移得到，而平移的距離與的取值有關(guān)。通過觀察圖像，可得只需，解得：答案：小煉有話說：在本題中參數(shù)的作用是決定圖像平移變換的程度，要抓住參數(shù)在圖像中的作用，從而在數(shù)形結(jié)合中找到關(guān)于參數(shù)的范圍要求例4：若,不等式恒成立,則的取值范圍是______思路：本題中已知的范圍求的范圍，故構(gòu)造函數(shù)時(shí)可看作關(guān)于的函數(shù)，恒成立不等式變形為,設(shè),即關(guān)于的一次函數(shù)，由圖像可得：無論直線方向如何，若要，只需在端點(diǎn)處函數(shù)值均大于0即可，即,解得：或答案：或小煉有話說：（1）對(duì)于不等式，每個(gè)字母的地位平等，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)哪個(gè)字母的范圍已知，則以該字母作為自變量構(gòu)造函數(shù)。（2）線段的圖像特征：若兩個(gè)端點(diǎn)均在坐標(biāo)軸的一側(cè)，則線段上的點(diǎn)與端點(diǎn)同側(cè)。（3）對(duì)點(diǎn)評(píng)（2）的推廣：已知一個(gè)函數(shù)連續(xù)且單調(diào)，若兩個(gè)端點(diǎn)在坐標(biāo)軸的一側(cè)，則曲線上所有點(diǎn)均與端點(diǎn)同側(cè)例5：已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________m+1m思路：恒成立的不等式為，如果進(jìn)行參變分離，雖可解決問題，但是因?yàn)樗趨^(qū)間含參，的取值將決定分離時(shí)不等號(hào)方向是否改變，需要進(jìn)行分類討論，較為麻煩。換一個(gè)角度觀察到是開口向上的拋物線，若要，只需端點(diǎn)處函數(shù)值小于零即可（無論對(duì)稱軸是否在區(qū)間內(nèi)），所以只需，解得m+1m答案：小煉有話說：本題也可以用最值法求解：若，則，而是開口向上的拋物線，最大值只能在邊界處產(chǎn)生，所以，再解出的范圍即可例6：已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________思路：首先理解條件，即時(shí)，不等式恒成立，可判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，故先作出的圖像，即，參數(shù)的符號(hào)決定開口方向與對(duì)稱軸。故分類討論：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且為向左平移個(gè)單位，觀察圖像可得不存在滿足條件的，當(dāng)時(shí)，開口向下，且為向右平移個(gè)單位，觀察可得只需，，即可保證，的圖像始終在的下方。解得：；當(dāng)時(shí)，代入驗(yàn)證不符題意。答案：小煉有話說：（1）注意本題中“恒成立問題”的隱含標(biāo)志：子集關(guān)系（2）注意函數(shù)奇偶性對(duì)作圖的影響（3）本題中參數(shù)扮演兩個(gè)角色：①二次項(xiàng)系數(shù)——決定拋物線開口，②決定二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置；③圖像變換中決定平移的方向與幅度，所以要進(jìn)行符號(hào)的分類討論。例7：已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________思路：所證不等式可轉(zhuǎn)化為，作出的圖像，當(dāng)時(shí)的取值決定的開口，觀察可得，且時(shí)，即可，當(dāng)時(shí)，不等式為，可證明其成立答案：小煉有話說：原不等式無法直接作出圖像，則考慮先變形再數(shù)形結(jié)合，其原則為兩個(gè)函數(shù)均可進(jìn)行作圖。例8：設(shè)，若時(shí)均有，則_________思路：本題如果考慮常規(guī)思路，讓兩個(gè)因式同號(hào)去解的值（或范圍），則不可避免較復(fù)雜的分類討論，所以可以考慮利用圖像輔助解決。將兩個(gè)因式設(shè)為函數(shù)：，，則在圖像上要求這兩個(gè)函數(shù)同時(shí)在軸的上方與下方。這兩個(gè)函數(shù)在圖像上有公共定點(diǎn)，且為開口向上的拋物線。所以的斜率必大于0，即，通過觀察圖像可得：與與軸的交點(diǎn)必須重合。，所以，解得：（舍）或答案：小煉有話說：（1）在處理不等式的問題時(shí)要有兩手準(zhǔn)備，一是傳統(tǒng)的代數(shù)方法，二是通過數(shù)形結(jié)合的方式。要根據(jù)題目選擇出合適的方法。對(duì)于數(shù)形結(jié)合而言，要求已知條件與所求問題都具備一定的圖像特征。所以在本題中一旦確定了使用圖像，則把條件都翻譯為圖像上的特點(diǎn)。（2）本題中隱藏的公共定點(diǎn)是本題的一個(gè)突破口，這要求我們對(duì)于含參的函數(shù)（尤其是直線），要看是否具備過定點(diǎn)的特征。例9：(2015山東煙臺(tái)高三一模）已知，不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.思路：本題有兩個(gè)難點(diǎn)，一是所給區(qū)間含參，一個(gè)是與很難確定其范圍，從而與無法化成解析式。但由于所給不等式可視為兩個(gè)函數(shù)值的大小，且分段函數(shù)圖像易于作出，所以考慮作出圖像，看是否存在解題的突破口。通過圖像可以看出雖然是分段函數(shù)，但是圖像連續(xù)且單調(diào)遞減。所以是上的減函數(shù)。那么無論與位于哪個(gè)區(qū)間，由及單調(diào)性均可得到：只需，所以，解得答案：A例10：已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________思路：是奇函數(shù)且在時(shí)是分段函數(shù)（以為界），且形式比較復(fù)雜，恒成立的不等式較難轉(zhuǎn)化為具體的不等式，所以不優(yōu)先考慮參變分離或是最值法。從數(shù)形結(jié)合的角度來看，一方面的圖像比較容易作出，另一方面可看作是的圖像向右平移一個(gè)單位所得，相當(dāng)于也有具體的圖像。所以考慮利用圖像尋找滿足的條件。先將寫為分段函數(shù)形式：，作出正半軸圖像后再根據(jù)奇函數(shù)特點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱作出負(fù)半軸圖像。恒成立，意味著的圖像向右平移一個(gè)單位后，其圖像恒在的下方。通過觀察可得在平移一個(gè)單位至少要平移個(gè)長度，所以可得：答案：第24煉恒成立問題——最值分析法最值法求解恒成立問題是三種方法中最為復(fù)雜的一種，但往往會(huì)用在解決導(dǎo)數(shù)綜合題目中的恒成立問題。此方法考研學(xué)生對(duì)所給函數(shù)的性質(zhì)的了解，以及對(duì)含參問題分類討論的基本功。是導(dǎo)數(shù)中的難點(diǎn)問題。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、最值法的特點(diǎn)：（1）構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往將參數(shù)與自變量放在不等號(hào)的一側(cè)，整體視為一個(gè)函數(shù)，其函數(shù)含參（2）參數(shù)往往會(huì)出現(xiàn)在導(dǎo)函數(shù)中，進(jìn)而參數(shù)不同的取值會(huì)對(duì)原函數(shù)的單調(diào)性產(chǎn)生影響——可能經(jīng)歷分類討論2、理論基礎(chǔ)：設(shè)的定義域?yàn)椋?）若，均有（其中為常數(shù)），則（2）若，均有（其中為常數(shù)），則3、技巧與方法：（1）最值法解決恒成立問題會(huì)導(dǎo)致所構(gòu)造的函數(shù)中有參數(shù)，進(jìn)而不易分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以在使用最值法之前可先做好以下準(zhǔn)備工作：①觀察函數(shù)的零點(diǎn)是否便于猜出（注意邊界點(diǎn)的值）②縮小參數(shù)與自變量的范圍：通過代入一些特殊值能否縮小所求參數(shù)的討論范圍（便于單調(diào)性分析）觀察在定義域中是否包含一個(gè)恒成立的區(qū)間（即無論參數(shù)取何值，不等式均成立），縮小自變量的取值范圍（2）首先要明確導(dǎo)函數(shù)對(duì)原函數(shù)的作用：即導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性。如果所構(gòu)造的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜不易分析出單調(diào)性，則可把需要判斷符號(hào)的式子拿出來構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，再想辦法解決其符號(hào)。（3）在考慮函數(shù)最值時(shí)，除了依靠單調(diào)性，也可根據(jù)最值點(diǎn)的出處，即“只有邊界點(diǎn)與極值點(diǎn)才是最值點(diǎn)的候選點(diǎn)”，所以有的討論點(diǎn)就集中在“極值點(diǎn)”是否落在定義域內(nèi)。二、典型例題：例1：設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍思路：恒成立不等式為，只需，由于左端是關(guān)于的二次函數(shù)，容易分析最值點(diǎn)位置，故選擇最值法解：恒成立不等式為，令則對(duì)稱軸為（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，即（2）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增終上所述：小煉有話說：二次函數(shù)以對(duì)稱軸為分解，其單調(diào)性與最值容易分析。所以二次恒成立不等式往往可考慮利用最值法，此題中對(duì)稱軸是否在區(qū)間內(nèi)將決定最值的取值，故以此為分類討論點(diǎn)。思路二：從另一個(gè)角度看，本題容易進(jìn)行分離，所以也可考慮參變分離法解：（1）時(shí)，則(由于系數(shù)符號(hào)未定，故分類討論進(jìn)行參變分離）令（換元時(shí)注意更新新元的取值范圍）則（2），不等式對(duì)任意的均成立（3），(注意不等號(hào)變號(hào)?。。┝?則綜上所述：小煉有話說：（1）此題運(yùn)用參變分離法解題并不簡便，不僅要對(duì)分類討論，還要處理一個(gè)分式函數(shù)的最值，所以兩個(gè)方法請(qǐng)作一對(duì)比（2）最后確定的范圍時(shí)，是將各部分結(jié)果取交集，因?yàn)榉诸愑懻撌菍?duì)進(jìn)行的，的取值要讓每一部分必須同時(shí)成立才可，所以是“且”的關(guān)系，取交集例2：已知函數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是___________思路：若不等式恒成立，則，與差的最大值即為最大值與最小值的差。所以考慮求在的最大最小值，，若，則，所以，若，則，所以。而，所以無論為何值，，則在單調(diào)遞增。，從而，解得答案：例3：已知函數(shù)，在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍思路一：恒成立的不等式為即,令觀察到兩點(diǎn)特征：(1)導(dǎo)函數(shù)易分析單調(diào)性，（2）,對(duì)單調(diào)性會(huì)有一定要求進(jìn)而限制參數(shù)的取值。所以考慮使用最值法求解。解：恒成立即不等式恒成立，令只需即可，，令（分析的單調(diào)性）當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞減，則(思考：為什么以作為分界點(diǎn)討論？因?yàn)檎业?，若要不等式成立，那么一定從處起要增（不一定在上恒增，但起碼存在一小處區(qū)間是增的），所以時(shí)導(dǎo)致在處開始單減，那么一定不符合條件。由此請(qǐng)?bào)w會(huì)零點(diǎn)對(duì)參數(shù)范圍所起的作用）當(dāng)時(shí)，分是否在中討論（最小值點(diǎn)的選?。┤?，單調(diào)性如表所示（（1）可以比較的大小找到最小的臨界值，再求解，但比較麻煩。由于最小值只會(huì)在處取得，所以讓它們均大于0即可。（2）由于并不在中，所以求得的只是臨界值，臨界值等于零也符合條件）若，則在上單調(diào)遞增，，符合題意綜上所述：小煉有話說：此題在的情況也可不分類討論，因?yàn)閺膯握{(diào)區(qū)間分析來看，在中是極大值點(diǎn)，不可能是最小值，所以無論是否在，最小值（或臨界值）均只會(huì)在邊界處產(chǎn)生，所以只需即可思路二：不等式中與便于分離，所以只要分離后的的函數(shù)易分析出單調(diào)性，那么就可考慮運(yùn)用參變分離法解：，令，則只需即可（單調(diào)性受分子影響，但無法直接分析）令，（求導(dǎo)函數(shù)，便不含，可分析單調(diào)性，且零點(diǎn)找到，所以方法二可繼續(xù)進(jìn)行）在上單調(diào)遞增（體會(huì)零點(diǎn)配合單調(diào)性對(duì)確定函數(shù)符號(hào)的作用），在上單調(diào)遞增（無最大值，只有臨界值，故可取等號(hào)）小煉有話說：第一點(diǎn)是分析時(shí)由于形式復(fù)雜并沒有對(duì)直接求導(dǎo)，而是把分子拿出來分析。因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，而分母符號(hào)恒正，所以要體會(huì)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)是對(duì)原函數(shù)的單調(diào)性最有價(jià)值的。第二點(diǎn)是體會(huì)零點(diǎn)與單調(diào)性合作可確定函數(shù)的符號(hào)，這也是分析的重要原因例4：已知，若對(duì)任意的，均有，求的取值范圍思路：恒成立不等式為，可參變分離但函數(shù)比較復(fù)雜，所以考慮利用最值法來分析。發(fā)現(xiàn)時(shí)，左右兩邊剛好相等。這也為最值分析提供方向解：令，（從起應(yīng)單調(diào)遞增）令，即下面分情況討論：時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增時(shí)，，恒成立，在單調(diào)遞增時(shí)，時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增時(shí)，在單調(diào)減，在單調(diào)遞增，不符題意，舍去綜上所述：小煉有話說：本題導(dǎo)函數(shù)形式簡單，所以直接對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論與取舍例5：已知函數(shù)對(duì)任意的，均有，求實(shí)數(shù)的范圍思路：此題可用最值法求解，先做好準(zhǔn)備工作，，所以函數(shù)要從開始增，求導(dǎo)觀察特點(diǎn)：解：（不易直接出單調(diào)性，但是發(fā)現(xiàn)其中，且再求一次導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)容易分析單調(diào)性。進(jìn)而可解），令即，下面進(jìn)行分類討論：（1）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增。單調(diào)遞增，，滿足條件（此處為此題最大亮點(diǎn)，體會(huì)三點(diǎn)：①單調(diào)性與零點(diǎn)是如何配合來確定的符號(hào)的；②每一步的目的性很強(qiáng)，的作用就是以符號(hào)確定的單調(diào)性，所以解題時(shí)就關(guān)注的符號(hào)。而符號(hào)的確定同樣要靠二階導(dǎo)數(shù)與一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)配合來得到；③的零點(diǎn)是同一個(gè)，進(jìn)而引發(fā)的連鎖反應(yīng)）（2）當(dāng)時(shí)，（可正可負(fù)，而，所以討論的符號(hào)）①當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒大于零，則：單調(diào)遞增。單調(diào)遞增，，滿足條件②當(dāng)，則時(shí)，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，，不符題意，故舍去綜上所述：時(shí)，恒成立小煉有話說：這道題的重要特點(diǎn)在于的零點(diǎn)是同一個(gè)，進(jìn)而會(huì)引發(fā)“連鎖反應(yīng)”。大家在處理多次求導(dǎo)問題時(shí)，一定要清楚每一層導(dǎo)數(shù)的目的是什么，要達(dá)到目的需要什么，求出需要的要素。例6：已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若對(duì)于任意的恒成立，求的取值范圍解：（1）令即①當(dāng)時(shí)，恒成立。在單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí)，解得（2）思路：恒成立不等式為，即若參變分離，分離后的函數(shù)較為復(fù)雜（也可解決）。所以考慮最值法，觀察當(dāng)時(shí)，左邊的值為0，所以對(duì)左邊的函數(shù)的單調(diào)性有所制約，進(jìn)而影響參數(shù)的取值。解：恒成立不等式等價(jià)于設(shè)，恒成立，否則若，由于連續(xù)所以必存在區(qū)間使得，即在單調(diào)遞減進(jìn)而，，不符題意（本質(zhì)：，所以要保證從開始的一段小區(qū)間要單調(diào)增，進(jìn)而約束導(dǎo)數(shù)符號(hào)）（這是要滿足的必要條件，最終結(jié)果應(yīng)該是這一部分的子集，下面證均滿足條件或者尋找一個(gè)更精確的范圍）下面證任意的均滿足條件。構(gòu)造函數(shù)（時(shí)的）則，若要恒成立，只需證明即可成立在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，成立時(shí)，恒成立，符合題意小煉有話說：（1）的構(gòu)造的來源：的解析式可看為以為自變量的一次函數(shù)，且單調(diào)遞增（），所以對(duì)于，無論為何值，，即，與恒成立的不等式不等號(hào)方向一致。（2）本題核心想法是利用不等式化參數(shù)函數(shù)為常值函數(shù)（函數(shù)的放縮），進(jìn)而便于對(duì)參數(shù)取值范圍的驗(yàn)證。（3）歸納一下解決此題的方法：為最值法解恒成立問題的另一個(gè)方法——構(gòu)造中間函數(shù)首先先說考慮使用這個(gè)方法的前提：①以參數(shù)為自變量的函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單（最好單調(diào)）②參數(shù)縮小后的范圍，其不等式與含參函數(shù)不等號(hào)方向，以及單調(diào)性保持一致（在本題中，而剛好關(guān)于單調(diào)遞增，且要。故可引入位于與之間）其步驟如下：①代入自變量的特殊值縮小參數(shù)的取值范圍（有可能就得到最終結(jié)果），記為A②因?yàn)樽罱K結(jié)果A的子集，所以只需證明A均符合條件或者尋找更小的范圍③如果函數(shù)是關(guān)于參數(shù)的一次函數(shù)（或單調(diào)函數(shù)），可通過代入?yún)?shù)的邊界值（臨界值）構(gòu)造新函數(shù)并與原函數(shù)比較大?、茏C明新函數(shù)介于原函數(shù)與不等式右側(cè)值之間，進(jìn)而說明A中的所有值均滿足條件，即為最后結(jié)果例7：已知函數(shù)，若在區(qū)間上，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍思路：考慮用最值分析法，但可考慮先利用縮小的討論范圍解：令，即（1）時(shí)，即，恒成立在單調(diào)遞減滿足條件（2）時(shí)，，考慮，不符題意，舍去（注：這里需要對(duì)函數(shù)值進(jìn)行估計(jì)，顯然，總有一個(gè)時(shí)刻，大于零，進(jìn)而，所以考慮代入特殊值來說明。對(duì)于，所以構(gòu)造時(shí)只需要即可，解得，進(jìn)而舍掉的情況）例8：已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）求的值（2）如果當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1），切線方程：，而且在切線中，解得：（2）思路：恒成立不等式為：，若參變分離，則分離后的函數(shù)過于復(fù)雜，不利于求得最值，所以考慮利用最值法，先變形不等式，由于的符號(hào)不確定（以為界），從而需進(jìn)行分類討論。當(dāng)時(shí)，不等式變形為：，設(shè)，可觀察到，則若要時(shí)，，則需，進(jìn)而解出，再證明時(shí)，即可。將的范圍縮至?xí)r再證明時(shí)，即可。解：由（1）可得恒成立的不等式為：當(dāng)時(shí)，設(shè)，可得若，則，使得時(shí)，在單調(diào)遞減則時(shí)，與恒成立不等式矛盾不成立解得：下面證明均可使得時(shí)，在單調(diào)遞增，即不等式恒成立當(dāng)時(shí)，同理，在單調(diào)遞增即時(shí)不等式在恒成立綜上所述，例9：設(shè)函數(shù)（其中），，已知它們在處有相同的切線.（1）求函數(shù)，的解析式；（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）思路：由題意可知在處有公共點(diǎn)，且切線斜率相同在處有相同的切線.（2）思路：恒成立不等式為，盡管可以參變分離但分離后關(guān)于的函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不易分析單調(diào)性。所以考慮最值法解：令，只需令均成立，（上一步若直接求單調(diào)增區(qū)間，則需先對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類討論。但通過代入（，便于計(jì)算），解得了要滿足的必要條件，從而簡化了步驟。）解得下面根據(jù)是否在進(jìn)行分類討論：①在單調(diào)遞增。與已知矛盾（舍）②在單調(diào)遞增。滿足條件③則恒成立，故滿足條件綜上所述：小煉有話說：本道題的亮點(diǎn)在于代入以縮小的范圍，并不是邊界點(diǎn)，但是由于易于計(jì)算（主要針對(duì)指數(shù)冪），且能夠刻畫的范圍，故首選例10：（2011浙江,22）設(shè)函數(shù)（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意的，恒有成立.注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)解：（1）是的極值點(diǎn)或，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意（2）思路一：恒成立的不等式為，考慮選擇最值法當(dāng)時(shí)，無論為何值，不等式恒成立（的單調(diào)區(qū)間必然含參數(shù)，首先將恒成立的部分剔除，縮小的取值范圍以方便后期討論），記恒成立，所以（通過特殊值代入縮小的范圍，便于分析討論）（解不出具體的極值點(diǎn)，但可以估計(jì)其范圍，利用零點(diǎn)存在性定理，同時(shí)得到與的關(guān)系：)單調(diào)遞增若，只需由得代入①得：由②式得綜上所述，小煉有話說：本題有以下幾處亮點(diǎn)：1、特殊值代入法：這是本題最大的亮點(diǎn)，通過代入特殊的值縮小的范圍，便于討論，在有關(guān)恒成立的問題中，通過代入特殊點(diǎn)（邊界點(diǎn)，極值點(diǎn)等）可以簡化運(yùn)算，提供思路，而且有一些題目往往不等關(guān)系就在自變量的邊界值處產(chǎn)生2、對(duì)極值點(diǎn)的處理，雖無法求值，但可求出它的范圍，進(jìn)而解決問題思路二：參變分離法：當(dāng)時(shí)，無論為何值，不等式恒成立考慮,則不等式(體會(huì)將范圍縮小后所帶來的便利）恒成立則只需成立設(shè)，在單調(diào)遞增，再設(shè),令即,由左邊可得時(shí)，，而單調(diào)遞增，由此可得,,,(單調(diào)性+根→符號(hào)）在單調(diào)增，在單調(diào)遞減。故綜上所述：小煉有話說：思路二有另外幾個(gè)亮點(diǎn)：1、縮小自變量范圍的作用：使為正，進(jìn)而對(duì)后面的變形開方起到關(guān)鍵性作用2、在處理的問題時(shí)，采取零點(diǎn)與單調(diào)性結(jié)合的方式來確定符號(hào)。其中的單調(diào)性可以快速判斷。增，增，且兩部分的函數(shù)值恒為正數(shù)，那么相乘后的解析式依然是增函數(shù)。三、近年模擬題題目精選（三類方法綜合）1、已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.2、（2016，山東濰坊中學(xué)高三期末）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．3、（2014，遼寧）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.4、（2014，新課標(biāo)全國卷II）設(shè)函數(shù)，若存在的極值點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（）A.B.C.D.5、（2015，新課標(biāo)I）設(shè)函數(shù)其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6、（2014，遼寧）已知定義在上的函數(shù)滿足：①②對(duì)所有的，且，有若對(duì)所有的，恒成立，則的最小值為（）A.B.C.D.7、（2016，唐山一中）已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．8、已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.9、已知，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______10、已知不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是_____11、若不等式對(duì)滿足的所有都成立，則的取值范圍是___________12、（2016，上海理工大附中一月考）已知不等式組的解集是關(guān)于的不等式解集的一個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______13、（2014，重慶）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________14、（2016，上海十三校12月聯(lián)考）已知，不等式在上恒成立，則的取值范圍是___________15、已知函數(shù)，對(duì)任意的，都有，則最大的正整數(shù)為_______16、關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______17、（2016，內(nèi)江四模）已知函數(shù)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是18、（2016四川高三第一次聯(lián)考）已知，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______19、已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________20、若不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________21、已知，函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立？若存在,求出實(shí)數(shù)的取值集合；若不存在，請(qǐng)說明理由．22、（2014，慶安高三期中）已知函數(shù)，其中（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍23、（2016，撫順一模）已知函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若（2）中函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。24、（2015，山東）設(shè)函數(shù)，其中（1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由（2）若成立，求的取值范圍25、（2015，新課標(biāo)II）設(shè)函數(shù)（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍26、（2015，北京）已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程（2）求證：當(dāng)時(shí)，（3）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值27、（2016，蘇州高三調(diào)研）已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）①若存在實(shí)數(shù)，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍②若有且只有唯一整數(shù)，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍習(xí)題答案：1、答案：D解析：利用對(duì)稱性可作出的圖像，可視為的圖像向左平移個(gè)單位，則恒成立不等式的幾何含義為的圖像始終在的上方，通過數(shù)形結(jié)合可得：若，則；若，也滿足。所以的取值范圍是2、答案：D解析：若恒成立，則，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。，所以3、答案：C解析：時(shí)，恒成立不等式等價(jià)于設(shè)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，可知無論為何值，不等式均成立當(dāng)時(shí)，恒成立不等式等價(jià)于，同理設(shè)在單調(diào)遞增綜上所述：4、答案：C解析：，令可得：不等式轉(zhuǎn)化為：整理后可得：，使得若且，則，不等式不能成立只需或時(shí)，不等式成立即可5、答案：D解析：當(dāng)時(shí)，不等式不成立當(dāng)時(shí)，可得，與矛盾，故不成立當(dāng)時(shí)，可得設(shè)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減唯一的整數(shù)使得即，又在單調(diào)遞增6、答案：B解析：不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即7、答案：B解析：問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋海沟?，?、答案：A解析：不妨設(shè)，則恒成立不等式等價(jià)于即，設(shè)，則在單調(diào)遞增對(duì)恒成立，即設(shè)，可知在單調(diào)遞增9、答案：解析：恒成立不等式為：設(shè)令定義域解得的單調(diào)區(qū)間為：10、答案：解析：恒成立不等式為，所以，由均值不等式可知：，所以，即11、答案：解析：恒成立不等式為：，設(shè)，則不等式恒成立只需，所以解得12、答案：解析：不等式組的解集為，由子集關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立，從而恒成立，因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，從而13、答案：解析：若不等式恒成立，則設(shè)可知14、答案：解析：作出的圖像可知為減函數(shù)，所以恒成立不等式等價(jià)于在恒成立，即，解得：15、答案：4解析：作出函數(shù)和的圖像，可知，，，所以，即的最大整數(shù)值為416、答案：解析：問題轉(zhuǎn)化為，恒成立，設(shè)可得：17、