2023-2024學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期3月月考聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期3月月考聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C．0 D．13．已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．54．一圓臺(tái)上、下底面的直徑分別為4，12，高為10，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．5．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種6．第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會(huì)將新增2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目和3個(gè)表演項(xiàng)目．現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地A，B，C分別承擔(dān)這5個(gè)新增項(xiàng)目的比賽，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（

）A．150種 B．300種 C．720種 D．1008種7．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．古希臘的幾何學(xué)家用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面去截一個(gè)圓錐，將所截得的不同的截口曲線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)如圖所示的圓錐中，AB為底面圓的直徑，M為PB中點(diǎn)，某同學(xué)用平行于母線(xiàn)PA且過(guò)點(diǎn)M的平面去截圓錐，所得截口曲線(xiàn)為拋物線(xiàn)．若該圓錐的高，底面半徑，則該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為（

）A．2 B．3 C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知函數(shù)，則（

）．A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心C．有三個(gè)零點(diǎn)D．若方程有兩個(gè)不同的根，則或510．已知直線(xiàn)與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線(xiàn)l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線(xiàn)l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線(xiàn)l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，則直線(xiàn)l與圓C相切11．若，為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．有3名同學(xué)同時(shí)被邀請(qǐng)參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人自行決定，共有種不同的去法.（用數(shù)字回答）13．已知的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．14．已知函數(shù)，如圖A，B是直線(xiàn)與曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．16．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線(xiàn)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線(xiàn)AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．1．B【分析】方法一：求出集合后可求.【詳解】[方法一]：直接法因?yàn)椋?，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿(mǎn)足，排除A、D；代入集合，可得，不滿(mǎn)足，排除C.故選：B.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解．2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因?yàn)?，所以，即．故選：A．3．D【分析】平面向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算向量的?！驹斀狻肯蛄?，，則.故選：D4．D【分析】先將圓臺(tái)補(bǔ)形為圓錐，利用圓錐的性質(zhì)，可得圓錐的側(cè)面積，進(jìn)而可得圓臺(tái)的側(cè)面積.【詳解】如圖，將圓臺(tái)補(bǔ)形為圓錐，可得圓錐的底面半徑為．因?yàn)閳A臺(tái)的高為，根據(jù)圓錐的性質(zhì)可得,所以圓錐的高，可得圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，.則該圓臺(tái)的側(cè)面積為．故選：D5．B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳解】因?yàn)楸∫谝黄穑劝驯±?，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B6．A【分析】分和兩種情況，結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】若三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)個(gè)項(xiàng)目，則有種安排，若三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)個(gè)項(xiàng)目，則有種安排，綜上，不同的安排方法有種.故選：A7．D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D8．D【分析】先利用中位線(xiàn)計(jì)算，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性判斷拋物線(xiàn)以為對(duì)稱(chēng)軸，焦點(diǎn)在上，再以頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上求得參數(shù)p即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镸是PB的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，則，，截圓錐的平面平行于母線(xiàn)PA且過(guò)母線(xiàn)PB的中點(diǎn)M，故O也在截面上，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，焦點(diǎn)在上，建立以M為原點(diǎn)，為x軸，過(guò)M點(diǎn)的垂線(xiàn)為y軸，設(shè)拋物線(xiàn)與底面交點(diǎn)為E，則，設(shè)拋物線(xiàn)為，則，解得，即該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為p，即為.故選：D.9．ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而判斷極值點(diǎn)、零點(diǎn)情況，根據(jù)是否成立判斷對(duì)稱(chēng)中心，由函數(shù)性質(zhì)及其圖象判斷有兩個(gè)根對(duì)應(yīng)k值.【詳解】由，則或時(shí)，時(shí)，所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以分別是的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)，A對(duì)；，則，故點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，B對(duì)；由，，，結(jié)合單調(diào)性知：在存在一個(gè)零點(diǎn)，其它位置無(wú)零點(diǎn)，C錯(cuò)；若方程有兩個(gè)不同的根，由上分析知：或5，D對(duì).故選：ABD10．ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線(xiàn)l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線(xiàn)l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線(xiàn)l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線(xiàn)l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線(xiàn)l上，則即，所以，直線(xiàn)l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.11．BD【分析】對(duì)A：借助二項(xiàng)式的展開(kāi)式計(jì)算即可得；對(duì)B、C、D：結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：，又，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故B正確；對(duì)C：，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，，即，故D正確.故選：BD.12．7【分析】按去1，2，3個(gè)人分類(lèi)，利用組合數(shù)求解即可.【詳解】由題意，去1人有種去法，去2人有種去法，去3人有種去法，所以共有種不同的去法，故答案為：713．10【分析】由展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，令，求出，然后利用通項(xiàng)公式中的指數(shù)為，求出，進(jìn)而得出常數(shù)項(xiàng).【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：10.14．【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進(jìn)而求得．【詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋海军c(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．15．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）先求，討論的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因?yàn)椋?，解得，且，?dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述：.17．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】(1)由題意首先證得線(xiàn)面垂直，然后利用線(xiàn)面垂直的定義證明線(xiàn)線(xiàn)垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因?yàn)?，O是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所?（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為y軸，垂直且過(guò)O的直線(xiàn)為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，所以，解得．又點(diǎn)C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點(diǎn)G．作，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)，則．因?yàn)槠矫?，所以平面，為二面角的平面角．因?yàn)椋裕梢阎?，故．又，所以．因?yàn)?，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對(duì)使用三面角的余弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為的三等分點(diǎn)，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類(lèi)題的通性通法，其好處在于將幾何問(wèn)題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時(shí)可以對(duì)幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識(shí)，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個(gè)優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問(wèn)題更加簡(jiǎn)單、直觀(guān)、迅速.18．(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的遞增遞減區(qū)間即得；（2）通過(guò)代入不等式整理成在上存在實(shí)數(shù)解問(wèn)題，故可轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在得最小值問(wèn)題，計(jì)算即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，由，得，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）原條件等價(jià)于：在上存在實(shí)數(shù)解．化為在上存在實(shí)數(shù)解，令，

則，∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增